課程視野下的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)

顧麗英

【摘 要】數(shù)學(xué)教材中每一個單元的知識點，都可以看作是整個數(shù)學(xué)學(xué)科知識體系中的一部分，如果把它們放進某一知識體系中去分析，就能凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科知識的整體性。學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)中不斷向更高的發(fā)展水平過渡，這需要有知識系統(tǒng)的助力，而數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)就是能夠達到這一目標的卓有成效的教學(xué)方法。

【關(guān)鍵詞】結(jié)構(gòu)化教學(xué) 模型思維 動態(tài)思維 辯證思維

結(jié)構(gòu)化教學(xué)是指教師通過整合豐富的教學(xué)資源，選擇合適的教學(xué)方法，組織多元的學(xué)習(xí)活動，使學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)逐漸形成，并在一定層面上形成相關(guān)學(xué)科領(lǐng)域的基本觀念，其中就包含學(xué)科基本思想。在結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生可以順利地走向整體關(guān)聯(lián)的深度學(xué)習(xí)意義建構(gòu)、靈活遷移應(yīng)用和系統(tǒng)框架思維。

一、數(shù)軸模型思維結(jié)構(gòu)——基于“數(shù)的認識”的結(jié)構(gòu)化教學(xué)

在結(jié)構(gòu)化教學(xué)中，教師必須站在教材整體邏輯體系的高度，從整體關(guān)聯(lián)的視角出發(fā)，逐步引領(lǐng)學(xué)生理解、掌握數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，達到對教材內(nèi)容的二次加工和梳理組建。這樣就可以順利地將“知識點”串聯(lián)成“知識鏈”，進而將“知識鏈”織成“知識網(wǎng)”，從而真正實現(xiàn)“點→線→面→體”的立體關(guān)聯(lián)。

“數(shù)的認識”是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)教材以板塊形式，將知識點劃分為多個層次并分布在各年級。面對現(xiàn)有數(shù)學(xué)教材的這種編排方式，部分學(xué)生不能自主地將知識點聯(lián)結(jié)成知識網(wǎng)。這就要求教師從整體知識的高度，溝通知識之間的橫向聯(lián)系，并且借助合理的直觀模型，幫助學(xué)生逐步形成關(guān)于數(shù)的知識的多向性、網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的認知，即完整認知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)。

數(shù)軸模型與數(shù)知識的形成是相伴相隨的，在教學(xué)中，教師可以充分發(fā)揮數(shù)軸模型的作用。就像從數(shù)量到數(shù)的抽象過程，對于學(xué)生的認知來說，是一個質(zhì)的飛躍，不能一蹴而就，而有了數(shù)軸模型，數(shù)量與直線上的點，就形成了一一對應(yīng)的關(guān)系，數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系就能直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，使抽象的數(shù)有形可依，讓思維有了真實可靠的依托。

1.借助數(shù)軸三要素，建立自然數(shù)知識結(jié)構(gòu)

自然數(shù)按照序數(shù)邏輯從左往右依次是0，1，2，3，…，每相鄰兩個數(shù)相差1，右邊的數(shù)比左邊緊鄰的數(shù)大1，每個自然數(shù)前面的一個數(shù)都是比它小1的自然數(shù)。這其實就是自然數(shù)順序性、方向性、無限性和排列的等差性等特點的具體呈現(xiàn)方式。自然數(shù)不僅可以表示“第幾個”，即序數(shù)意義，還可以表示成“幾個”，即基數(shù)意義。這些意義和特征，如果在數(shù)軸上表示出來就是數(shù)軸的原點、單位長度和正方向三要素，以及向右無限延伸的特征。在教學(xué)時，可以根據(jù)數(shù)的知識的教學(xué)進度，逐步形成并完善數(shù)軸。

2.借助數(shù)軸單位長度，完善小數(shù)知識建構(gòu)

在認識自然數(shù)時，我們可以清楚地看到，每一個自然數(shù)對應(yīng)的點在數(shù)軸上有序且等距排列著。事實上，數(shù)軸上的點是緊密連續(xù)排列的。并且，任意兩點之間可以無限制地不斷細分，從而產(chǎn)生無數(shù)個點，這是數(shù)軸無限性的一個表現(xiàn)。值得一提的是，數(shù)軸上每兩點間的距離不斷平均分的時候，其實，數(shù)軸上任意連續(xù)兩點之間仍舊會存在一個“距離”。這個距離就是我們說的單位長度。很明顯，小數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的單位長度比自然數(shù)更加抽象、更加復(fù)雜。這就需要教師利用直觀的方式讓學(xué)生先理解把單位“1”平均分成10份、100份、1000份后每一份的含義，并由此展開想象、推理，從而使學(xué)生在理解和建構(gòu)數(shù)軸單位長度的同時，深刻理解小數(shù)的無窮小以及每兩個小數(shù)之間小數(shù)個數(shù)無窮性的特點。

3.借助數(shù)軸左半軸，建構(gòu)負數(shù)知識結(jié)構(gòu)

引入負數(shù)，從運算的封閉性看，實現(xiàn)了數(shù)系的又一次擴展，實現(xiàn)了這個數(shù)系關(guān)于加減運算的自封閉，也就是說，兩個有理數(shù)經(jīng)過加減運算，它們的結(jié)果依然是有理數(shù)。如此一來，負數(shù)的出現(xiàn)也就成了必然。我們從實際表示的意義來看，有很多需要進行相反意義的描述，負數(shù)的出現(xiàn)也就應(yīng)運而生。

在完全理解負數(shù)產(chǎn)生的必要性的基礎(chǔ)上，如何引導(dǎo)學(xué)生精準架構(gòu)負數(shù)知識結(jié)構(gòu)呢？這就需要借助數(shù)軸左半軸了。負數(shù)在數(shù)軸上的表示方式與正數(shù)相比，單位長度的建構(gòu)是完全一致的，不同的是，負數(shù)的無窮小對應(yīng)的是數(shù)軸的向左無限延伸，方向與正數(shù)正好相反。在數(shù)的結(jié)構(gòu)性教學(xué)中可以看到，借助數(shù)軸模型，可以便捷地完善數(shù)知識的建構(gòu)，數(shù)軸模型的建構(gòu)與數(shù)知識的結(jié)構(gòu)性教學(xué)相輔相成。

二、數(shù)學(xué)動態(tài)思維結(jié)構(gòu)——基于知識聯(lián)系的結(jié)構(gòu)化教學(xué)

所謂數(shù)學(xué)的動態(tài)思維，是以數(shù)學(xué)中動態(tài)的基本概念為基礎(chǔ)，反映數(shù)學(xué)對象的運動、變化、發(fā)展過程及其數(shù)學(xué)對象間辯證關(guān)系的思維方法。

在小學(xué)階段，“圖形與幾何”部分的知識點同樣是逐層分布在各個年級的。如何運用動態(tài)思維結(jié)構(gòu)，進行知識聯(lián)系的結(jié)構(gòu)化教學(xué)呢？這里，我們以“平面圖形周長與面積的整理和復(fù)習(xí)”為例來進行分析。課前，教師指導(dǎo)學(xué)生把平面圖形的周長和面積的相關(guān)知識運用思維導(dǎo)圖進行梳理。（見圖1）

課堂上讓學(xué)生邊展示邊闡述：以長方形為起點，長方形的周長計算公式為C=（a+b）×2，長方形的面積計算公式為S=a×b。正方形是特殊的長方形（長、寬相等），由此推導(dǎo)出正方形的面積公式為S=a×a，周長計算公式為C=4a。再由長方形通過動態(tài)割補，溝通長方形與平行四邊形之間的關(guān)系，即長與底相等，寬與高相等，于是推導(dǎo)得出平行四邊形面積公式為S=ah。緊接著，由平行四邊形展開，通過上底一端向左縮短至一點，動態(tài)呈現(xiàn)平行四邊形變成三角形的過程，并揭示兩者之間的關(guān)系：等底等高。據(jù)此可以看出，這個三角形面積是對應(yīng)的平行四邊形面積的二分之一，進而推導(dǎo)出三角形面積公式為S=ah÷2。梯形面積計算公式也是由平行四邊形上底一端向左縮短至一定距離，兩者之間的關(guān)系是梯形上底和下底的和等于平行四邊形的底、等高，且可以看出梯形面積等于對應(yīng)平行四邊形面積的一半，于是可以推導(dǎo)得出，梯形面積計算公式為S=（a+b）×h÷2。對于圓的面積計算公式，我們可以這樣推導(dǎo)：把圓轉(zhuǎn)化成近似的長方形，長方形的長相當(dāng)于圓周長的一半，長方形的寬相當(dāng)于圓的半徑，于是由長方形面積公式推導(dǎo)得出圓面積計算公式為S=πr2，周長計算公式為C=2πr。（見圖2）

在這一教學(xué)過程中，教師從數(shù)學(xué)動態(tài)中的基本概念“長方形”出發(fā)，利用圖形運動培養(yǎng)學(xué)生的空間意識，引導(dǎo)他們通過思維導(dǎo)圖將平面圖形的周長和面積計算公式進行溝通、整理，通過鎖定學(xué)習(xí)內(nèi)容中的各個關(guān)鍵要素，并且對其進行關(guān)聯(lián)分析，這樣就可以逐步豐富學(xué)習(xí)內(nèi)容的內(nèi)涵，進而讓學(xué)生將收獲到的散點知識逐步連成一條線，再形成由顯及隱、由形及數(shù)、由表及里的結(jié)構(gòu)理解，再達成反向的由內(nèi)及外的深度建構(gòu)，從而使學(xué)生對小學(xué)階段平面圖形的周長和面積的知識建構(gòu)有了清晰的脈絡(luò)，形成了一個比較完整的知識結(jié)構(gòu)，發(fā)展了學(xué)生的空間意識，同時培養(yǎng)了學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維。

三、數(shù)學(xué)辯證思維結(jié)構(gòu)——基于探索發(fā)現(xiàn)的結(jié)構(gòu)化教學(xué)

一般來說，數(shù)學(xué)辯證思維都是從聯(lián)系、運動、發(fā)展三個方面來考察對象的，它在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中起著重要的作用。在基于探索發(fā)現(xiàn)的結(jié)構(gòu)化教學(xué)中，教師必須以發(fā)掘數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)為抓手，以整體建構(gòu)方法結(jié)構(gòu)為特征，以發(fā)展思維為導(dǎo)向，以培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標。如“角的度量”，這部分知識安排在四年級上冊，我們可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在二、三年級已經(jīng)學(xué)過了時間、貨幣、長度、面積、質(zhì)量的度量，接下來，還要學(xué)習(xí)體積、容積的度量。學(xué)習(xí)“角的度量”時，教師首先可以引導(dǎo)學(xué)生從深度建構(gòu)維度幫助學(xué)生建立“度量”的知識結(jié)構(gòu)，接著通過喚醒、潛移、融通知識，緊緊抓住知識的本質(zhì)，進而幫助學(xué)生透徹理解1°和學(xué)習(xí)過的1元、1小時、1厘米、1平方米、1千克等一樣，也是一個度量單位，從而真正實現(xiàn)知識的正遷移，使學(xué)生達成對知識結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)和理解，形成知識的完整結(jié)構(gòu)。

在這一過程中，我們還需要完成一個更重要的任務(wù)——方法的結(jié)構(gòu)化，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷方法的統(tǒng)一過程，促進有深度的結(jié)構(gòu)化教學(xué)的開展。在教學(xué)“角的度量”之前，教師可以提問學(xué)生：如何知道一條線段的長度？這樣以度量的問題為載體讓學(xué)生在知識儲備中找到知識本質(zhì)，接著將其遷移運用到解決“角的度量”問題中?！敖堑亩攘俊边@一知識點的學(xué)習(xí)是一個新知識的學(xué)習(xí)，但它與貨幣、時間、長度、面積、質(zhì)量甚至以后要學(xué)習(xí)的體積、容積等度量是一體的，從這個層面上理解，就可以形成統(tǒng)一的方法結(jié)構(gòu)。

還有一個更為重要的任務(wù)，即思維的結(jié)構(gòu)化。這需要教師深度明晰思維的整體脈絡(luò)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會融會貫通。在教學(xué)中，教師可以把表象雜亂的問題整理得清晰有序，此刻需要思維結(jié)構(gòu)化。因為思維結(jié)構(gòu)化對于促進學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維的內(nèi)部秩序是非常有利的，還可以幫助學(xué)生實現(xiàn)認知結(jié)構(gòu)的內(nèi)部自我成長。在教學(xué)“角的度量”時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生辨析幾種不同的測量方法，在度量知識結(jié)構(gòu)形成的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生探索度量方法，加上經(jīng)過回顧，溝通長度、面積、角的度量方法，此刻，學(xué)生腦中已經(jīng)初步架構(gòu)完成角的度量方法的思維結(jié)構(gòu)。在這樣的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生不僅經(jīng)歷了動手、動腦的過程，更實現(xiàn)了單、雙向思維到立體思維的跨越。這樣，學(xué)生可以不斷完善和發(fā)展知識結(jié)構(gòu)，進而使學(xué)習(xí)力和自我生長力得到最大化的提升。

綜上所述，我們可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)不僅可以幫助學(xué)生完整地建構(gòu)數(shù)學(xué)知識，還可以幫助學(xué)生逐步完善思維結(jié)構(gòu)，不斷提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的高階發(fā)展。