任意形狀孔徑的干涉圖時空移相方法

張力偉，陳浩博，鮑海宇，吳幸智，孫文卿，吳泉英

（1.蘇州科技大學 物理科學與技術學院，江蘇 蘇州 215009；2.江蘇省微納熱流技術與能源應用重點實驗室，江蘇 蘇州 215009）

引言

RI S 等將抽樣云紋法[14]與時域移相結合，提出了一種時空移相方法[15]，對每一幀移相干涉圖進行插值，之后使用二維離散傅里葉變換算法提取壓包相位。該方法相較于傳統(tǒng)的移相算法展現(xiàn)出了更高的精度，且在背景光強、調(diào)制度與移相量產(chǎn)生變化時體現(xiàn)出了較強的魯棒性，然而插值步驟必須使用矩形圖像區(qū)域，通常需要對圓形視場下干涉圖進行裁剪，這會導致無法完整測量整幅干涉圖的相位信息。若直接對未經(jīng)延拓的干涉圖使用時空移相方法，則會導致干涉圖邊緣區(qū)域的相位結果產(chǎn)生誤差。

為擴大時空移相方法所能測量的形狀范圍，加強時空移相方法的泛用性，本文提出將干涉圖延拓技術與時空移相法相結合，將任意形狀干涉圖延拓成矩形，經(jīng)時空移相方法處理后提取出有效區(qū)域內(nèi)的相位值。除圓形以外，仿真與實驗亦對正三角形、正五邊形、正六邊形與不規(guī)則形狀區(qū)域進行了延拓測試。為驗證有效性，利用該方法對光學平晶進行了測量，就延拓與否以及不同干涉圖形狀的情況進行了對比，并將算法測得結果與ZYGO 干涉儀測量結果進行了對比。

1 移相干涉技術基本原理

1.1 N步時域移相

N步時域移相的基本原理為：通過等量改變兩束相干光的光程差，引入等量的相位差變化，使干涉條紋發(fā)生移動，再通過CCD（charge coupled-device）采集不同光程差下的條紋圖并使用移相算法提取被測物件表面的相位包裹圖。在理想的條件下，干涉場中第n幅干涉圖每點的光強都可以表示為

式中：A為干涉圖的背景光強；B為干涉圖的調(diào)制度；φ為待測相位；P為橫坐標方向上的條紋間距；φ0為與物體形狀相關的相位值。利用一維離散傅里葉變換求解式(1)，可以得到所需的相位信息。

1.2 時空移相方法

時空移相法在N步時域移相的基礎上對每一幅干涉圖使用抽樣云紋法進行采樣與插值擬合。抽樣云紋法原理如圖1 所示，以干涉圖中的一行像素為例，以第1 個像素點為起點，以恒定抽樣間距T進行采樣，所有行經(jīng)過插值擬合后得到第1 幅莫爾條紋圖，同樣地，以第2 個像素為起點，進行抽樣與插值擬合獲得第2 幅莫爾條紋圖。類似依像素點順序處理，可獲得T幅移相莫爾條紋圖，于是第n幅移相干涉圖的第t幅莫爾條紋圖可表示為

圖1 采樣距離T=4 時的抽樣云紋法原理圖Fig.1 Schematic diagram of sampling moire method at T=4

對式(2)進行二維離散傅里葉變換即可獲得像素點(x,y)處的包裹相位，如式(3)所示：

式中W為離散傅里葉變換中的旋轉(zhuǎn)因子，其定義為

對包裹相位進行解包裹后再進行消傾斜處理，獲得被測件表面的真實相位Φ，將Φ除以2π，即可得以波長為單位的被測件表面矢高h。

1.3 干涉圖延拓

在光學測量中常會使用傅里葉變換算法處理單幀干涉圖，然而實際的干涉圖都具有有限的大小和清晰的邊界，干涉條紋在孔徑邊界突然消失，經(jīng)傅里葉變換算法提取恢復后的相位在孔徑邊緣處會產(chǎn)生很大的誤差，即邊緣誤差[16]。為解決該問題，朱榮剛提出了基于迭代傅里葉變換的延拓方法[17]，干涉圖經(jīng)迭代延拓成矩形并以傅里葉變換算法提取相位后，僅提取原先有效區(qū)域的結果，可在避免邊緣誤差的情況下獲得相位信息。延拓技術對線性載頻條紋干涉圖具有較好的效果，圖2 為不同迭代次數(shù)下的延拓結果。仿真與實驗所用方法的流程圖如圖3 所示。

1.5.3 電泳及成像 PCR產(chǎn)物與溴甲酚藍指示劑混合后點樣，進行2%瓊脂糖凝膠電泳，凝膠成像儀成像并拍照。

圖2 不同次數(shù)迭代延拓結果Fig.2 Spreading results of different times iteration

圖3 任意形狀孔徑的干涉圖時空移相方法流程圖Fig.3 Flow chart of spatiotemporal phase-shifting method for interferograms of apertures with arbitrary shape

2 數(shù)值仿真

為驗證本文方法的有效性，以模擬的相位作為測試波前，干涉圖的像素采樣點數(shù)為720×720，設定背景光強與調(diào)制度分別為

式中Nrand為(-8,8)的隨機噪聲，并對仿真干涉圖像整體加入(-π/8，π/8)的隨機移相誤差。此外還需加入一定的載頻Ftilt：

載頻斜率需大于測試波前，若不然條紋數(shù)量過少，經(jīng)插值擬合后的干涉圖與未插值的干涉圖無明顯差別。然而受限于圖像分辨率的限制，載頻斜率亦不能過大，干涉圖中的一個條紋周期至少超過20 像素。生成4 幅移相干涉圖，干涉圖有效區(qū)域為圓形，如圖4 所示。

圖4 仿真四幅干涉圖Fig.4 Four simulated phase-shifting interferograms

對于延拓迭代次數(shù)的選擇，本文假設經(jīng)某一次迭代后，相鄰兩幅干涉圖中所有像素點對應光強之差的總和小于1時，稱該迭代次數(shù)為臨界迭代次數(shù)。以圓形干涉圖為有效區(qū)域，其共心正方形為延拓目標，經(jīng)數(shù)值仿真，圖像中像素總數(shù)相同時(取像素總數(shù)為720×720)，臨界迭代次數(shù)與有效區(qū)域占比的關系如圖5 中的黑色虛折線所示，有效區(qū)域占比越高，則臨界迭代次數(shù)越少；圖像中有效區(qū)域占比相同時(取有效區(qū)域占比為78.5%)，臨界迭代次數(shù)與像素總數(shù)的關系如圖5 中的紅色實折線所示，總像素數(shù)越低，則臨界迭代次數(shù)越少。臨界迭代次數(shù)的引入，使得在不同像素總數(shù)及有效區(qū)域占比的情況下均可獲得穩(wěn)定的延拓結果。仿真與實驗的延拓迭代次數(shù)均選取臨界迭代次數(shù)。

圖5 臨界迭代次數(shù)與總像素數(shù)及有效區(qū)域占比的關系圖Fig.5 Relations between the number of critical iterations,the total number of pixels and proportion of effective regions

利用時空移相方法對經(jīng)延拓后的干涉圖提取相位信息，抽樣間距與插值函數(shù)的選擇RI S 等[14]已經(jīng)進行過研究，本文不再贅述。對于波面的分析，采用峰谷值(PV)與均方根(RMS)這兩個評價指標。PV 值的計算原理為：遍歷所有有效區(qū)域像素，尋找并標記表面矢高數(shù)據(jù)的最大值與最小值，將最大值減去最小值，即得到PV 值。RMS 值的計算原理為：統(tǒng)計有效區(qū)域像素總數(shù)，將所有有效區(qū)域像素處的表面矢高數(shù)據(jù)平方后求和，再除以有效區(qū)域像素總數(shù)Npixel，最后對得到的商開平方，即得到RMS 值。PV 與RMS 的計算公式如下：

仿真結果如圖6(a)、圖6(b)所示，波面PV 為0.034 6λ(λ為干涉儀的光源波長)，RMS 為0.004 0λ，殘差PV 為0.020 7λ，RMS 值為0.004 7λ。殘差PV達到百分位，這表明本方法能精確地從干涉圖中復原出相位分布。未經(jīng)延拓的干涉圖直接采用時空移相方法處理后，得到結果如圖6(c)、圖6(d)所示，相位分布的PV 和RMS 分別為0.123 6λ和0.011 7λ，殘差的PV 與RMS 值分別為0.121 5λ和0.009 0λ。除圓形以外，本文亦將干涉圖有效區(qū)域改為圖7 所示正三角形、正五邊形、正六邊形與不規(guī)則形狀并進行了仿真。表1 中的相位面形展示了不同形狀干涉圖經(jīng)延拓后所得相位結果的PV 與RMS，表1中的殘差則展示了所得相位結果與設定相位的殘差PV 及RMS；表2 中的相位結果展示了不同形狀干涉圖未經(jīng)延拓所得相位結果的PV 與RMS，表2中的殘差則展示了所得相位結果與設定相位的殘差PV 及RMS。

表1 不同形狀的干涉圖經(jīng)延拓后的仿真結果Table 1 Simulation results of interferograms with different shape apertures after spreading

表2 不同形狀的干涉圖未經(jīng)延拓的仿真結果Table 2 Simulation results of interferograms with different shape apertures without spreading

圖6 仿真結果Fig.6 Simulation results

圖7 不同形狀的干涉圖延拓結果Fig.7 Spreading results of interferograms with different shape apertures

可以發(fā)現(xiàn)，若對干涉圖組直接使用時空移相方法，計算出的相位結果會在干涉圖邊緣區(qū)域產(chǎn)生較為明顯的誤差。延拓后的干涉圖經(jīng)時空移相方法處理后，提取出的相位分布精確度更高，對于不同形狀的干涉圖，獲得的PV 與RMS 均有改善。

3 實驗驗證與結果分析

以口徑為60 mm 的光學平面為測試樣品，測試系統(tǒng)為型號GPI XP/D 的ZYGO 干涉儀，其光路結構圖如圖8 所示。測試波長為633 nm，干涉圖像素數(shù)為720×720。

圖8 干涉儀光路結構圖Fig.8 Structure diagram of interferometer optical path

截取10 組自然環(huán)境下測試時的4 幅移相干涉圖，其中1 組如圖9 所示。采用本文方法提取相位信息，得到結果如圖10(a)所示，波面PV 與RMS值分別為0.044 6λ和0.010 9λ。未經(jīng)延拓的干涉圖直接采用時空移相方法處理后，得到結果如圖10(b)所示，相位分布的PV 和RMS 分別為0.123 6λ和0.011 7λ。此外，本文也使用傳統(tǒng)四步移相算法提取了相位信息，得到結果如圖10(c)，相位分布的PV 和RMS 分別為0.076 8λ和0.016 9λ。同樣除圓形以外，亦將干涉圖有效區(qū)域改為圖7 所示正三角形、正五邊形、正六邊形與不規(guī)則形狀并進行了實驗。表3 中的相位面形展示了不同形狀干涉圖經(jīng)延拓后所得相位結果的PV 與RMS，表3 中的殘差則展示了所得相位結果與ZYGO 干涉儀所得相位結果的殘差PV 及RMS。表4 中的相位面形展示了不同形狀干涉圖未經(jīng)延拓所得相位結果的PV與RMS，表4 中的殘差則展示了所得相位結果與ZYGO 干涉儀所得相位結果的殘差PV 及RMS。

表3 不同形狀的干涉圖經(jīng)延拓后的實驗結果Table 3 Experimental results of interferograms with different shape apertures after spreading

表4 不同形狀的干涉圖未經(jīng)延拓的實驗結果Table 4 Experimental results of interferograms with different shape apertures without spreading

圖9 實驗中采集的4 幅干涉圖Fig.9 Four interferograms collected in experiment

圖10 實驗結果Fig.10 Experimental results

由圖表數(shù)據(jù)可以看出，對未延拓的干涉圖直接套用時空移相方法，其所得結果由于邊緣誤差過大，不如傳統(tǒng)四步移相算法。延拓后的干涉圖，經(jīng)時空移相方法處理后，抑制了邊緣誤差，獲得的相位結果更加準確，且由于延拓成了矩形，獲得了完整有效區(qū)域的相位信息，其結果優(yōu)于傳統(tǒng)四步移相算法。此外，不同形狀所得結果的PV 值平均下降了53.4%，RMS 平均下降了22.4%。由表3 殘差數(shù)據(jù)可以看出，本文所提出的方法與ZYGO 干涉儀測得結果一致。不同形狀中，圓形干涉圖取得的效果最佳，驗證了仿真結果的正確性。

4 結論

使用時空移相方法測量表面形貌時，采樣與插值擬合時使用的測量區(qū)域必須是矩形，對于圓形孔徑下的干涉圖造成了相位信息缺失，本文提出了基于干涉圖延拓技術的時空移相方法，利用延拓技術將干涉圖延拓至矩形，后經(jīng)時空移相方法獲得圓形區(qū)域下的相位信息。除圓形以外，亦對三角形、五邊形、六邊形與不規(guī)則形狀的干涉圖進行了延拓，相同形狀的干涉圖，延拓后的情況相較于未延拓的情況，不會缺失有效區(qū)域內(nèi)的相位信息，獲得的面形信息結果更加完整，且延拓步驟能有效改善直接套用時空移相方法所帶來的邊緣誤差。此外，對于基于迭代傅里葉變換的延拓算法，本文對其兩個影響因素進行了研究，并提出了一個判斷迭代次數(shù)足夠與否的方案，以適應不同分辨率及有效區(qū)域占比的干涉圖。仿真結果表明，相同形狀的干涉圖延拓后的結果對比未延拓的結果，相位分布更加精確，且該方法對于移相誤差不敏感，具有抗振能力。以光學平晶為樣品進行實驗，不同形狀干涉圖經(jīng)延拓后所得結果相較于未延拓，PV 值平均下降了53.4%，RMS 平均下降了22.4%，且與ZYGO 干涉儀的測量結果一致。樣品邊緣面形誤差較小，證明了仿真結果的正確性。延拓技術彌補了時空移相方法的局限性，使其能夠在保持較高精確性的同時，擴大其測量范圍。