基于慣性能量分布的機(jī)床動(dòng)態(tài)特性分析及優(yōu)化

胡世軍，李治翔

(蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730050)

動(dòng)態(tài)性能是機(jī)床重要的性能指標(biāo)[1]，不合理的機(jī)床結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)會(huì)在實(shí)際加工過程中產(chǎn)生明顯的振動(dòng)，進(jìn)而影響加工精度。從總體來看，立式加工中心可以分為可動(dòng)與不可動(dòng)兩部分，不可動(dòng)部分由底座和立柱組成，可動(dòng)部分由橫梁、主軸箱組成。選擇子結(jié)構(gòu)法對(duì)機(jī)床進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析與動(dòng)態(tài)優(yōu)化時(shí)，應(yīng)先建立各子結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，然后根據(jù)連接條件得到整機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型。根據(jù)機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，可以用慣性能(動(dòng)能)、彈性能(勢(shì)能)、阻尼能和激振力輸入表示系統(tǒng)的振動(dòng)特性[2]。李播博等[3]基于子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法建立了重型牽引車的動(dòng)力學(xué)模型，并用六西格瑪方法對(duì)整車進(jìn)行了穩(wěn)健性優(yōu)化。鄧聰穎等[4]用有限元和試驗(yàn)的方法確定了加工中心整機(jī)的薄弱模態(tài)，并計(jì)算了薄弱模態(tài)下整機(jī)、結(jié)合部的彈性能以及結(jié)合部在整機(jī)中的彈性能分布率，基于等效接觸剛度優(yōu)化了整機(jī)的動(dòng)態(tài)性能。用于機(jī)床優(yōu)化的方法眾多，主要思路是通過動(dòng)力學(xué)分析確定機(jī)床動(dòng)態(tài)性能的薄弱環(huán)節(jié)，然后針對(duì)薄弱環(huán)節(jié)進(jìn)行優(yōu)化處理。戴磊等[5]在三維參數(shù)化特征CAD系統(tǒng)中，以三維實(shí)體結(jié)構(gòu)幾何模型為對(duì)象，以幾何尺寸參數(shù)為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，采用POSHAPE對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)。郭壘等[6]運(yùn)用靈敏度方法對(duì)一臺(tái)加工中心的立柱和立滑板的靜剛度進(jìn)行了優(yōu)化，并實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)的輕量化。Kroll等[7]用靈敏度方法對(duì)一臺(tái)機(jī)床的立柱進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。本文以一臺(tái)立式加工中心為研究對(duì)象，通過模態(tài)分析和慣性能量分布的計(jì)算結(jié)果優(yōu)化其動(dòng)態(tài)特性。

1 加工中心動(dòng)態(tài)特性分析

1.1 模態(tài)分析

模態(tài)分析是進(jìn)行機(jī)械結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析的重要方法。通過模態(tài)分析可以得到加工中心的固有頻率及相應(yīng)的振型。在機(jī)床中剛度、阻尼大部分來自于各結(jié)合面[8]，整機(jī)中的立柱與床身、導(dǎo)軌滑塊、橫梁和立柱導(dǎo)軌用已知的彈簧、阻尼系統(tǒng)代替，等效剛度和阻尼見表1，其余結(jié)合面簡(jiǎn)化為面面粘接。為了盡可能模擬機(jī)床在工作中的固定狀態(tài)，設(shè)置底座為固定約束。

表1 結(jié)合部等效參數(shù)

本文采用NX 12.0軟件建立加工中心有限元簡(jiǎn)化模型，采用有限元法分析了前十階模態(tài)，得到了相應(yīng)的固有頻率與振型，見表2。由表2可知，加工中心整機(jī)低階振型主要是以立柱和主軸箱為主，即立柱和主軸箱是對(duì)整機(jī)低階振型影響較大的構(gòu)件。

表2 前十階固有頻率及振型

1.2 諧響應(yīng)分析

模態(tài)反映的是加工中心的固有屬性，諧響應(yīng)分析則反映了加工中心實(shí)際工作中的激勵(lì)響應(yīng)情況，在主軸末端X，Y，Z3個(gè)方向分別施加幅值為1 000 N的簡(jiǎn)諧力，結(jié)構(gòu)阻尼比取0.05。用NX Nastran軟件分析0～200 Hz的幅頻響應(yīng)特性，得到了主軸端部幅頻特性曲線，如圖1～圖3所示。

圖1 X向幅頻特性曲線

圖2 Y向幅頻特性曲線

圖3 Z向幅頻特性曲線

由圖1～圖3可知，在分析頻率范圍內(nèi)，整機(jī)3個(gè)方向上都有不同的共振頻率，諧響應(yīng)幅值對(duì)應(yīng)的頻率即為整機(jī)的薄弱環(huán)節(jié)。因此可以判斷，立柱和主軸箱為整機(jī)的薄弱構(gòu)件。

2 子結(jié)構(gòu)劃分及慣性能分布的計(jì)算

2.1 子結(jié)構(gòu)劃分

在實(shí)際分析中，子結(jié)構(gòu)劃分應(yīng)充分考慮到系統(tǒng)在制造、裝配、采購過程中的天然組合情況。從整體來看，底座與立柱為不可動(dòng)子結(jié)構(gòu)，橫梁和主軸箱為可動(dòng)子結(jié)構(gòu)，如圖4所示。兩個(gè)子結(jié)構(gòu)之間用彈簧和阻尼元件來模擬連接。如圖5所示，設(shè)子結(jié)構(gòu)A的對(duì)接點(diǎn)As的振動(dòng)位移為AAseiωt，受力為FAseiωt，子結(jié)構(gòu)B的對(duì)接點(diǎn)Bs的振動(dòng)位移為BBseiωt，受力為FBseiωt，其中i為虛數(shù)單位，ω為頻率，t為時(shí)間單位。兩個(gè)子結(jié)構(gòu)之間的對(duì)接點(diǎn)振動(dòng)位移和作用力滿足式(1)。

圖5 子結(jié)構(gòu)連接方式

(1)

式中：FAs為子結(jié)構(gòu)A對(duì)節(jié)點(diǎn)的作用力；FBs為子結(jié)構(gòu)B對(duì)節(jié)點(diǎn)的作用力；K為剛度；c為阻尼；AAs為子結(jié)構(gòu)A的振動(dòng)位移；BBs為子結(jié)構(gòu)B的振動(dòng)位移。

2.2 慣性能分布計(jì)算

設(shè)機(jī)床子結(jié)構(gòu)A和B以k階模態(tài)振動(dòng)時(shí)的慣性能為TAk和TBk，整個(gè)機(jī)床以第k階模態(tài)振動(dòng)時(shí)慣性能為Tk，則Tk=TAk+TBk。由于采用有限元模型進(jìn)行模態(tài)分析，慣性能計(jì)算公式為：

(2)

(3)

式中：ωnk為第k階固有頻率；Ak為子結(jié)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)方向上的振幅列陣；m為質(zhì)量矩陣。定義兩個(gè)子結(jié)構(gòu)對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)慣性能的比值為：

(4)

式中：λAk和λBk分別為子結(jié)構(gòu)A和B的第k階比值。

能量分布是否均勻，可作為其質(zhì)量、剛度大小配置是否合理的指標(biāo)。計(jì)算得出子結(jié)構(gòu)慣性能的分布，見表3?？梢钥闯?，兩個(gè)子結(jié)構(gòu)慣性能分布很不均勻。底座與立柱的慣性能前5階占比很大，后5階占比相對(duì)較小。結(jié)合模態(tài)和諧響應(yīng)分析結(jié)果可知，前5階模態(tài)中振動(dòng)峰值主要集中在基頻51.13 Hz附近，導(dǎo)致底座、立柱的慣性能相對(duì)于橫梁、主軸箱有很大的差異。由機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)相關(guān)知識(shí)可知，提高系統(tǒng)的各階固有頻率可以提高結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性能，進(jìn)而優(yōu)化慣性能的分布。

表3 兩個(gè)子結(jié)構(gòu)前10階慣性能分布

3 立柱動(dòng)態(tài)性能優(yōu)化

在立式加工中心的各個(gè)部件中，優(yōu)化可操作性最大的為立柱，這是由于在底座的結(jié)構(gòu)中，要照顧到伺服電機(jī)、旋轉(zhuǎn)軸和其他輔助設(shè)備的安裝，而橫梁和主軸箱結(jié)構(gòu)中部分來自外部采購，要考慮采購件的尺寸及結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步優(yōu)化操作的可能性都不大。立柱中的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)有立柱壁厚、筋板厚度、筋板間距。立柱原有的結(jié)構(gòu)如圖6所示，參數(shù)及優(yōu)化范圍見表4。

圖6 立柱筋板布置

表4 立柱優(yōu)化參數(shù)單位：mm

通過模態(tài)分析得到立柱前后俯仰、左右搖擺、扭轉(zhuǎn)的模態(tài)振型，如圖7～圖9所示。

圖7 立柱前后俯仰 圖8 立柱左右搖擺

圖9立柱扭轉(zhuǎn)

立柱前后俯仰、左右搖擺、扭轉(zhuǎn)相應(yīng)的第1，2，5階模態(tài)頻率分別為：fb=89.96 Hz,fp=91.57 Hz,fr=175.94 Hz。

定義立柱的優(yōu)化頻率函數(shù)f的表達(dá)式為：

f=fb+fp+fr

(5)

以f為目標(biāo)，計(jì)算得出f對(duì)x1,x2,x3尺寸關(guān)系曲線，如圖10所示。

圖10 待優(yōu)化頻率與立柱尺寸關(guān)系

將圖10中的3條曲線做3次函數(shù)擬合，得到擬優(yōu)化的頻率與結(jié)構(gòu)尺寸的數(shù)學(xué)關(guān)系為：

(6)

式中：f(xi)為擬合函數(shù)，i為表4中的結(jié)構(gòu)參數(shù)；ai，bi，ci，di為相應(yīng)待定系數(shù)。

解出式(6)中3個(gè)方程的待定系數(shù)后，可用矩陣表示為：

f=PX+QX+WX+Z

(7)

其中：

Z=[357.43 357.43 357.43]T

結(jié)構(gòu)參數(shù)x1,x2,x3對(duì)底座和立柱子結(jié)構(gòu)質(zhì)量的影響規(guī)律如圖11所示。

圖11 子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量與結(jié)構(gòu)參數(shù)關(guān)系

將質(zhì)量和立柱尺寸變化曲線擬合成一次函數(shù)Mi：

Mi=K1xi+P1

(8)

式中：K1，P1為系數(shù)矩陣。由圖11中3條直線的數(shù)值關(guān)系解得：

P1=[11 220.25 13 345 13 728]T

以頻率f為優(yōu)化目標(biāo)，底座和立柱質(zhì)量變化為約束條件，建立優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型。

maxf

s.t.M≤13 700

-10≤xi≤10

(9)

用MATLAB優(yōu)化工具箱求解該優(yōu)化方程得到一組最優(yōu)解并取整數(shù)可得：

X=[33 29 465]T

用NX 12.0軟件中測(cè)量體命令測(cè)得優(yōu)化后的底座和立柱質(zhì)量為13 660 kg，相比優(yōu)化前的13 695 kg減重35 kg。

4 優(yōu)化結(jié)果驗(yàn)證

重新將優(yōu)化后的立柱裝配成整機(jī)并計(jì)算兩個(gè)子結(jié)構(gòu)的能量分布比例，詳見表5?？梢钥闯鰞蓚€(gè)子結(jié)構(gòu)慣性能的分布比例相對(duì)優(yōu)化前有一定改善。在主軸末端重新施加相同的諧波激勵(lì)，提取相應(yīng)的幅頻特性曲線，如圖12～圖14所示。由幅頻特性曲線可以看出，主軸端部X，Y，Z向共振幅值都有一定程度的減少，即對(duì)立柱厚度、筋板厚度、筋板間距進(jìn)行優(yōu)化后，提高了機(jī)床整機(jī)的動(dòng)態(tài)性能。

圖12 優(yōu)化后X向幅頻特性曲線

圖13 優(yōu)化后Y向幅頻特性曲線

表5 優(yōu)化后兩個(gè)子結(jié)構(gòu)的慣性能分布

圖14 優(yōu)化后Z向幅頻特性曲線

5 結(jié)束語

本文針對(duì)一臺(tái)立式加工中心進(jìn)行模態(tài)分析和慣性能量分布計(jì)算，從仿真分析可知，機(jī)床結(jié)構(gòu)的慣性能量分布情況對(duì)動(dòng)態(tài)性能有一定程度的影響。此外還通過建立目標(biāo)函數(shù)，優(yōu)化了機(jī)床立柱結(jié)構(gòu)參數(shù)，使得機(jī)床動(dòng)態(tài)特性得到提高，為機(jī)床結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供了一種新的方法。