讓數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)在“三育”教學(xué)土壤上茁壯成長(zhǎng)

祁山國(guó)寶

[摘? 要] “育魚”“育漁”和“育欲”代表著數(shù)學(xué)建模教學(xué)的“三育”，其中“育魚”代表“授基礎(chǔ)”，“育漁”代表“育方法”，“育欲”代表“誘樂趣”. 教師要有目的地創(chuàng)建“三育”教學(xué)土壤，以讓數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)得以有效扎根并成長(zhǎng).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)建模;核心素養(yǎng);“三育”教學(xué)

中國(guó)有句古諺：“授人以‘魚，不如授人以‘漁;授人以‘漁，不如授人以‘欲.”其寓意為單純地把知識(shí)教授給人，不如把獲取知識(shí)的方法與技能傳授給人;單純地把方法與技能傳授給人，不如把人們?cè)敢庵鲃?dòng)汲取知識(shí)的那種“求知欲”和“斗志欲”喚醒、誘活.

但是，在現(xiàn)實(shí)的建模學(xué)習(xí)中，學(xué)生往往沒法辨清代表知識(shí)的“魚”，也沒能悟透用以獲取知識(shí)的“漁”，更缺乏主動(dòng)求知的強(qiáng)烈欲望和主動(dòng)把愿望付諸行動(dòng)的高昂斗志. 因此，在實(shí)際建模教學(xué)中，“魚”“漁”與“欲”這三者，我們不能只抓其中的一者，而要三者兼顧——既要教育學(xué)生辨清“魚”，又要培育學(xué)生悟透“漁”，還要滋育學(xué)生染上“欲”.

在建模教學(xué)中，我們把育清“魚”，育透“漁”，育醒“欲”，簡(jiǎn)稱為“三育”. 其中，“魚”代表數(shù)學(xué)建模時(shí)學(xué)生要用到的理論依據(jù)和知識(shí)框架，“漁”代表數(shù)學(xué)建模中學(xué)生駕馭并挪用理論知識(shí)和數(shù)學(xué)思想去解決數(shù)學(xué)問題的手段、技巧與方法，“欲”代表學(xué)生對(duì)建模學(xué)習(xí)的欲望、興趣與熱情，它是學(xué)生能否成功獲取“魚”和“漁”的保障. “育魚”代表“授基礎(chǔ)”，“育漁”代表“育方法”，“育欲”代表“誘樂趣”，三者緊密相連，環(huán)環(huán)相扣，只有當(dāng)三者的關(guān)系被正確且有效處理好時(shí)，學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)才能有效落實(shí)，學(xué)生才能從“厭學(xué)”升華到“愛學(xué)”，從不情愿地、被動(dòng)地接納知識(shí)的初級(jí)層面跨越到興奮地、主動(dòng)地捕獲知識(shí)的高級(jí)層面.

數(shù)學(xué)建模教學(xué)中教師要重視抓實(shí)“三育”，要多教育學(xué)生把握“魚”的內(nèi)涵，要多培育學(xué)生領(lǐng)悟“漁”的精髓，要多滋育學(xué)生把內(nèi)心強(qiáng)烈的“學(xué)習(xí)欲”迸發(fā)出來. 教師要有目的地創(chuàng)建“三育”教學(xué)土壤，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)在“三育”教學(xué)土壤上茁壯成長(zhǎng).

要教育學(xué)生辨清“魚”，疏導(dǎo)學(xué)生把建模理論基礎(chǔ)夯實(shí)

數(shù)學(xué)知識(shí)是從生活實(shí)踐中概括抽象出來的，最后又借助數(shù)學(xué)建模再用到現(xiàn)實(shí)中去解決生產(chǎn)與生活過程遇到的各類問題. 學(xué)生在數(shù)學(xué)建模領(lǐng)域存在認(rèn)知空白，不完全是因?yàn)閷W(xué)生的認(rèn)知能力差，而是因?yàn)閷W(xué)生還沒真正學(xué)好數(shù)學(xué)語言去刻畫周邊的問題，以及還沒夯實(shí)數(shù)學(xué)建模時(shí)需要用到的理論基礎(chǔ). 因此，在建模教學(xué)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生把建模需要用到的“魚”事先捋順、悟清，夯實(shí)、悟透，即教師應(yīng)事先把建模要用到的理論依據(jù)、數(shù)學(xué)語言給學(xué)生疏導(dǎo)與溫故一遍，讓學(xué)生對(duì)其有個(gè)清晰的認(rèn)識(shí).

例1 美林湖摩天輪，位于廣東省清遠(yuǎn)市，是國(guó)內(nèi)屋頂摩天輪之一. 美林湖摩天輪的輪盤直徑為84米，其最高點(diǎn)距離地面高度為101米. 美林湖摩天輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)一周需耗時(shí)t分鐘，李紅在美林湖摩天輪座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙并開始計(jì)時(shí). 如果美林湖摩天輪只轉(zhuǎn)動(dòng)一周，要讓李紅距離地面80米以上的時(shí)間至少5分鐘，那么時(shí)間t的最小值應(yīng)為多少？

分析 摩天輪類問題能用三角函數(shù)來刻畫的根源是什么？這是多數(shù)學(xué)生心中的困惑. 要解決這一困惑，教師可先展開“魚”的教學(xué)，通過逐層誘導(dǎo)、深入剖析，讓學(xué)生徹底辨清并領(lǐng)悟摩天輪類運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)和緣由. 當(dāng)學(xué)生再次碰到此類問題時(shí)，就能快速做出反應(yīng)，利用三角函數(shù)深入化解.

因此，筆者構(gòu)造了以下問題，讓學(xué)生把刻畫摩天輪類問題的“魚”先辨清、吃透.

問題1 如圖1所示，M為單位圓上一點(diǎn)，∠BOM=α，怎樣用三角函數(shù)刻畫點(diǎn)M的坐標(biāo)？

答：M（cosα，sinα）.

問題2 若將圖1中的圓半徑改為A，其他條件不變，點(diǎn)M的坐標(biāo)又是什么？

答：M（Acosα，Asinα）.

問題3 如圖2所示，若∠BOD=φ，∠DOM=α，圓半徑為A，則怎么表示點(diǎn)M的坐標(biāo)？

答：因?yàn)椤螧OM=φ+α，所以M（Acos（α+φ），Asin（α+φ））.

問題4 在圖2中，∠BOD=φ，圓半徑為A，若某人由D點(diǎn)開始，沿著圓周逆時(shí)針按角速度ω rad/min勻速走動(dòng)，經(jīng)x分鐘后到達(dá)M點(diǎn)，則∠DOM為多少？怎么表示點(diǎn)M的坐標(biāo)？

答：由D點(diǎn)經(jīng)x分鐘后到達(dá)M點(diǎn)，則∠DOM=ωx，此時(shí)∠BOM=ωx+φ，故M（Acos（ωx+φ），Asin（ωx+φ）），即y=Asin（ωx+φ）.

經(jīng)歷上述問題的逐層啟發(fā)和誘導(dǎo)后，學(xué)生很容易悟出三角函數(shù)同圓周運(yùn)動(dòng)存在密切關(guān)系——做圓周運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)能用三角函數(shù)來刻畫，而摩天輪類問題就是一個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)問題，故摩天輪類問題能用三角函數(shù)來刻畫.

解析 建立平面直角坐標(biāo)系，作出表示摩天輪轉(zhuǎn)盤的圓M（如圖3所示），其中點(diǎn)M為圓心，x軸位于與地面平行的直線上，y軸位于過點(diǎn)M且垂直于地面的直線上.

設(shè)y=Asin（ωx+φ）+b（A>0，ω>0，b≥0），其中y為李紅離地面的距離，x為李紅坐上摩天輪的實(shí)際時(shí)間.

依題意可得y=101，y=17，周期為t. 所以A=（y-y）=42，b=（y+y）=59，ω=.

再由函數(shù)圖象過點(diǎn)（0，17）可得φ=-. 所以y=42sin

-≥5，解得t≥15，故t的最小值為15.

點(diǎn)評(píng) 當(dāng)遇見現(xiàn)實(shí)問題時(shí)，學(xué)生能否快速抽象出其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)模型，取決于學(xué)生對(duì)這個(gè)知識(shí)模塊的學(xué)習(xí)與領(lǐng)悟深度. 因此，在夯實(shí)數(shù)學(xué)建模理論基礎(chǔ)時(shí)，教師要多點(diǎn)“魚”的教學(xué)，要讓學(xué)生把建模過程中需要用到的“魚”事先辨清、吃透.

要培育學(xué)生悟透“漁”，引誘學(xué)生把建模通性通法領(lǐng)悟透徹

在數(shù)學(xué)建模過程中，許多學(xué)生往往找不到破解問題的突破口，其中關(guān)鍵的一個(gè)原因是學(xué)生還不懂如何去尋找客觀事物與數(shù)學(xué)模型之間的橋梁，還不明白怎么去捕捉現(xiàn)實(shí)問題與數(shù)學(xué)模型之間的紐帶與紅線. 因此，在建模教學(xué)中，教師要把尋找橋梁、捕捉紐帶的“漁”教給學(xué)生，讓學(xué)生學(xué)清楚、悟透徹，教師要多點(diǎn)“漁”的教學(xué)，要點(diǎn)撥學(xué)生懂得追根溯源、動(dòng)中尋定，要啟發(fā)學(xué)生擅長(zhǎng)去發(fā)現(xiàn)破解問題的突破口，要誘導(dǎo)學(xué)生善于去捕捉拓展問題的紐帶與紅線，要引導(dǎo)學(xué)生把建模的通性通法磨清楚、悟透徹.

例2 已知有一地塊，形狀為正三角形ABC，邊長(zhǎng)為2千米，邊BC的中點(diǎn)為D. 政府計(jì)劃由D出發(fā)修兩條筆直小道DE與DF，小道寬度忽略不算，射線DE，DF與邊AB，AC分別交于E，F(xiàn)，∠EDF=60°;在四邊形AEDF圍成的地塊內(nèi)政府預(yù)種植草坪綠化，其他地塊作為儲(chǔ)備用地留作它用. 求草坪面積S的最大值.

分析 為授之以“漁”，教師可啟發(fā)學(xué)生善于從多個(gè)角度切入展開構(gòu)思，引導(dǎo)學(xué)生從致使面積發(fā)生變動(dòng)的成因入手深入剖析，學(xué)會(huì)動(dòng)中尋定. 因∠BDE是面積變動(dòng)的根源，故可用“角”設(shè)元，構(gòu)建三角函數(shù)后求最值;又線段CF的長(zhǎng)也是面積改變的動(dòng)因，故可用“線段”設(shè)元，借助打勾函數(shù)再利用基本不等式求最值.

解法1 “角”是面積改變的動(dòng)因，用“角”設(shè)元.

設(shè)∠BDE=α（30°<α<90°），由題意得∠BED=∠CDF=120°-α，∠CFD=α.

在△BDE和△CDF中，分別根據(jù)正弦定理可得BE=，CF=.

點(diǎn)評(píng) 教師對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法和解題思路技巧等進(jìn)行點(diǎn)撥與啟迪時(shí)，可多點(diǎn)“漁”的育導(dǎo)，讓學(xué)生拓寬思維層面、積蓄解題悟性，從而快捷地挖掘并發(fā)現(xiàn)動(dòng)中蘊(yùn)含的定性、問題背后深藏的本質(zhì)，找出規(guī)律，實(shí)現(xiàn)化疑解惑.

要滋育學(xué)生染上“建模欲”，激勵(lì)學(xué)生“搶著學(xué)”“盼著學(xué)”

數(shù)學(xué)建模中的“欲”，是指學(xué)生探索數(shù)學(xué)建模的一種好奇心，是指學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的一份熱情、興趣和欲望，是學(xué)生在建模過程中的一種情感、認(rèn)可度和價(jià)值觀的集中展現(xiàn). 如果教學(xué)中只重視知識(shí)的傳授和方法的啟迪，只注重“魚”和“漁”的教學(xué)與培養(yǎng)，而忽視了學(xué)生“欲”的誘導(dǎo)與激勵(lì)，那么學(xué)生的學(xué)習(xí)頂多只能處在一種被動(dòng)接納知識(shí)的啟蒙階段. 因此，在教學(xué)中，授學(xué)生以“魚”和“漁”的同時(shí)，還要多點(diǎn)“欲”的熏陶，教師要不斷地想方設(shè)法喚醒學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和欲望，要讓學(xué)生的自尊心受到保護(hù)，要讓學(xué)生的好奇心得以呵護(hù)，要讓學(xué)生真正感受到數(shù)學(xué)建模的價(jià)值和意義，要把學(xué)生的“愛學(xué)欲”培養(yǎng)并激發(fā).

例3 為提升銷售業(yè)績(jī)，公司制定下列獎(jiǎng)勵(lì)措施：每月員工工資包括0.8萬元基本工資和獎(jiǎng)金，且獎(jiǎng)金y（萬元）跟隨月銷售總金額x（萬元）的變動(dòng)而變化，月銷售總金額越大獎(jiǎng)金越多;同時(shí)每月最高獎(jiǎng)金不能高于月銷售總金額的1%，每月最低獎(jiǎng)金不低于-0.6萬元，當(dāng)獎(jiǎng)金為負(fù)數(shù)時(shí)，要在員工基本工資上扣掉相應(yīng)的金額. 另外，由于公司生產(chǎn)力受限，每月每個(gè)員工銷售總額不超過500萬元.

現(xiàn)有獎(jiǎng)勵(lì)模型：①y=f（x）=x-1.2;②y=f（x）=-0.6;③y=f（x）=x2-0.6. 請(qǐng)判斷當(dāng)x∈[0，500]時(shí)，上面哪個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型更適合公司需求？

分析 判斷哪個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型更適合公司需求，教師可引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)最值的大小對(duì)員工積極性的影響做判斷，滲透數(shù)學(xué)模型的用途和意義;可啟發(fā)學(xué)生從函數(shù)零點(diǎn)大小與公司發(fā)展前景的關(guān)系入手進(jìn)行篩選，滲透數(shù)學(xué)模型的作用和價(jià)值;另外，教師還可誘導(dǎo)學(xué)生站在公司高層管理的角度，從數(shù)學(xué)模型對(duì)緩解公司現(xiàn)有競(jìng)爭(zhēng)壓力、減緩公司目前所遭受的困境等方面的影響切入剖析，做出取舍，滲透數(shù)學(xué)模型的實(shí)踐指導(dǎo)意義和應(yīng)用價(jià)值. 教師要引導(dǎo)學(xué)生從多角度切入剖析，讓學(xué)生明白原來這么多數(shù)學(xué)知識(shí)與生活息息相關(guān)，讓學(xué)生領(lǐng)悟?qū)W好并用好數(shù)學(xué)知識(shí)可以化解這么多現(xiàn)實(shí)難題，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的“學(xué)習(xí)欲”，讓學(xué)生更“想學(xué)”、更“愛學(xué)”！

解析 根據(jù)每月最低獎(jiǎng)金不低于-0.6萬元，代表y的最小值為-0.6，而模型①的最小值為-1.2，故不滿足獎(jiǎng)金最低值的限定，可以排除掉.

對(duì)于模型②，其他條件都滿足，但函數(shù)零點(diǎn)太小，代表公司月銷售額的最低指標(biāo)定得過低，員工不需要怎么費(fèi)力就可以輕松拿到獎(jiǎng)金，而且最大值沒有超過1.7萬元，代表員工即使努力使月銷售額突破頂峰500萬元，獎(jiǎng)金也不高，不利于激發(fā)員工的積極性. 因此，模型②不符合公司客觀需求，也應(yīng)排除掉.

對(duì)于模型③，所有條件都符合，函數(shù)零點(diǎn)也適中，代表員工拿到獎(jiǎng)金的門檻不高，大多數(shù)員工經(jīng)過一定的努力都能拿到獎(jiǎng)金;獎(jiǎng)金最大值接近5萬元，有較大的誘惑性，可較大程度地激發(fā)員工努力去拓寬渠道提升月銷售額以拿到更高的獎(jiǎng)金. 因此，從公司長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展的綜合角度來看，最理想的獎(jiǎng)勵(lì)模型是模型③.

點(diǎn)評(píng) 為授學(xué)生以“欲”，則教師要讓學(xué)生切身感受數(shù)學(xué)模型的價(jià)值和意義，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)欲望. 教師不能單純?yōu)榱私忸}而講題，若學(xué)生失去了學(xué)習(xí)欲望與熱情，哪怕教師授的“魚”和“漁”再精彩，學(xué)生也會(huì)因?yàn)闆]有食欲而進(jìn)食無味.

總之，數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)課本知識(shí)通往生活實(shí)踐與應(yīng)用的一座堅(jiān)實(shí)橋梁，更是解開學(xué)生心結(jié)，讓學(xué)生從“學(xué)會(huì)”進(jìn)階到“會(huì)學(xué)”，從模仿跨越到創(chuàng)新的一把高效鑰匙. 在建模教學(xué)中，教師要抓實(shí)“三育”，重視對(duì)“魚”內(nèi)涵的啟迪、對(duì)“漁”本質(zhì)的栽培、對(duì)“欲”靈魂的勸導(dǎo)與誘激;要有意識(shí)地把數(shù)學(xué)建模思想滲透到日常教學(xué)活動(dòng)中去，多給學(xué)生營(yíng)造數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)成長(zhǎng)的氛圍和土壤;要借助各種方法和手段激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的濃厚興趣和愛好，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)建模的活動(dòng)中切身感受并領(lǐng)悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的關(guān)聯(lián)，體會(huì)并感悟數(shù)學(xué)給生活帶來的便利，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在建模實(shí)踐過程中不斷完善和深化.