拱壩伏格特地基變位系數(shù)公式推導(dǎo)修訂與驗(yàn)證

劉國(guó)華，黃芯怡，王 昱，苗智超

(浙江大學(xué)建筑工程學(xué)院，浙江 杭州 310058)

0 引 言

拱壩結(jié)構(gòu)應(yīng)力分析是拱壩設(shè)計(jì)和評(píng)價(jià)中的一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)[1]，拱壩應(yīng)力分析的常用方法有圓筒法、純拱法、拱梁分載法(含拱梁法和拱冠梁法)、殼體理論計(jì)算方法、有限單元法[2]和結(jié)構(gòu)模型試驗(yàn)法等[3]，其中拱梁分載法[4-5]仍然是現(xiàn)階段我國(guó)拱壩應(yīng)力分析的主要方法[6-7]。拱梁分載法一般都采用挪威學(xué)者伏格特(F.Vogt)[8]于100年前提出的伏格特變位計(jì)算假定及相應(yīng)的伏格特地基變位系數(shù)計(jì)算公式來計(jì)算基礎(chǔ)變位，其中δ′的計(jì)算公式是由美國(guó)墾務(wù)局補(bǔ)充的[9]。一般拱壩文獻(xiàn)只列出伏格特地基計(jì)算假定和計(jì)算公式，缺少具體的推導(dǎo)過程。

美國(guó)墾務(wù)局在《壩論》(1948年)中給出了基于伏格特假定的伏格特地基變位系數(shù)的計(jì)算公式，在《拱壩設(shè)計(jì)》(1976年)中對(duì)其中變位系數(shù)的計(jì)算方法做了修正(以下簡(jiǎn)稱“墾務(wù)局文”，相應(yīng)公式簡(jiǎn)稱“墾務(wù)局公式”)[10]。中國(guó)水利水電科學(xué)研究院汪景琦先生在1965年出版的《拱壩的設(shè)計(jì)和計(jì)算》中，較完整地列出了伏格特變位系數(shù)的簡(jiǎn)要推導(dǎo)過程和最終計(jì)算公式(以下簡(jiǎn)稱“汪景琦文”，相應(yīng)公式簡(jiǎn)稱“汪景琦公式”)[9]。東北勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院陳玉夫先生1996年6月在《東北水利水電》“伏格特理論的研究”一文(以下簡(jiǎn)稱“陳玉夫文”，相應(yīng)公式簡(jiǎn)稱“陳玉夫公式”)中，列出了墾務(wù)局的伏格特系數(shù)計(jì)算公式及日本編寫的《在電子計(jì)算機(jī)上計(jì)算拱壩的解析分析》中的計(jì)算公式(以下簡(jiǎn)稱“日本公式”)，并指出了其中存在的一些差異；同時(shí)，陳玉夫文也對(duì)汪景琦文中的推導(dǎo)過程提出了一些質(zhì)疑[11]。中國(guó)水利水電科學(xué)研究院朱伯芳院士在2002年出版的《拱壩設(shè)計(jì)與研究》中，簡(jiǎn)要列出了伏格特變位系數(shù)的主要推導(dǎo)過程和最終計(jì)算公式[12](以下簡(jiǎn)稱“朱伯芳文”，相應(yīng)公式簡(jiǎn)稱“朱伯芳公式”)[13]。

上述多個(gè)出處的伏格特變形系數(shù)計(jì)算公式不完全一致。由于伏格特變形系數(shù)為三重積分式，被積函數(shù)比較復(fù)雜，推求顯式解析表達(dá)式的求積過程十分繁復(fù)，存在很大難度。各種出處均缺少詳細(xì)的中間推導(dǎo)過程，不清楚是否存在推導(dǎo)錯(cuò)誤或是否采用了某些近似假定才得以導(dǎo)出顯式的解析表達(dá)式。為此，本文借助于Matlab工具，結(jié)合一些推導(dǎo)技巧，從伏格特基本假定和波辛涅斯克Boussinesq[14]理論解出發(fā)，重新對(duì)伏格特變位系數(shù)的顯式解析表達(dá)式進(jìn)行推導(dǎo)，并采用高精度的數(shù)值積分手段，對(duì)顯式解析表達(dá)式的正確性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 伏格特系數(shù)公式推導(dǎo)

1.1 伏格特系數(shù)公式的理論基礎(chǔ)

伏格特公式是在波辛涅斯克Boussinesq關(guān)于平面無限地基的變形公式的基礎(chǔ)上求得的基礎(chǔ)表面受矩形荷裁的平均變形方程式。半空間表面受力示意如圖1所示。根據(jù)波辛涅斯克Boussinesq理論解，在半無限空間表面受法向集中力P(見圖1a)，在y=0表面點(diǎn)(x，0，z)上的位移為[15]

圖1 半空間表面受力示意(波辛涅斯克Boussinesq理論解作用力)

(1)

式中，ux、uz、uy分別為x、z、y方向上的位移；μ為泊松比；E為彈性模量。

半無限空間表面受z方向的切向集中力S(見圖1b)，根據(jù)波辛涅斯克Boussinesq理論解，在y=0表面點(diǎn)(x，0，z)上的位移為

(2)

1.2 α′計(jì)算公式的推導(dǎo)

拱壩基礎(chǔ)變形系數(shù)(伏格特系數(shù))共有7個(gè)，其中α′為由基礎(chǔ)表面上單位彎矩(單寬Mx=1)產(chǎn)生的在x=0、y=0處沿壩厚方向(z=-0.5a～0.5a)的平均角變位(繞x軸)。推導(dǎo)α′的作用力示意如圖2所示。

圖2 推導(dǎo)α′的作用力示意

沿x方向均勻分布且單寬彎矩Mx=1作用下，(x=0，y=0，z=z′)處的鉛錘向y方向的位移為v(z′)，則

(3)[1]

位移v(z′)的點(diǎn)位為(x=0，y=0，z=z′)，該點(diǎn)位相對(duì)于(x，y=0，z)(微面積dx×dz上的荷載作用點(diǎn))的相對(duì)坐標(biāo)為(Δx=-x，Δz=z′-z)，固有

(4)

代入得

(5)

(6)

應(yīng)用Matlab工具，直接對(duì)上式進(jìn)行積分，無法得出解析表達(dá)式。先就積分式的最里層，利用Matlab工具對(duì)ξ積分，得到

(7)

將上式中ηζ分為兩部分，即ηζ=(η-ζ)ζ+ζζ。第一部分(η-ζ)ζlog(...)和第二部分ζ2log(...)，利用Matlab工具分別對(duì)η積分，求和得到

(8)

對(duì)上述被積函數(shù)中的五項(xiàng)分別拆分后，利用Matlab工具分別進(jìn)行積分，求和并化簡(jiǎn)，再輔以人工進(jìn)一步化簡(jiǎn)后，得到

(9)

其余6個(gè)伏格特系數(shù)公式的推導(dǎo)過程本文不再詳述。

1.3 伏格特系數(shù)公式推導(dǎo)結(jié)果及比較

以下列出目前主流的伏格特系數(shù)公式及本文伏格特系數(shù)公式的推導(dǎo)結(jié)果。

(1)α′為基礎(chǔ)表面上單位彎矩(Mx=1)產(chǎn)生的平均角變位。墾務(wù)局、汪景琦、日本和朱伯芳公式

(10)

本文和陳玉夫公式

(11)

(2)β′為基礎(chǔ)表面上單位法向力(Ny=1)產(chǎn)生的平均法向變位。墾務(wù)局、汪景琦和朱伯芳公式

(12)

日本公式

(13)

本文和陳玉夫公式

(14)

(3)γ′為基礎(chǔ)表面上單位徑向剪力(Qz=1)產(chǎn)生的平均徑向變位。墾務(wù)局、汪景琦、日本和朱伯芳公式

(15)

本文和陳玉夫公式

(16)

(17)

本文和陳玉夫公式

γ′=(1+μ)Eπ2msinh-12m()+2sinh-1m2(){-mm2+42+m22+μmm2+4-2msinh-12m()-m2ù?úúé?êê}

(18)

(5)δ′為基礎(chǔ)表面上單位扭矩(My=1)產(chǎn)生的平均扭轉(zhuǎn)角變位。墾務(wù)局、汪景琦和朱伯芳公式

(19)

日本公式

(20)

本文和陳玉夫公式

(21)

(6)α″為基礎(chǔ)表面上單位徑向剪力(Qz=1)產(chǎn)生的平均轉(zhuǎn)角變位。墾務(wù)局、汪景琦、日本和朱伯芳公式

(22)

本文和陳玉夫公式

(23)

(7)γ″為基礎(chǔ)表面上單位彎矩(Mx=1)產(chǎn)生的平均徑向變位。墾務(wù)局、汪景琦、日本和朱伯芳文中γ″與α″公式相同。陳玉夫公式

γ″=0

(24)

本文γ″與α″公式相同。

2 伏格特系數(shù)公式驗(yàn)證

伏格特系數(shù)積分表達(dá)式在多個(gè)來源中是一致的，但在不同的來源中，基于同一積分式推求得到的顯式解析表達(dá)式有所不同。

為了驗(yàn)算數(shù)值積分中積分步長(zhǎng)對(duì)積分結(jié)果的影響，分別取1/10 000、1/5 000和1/200等3種積分步長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果見圖4。從圖4可以看出，前2種的積分步長(zhǎng)很小，計(jì)算結(jié)果很接近。而1/200的積分步長(zhǎng)雖然已屬相當(dāng)小的小步長(zhǎng)，但仍存在一定的數(shù)值誤差。主要原因是被積函數(shù)存在數(shù)值趨于無窮大的奇異點(diǎn)，容易產(chǎn)生數(shù)值誤差。以積分步長(zhǎng)1/10 000為例，圖4中一個(gè)驗(yàn)算點(diǎn)的三重?cái)?shù)值積分的被積函數(shù)計(jì)算次數(shù)就高達(dá)1萬億次(考慮被積函數(shù)對(duì)稱性后計(jì)算次數(shù)可有所減少)。好在現(xiàn)在計(jì)算機(jī)的性能比較好，高性能微機(jī)在幾十分鐘時(shí)間內(nèi)即可完成圖3所示的全部伏格特系數(shù)公式的對(duì)比計(jì)算。

3 不同來源伏格特系數(shù)差異對(duì)拱壩應(yīng)力分析結(jié)果的影響

為比較不同的伏格特系數(shù)對(duì)拱壩應(yīng)力分析的影響，本文使用ADAO軟件，對(duì)兩座壩高200～300 m級(jí)特高拱壩進(jìn)行應(yīng)力分析，其中伏格特系數(shù)分別采用傳統(tǒng)公式(主要來源于美國(guó)墾務(wù)局)和本文推導(dǎo)的公式進(jìn)行計(jì)算；并對(duì)徑向位移、切向位移、豎向位移、豎向扭轉(zhuǎn)位移及切向轉(zhuǎn)角位移5種壩基位移分量和壩踵主拉應(yīng)力、壩踵主壓應(yīng)力、壩趾主拉應(yīng)力及壩趾主壓應(yīng)力4種壩基應(yīng)力進(jìn)行差異對(duì)比，分析兩種伏格特系數(shù)對(duì)拱壩應(yīng)力分析的影響。

計(jì)算得出，兩座特高拱壩算例因兩種伏格特系數(shù)差異導(dǎo)致的壩基線位移最大誤差大致為0.01～0.22 cm，相對(duì)誤差大致為-5.5%～6.5%；壩基角位移最大誤差大致為0.1×10-5～1.2×10-5rad，相對(duì)誤差大致為-1.3%～2.5%；壩體線位移最大誤差大致為0.01～0.31 cm，相對(duì)誤差大致為-2.3%～3.2%。

兩座特高拱壩算例因兩種伏格特系數(shù)差異導(dǎo)致的壩基結(jié)點(diǎn)壩體應(yīng)力最大誤差大致為0.01～0.22 MPa，相對(duì)誤差大致為-0.2%～-1.4%；拱冠梁應(yīng)力最大誤差大致為0.01～1.63 MPa，相對(duì)誤差大致為-0.73%～0.35%。

算例結(jié)果表明，如果以本文修訂后的計(jì)算結(jié)果為基準(zhǔn)，來源于墾務(wù)局傳統(tǒng)伏格特系數(shù)公式所得的計(jì)算結(jié)果，壩基變位的最大相對(duì)誤差約為6.5%，壩基結(jié)點(diǎn)壩體應(yīng)力的相對(duì)誤差約為0.5%。

4 結(jié) 論

本文借助于Matlab工具，從伏格特基本假定和波辛涅斯克Boussinesq理論解出發(fā)，對(duì)伏格特變位系數(shù)重新進(jìn)行推導(dǎo)。將本文導(dǎo)出的顯式解析表達(dá)式與陳玉夫公式，墾務(wù)局、汪景琦、日本、朱伯芳之公式進(jìn)行對(duì)比，并采用高精度的數(shù)值積分手段，對(duì)解析表達(dá)式正確性進(jìn)行驗(yàn)證。對(duì)比得出：全部7個(gè)伏格特系數(shù)，數(shù)值積分結(jié)果與本文顯式解析表達(dá)式一致；數(shù)值積分結(jié)果與陳玉夫的6個(gè)伏格特系數(shù)解析表達(dá)式一致，1個(gè)伏格特系數(shù)不一致；墾務(wù)局、汪景琦和朱伯芳顯式解析公式基本一致，日本拱壩分析的β′、、δ′等3個(gè)基礎(chǔ)變形系數(shù)的顯式解析公式與墾務(wù)局、汪景琦和朱伯芳顯式解析公式不同，這些顯式解析表達(dá)式均與數(shù)值積分結(jié)果存在一定差異。通過兩座特高拱壩作為算例進(jìn)行應(yīng)力分析得出，修訂前后的應(yīng)力、位移計(jì)算結(jié)果差異不大。修訂后的伏格特公式的正確性得到了可靠的驗(yàn)證，使伏格特方法更加完善。