三力平衡問題的求解策略
———以“輕繩、輕桿模型”為例

■山東省臨沂第十八中學(xué) 張 宇

■山東省臨沂第十九中學(xué) 夏宗平

共點(diǎn)力平衡是指物體受到幾個(gè)力的作用處于平衡狀態(tài),即處于靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。三力平衡是共點(diǎn)力平衡問題中的一個(gè)考查熱點(diǎn),也是難點(diǎn),求解三力平衡問題對(duì)同學(xué)們的理解能力、空間想象能力、邏輯推導(dǎo)能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題能力的要求都較高。下面以“輕繩、輕桿模型”中的三力平衡問題為例,論述如何透過表面現(xiàn)象,抓住各種題型的本質(zhì)特征,找到相應(yīng)的解題方法,供同學(xué)們參考。

一、三力靜態(tài)平衡問題

例1如圖1所示,水平輕桿BC的B端用鉸鏈固定在豎直墻壁上,輕繩AD拴接在輕桿C端,D端所掛物體質(zhì)量為m,輕繩AC段與水平方向間的夾角α=30°,取重力加速度g=10 m/s2,求輕繩AC的拉力T的大小,以及輕桿BC對(duì)結(jié)點(diǎn)C的支持力N。

圖1

指點(diǎn)迷津：本題是平衡問題中典型的死結(jié)、活桿模型,以結(jié)點(diǎn)C為研究對(duì)象,分析輕繩時(shí)要特別注意輕繩AC段是拴接在C點(diǎn)的,其拉力不等于物體的重力,分析輕桿時(shí)要特別注意與鉸鏈相連的桿上的作用力一定沿桿的方向。

解法1：力的合成法。對(duì)結(jié)點(diǎn)C進(jìn)行受力分析,以T和N為鄰邊作平行四邊形,其對(duì)角線與mg大小相等,方向相反,如圖2所示。根據(jù)幾何關(guān)系得,方向水平向右。

圖2

解法2：正交分解法。對(duì)結(jié)點(diǎn)C進(jìn)行受力分析并正交分解,如圖3 所示。根據(jù)幾何關(guān)系得Tx=Tcosα,Ty=Tsinα。根據(jù)平衡條件得Tx=N,Ty=mg。聯(lián)立以上各式解得,方向水平向右。

圖3

點(diǎn)評(píng):已知三個(gè)力的方向且其中兩個(gè)力存在垂直關(guān)系是三力靜態(tài)平衡問題中最常見的題型。解題時(shí)既可以利用力的合成法,先構(gòu)建平行四邊形找到直角三角形,再利用三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解;也可以利用正交分解法,先以相互垂直的兩個(gè)力的方向?yàn)閤、y軸建立平面直角坐標(biāo)系,將不在坐標(biāo)軸上的那個(gè)力分解到坐標(biāo)軸上,再利用平衡關(guān)系進(jìn)行求解。

變式1：如圖4 所示,輕桿BC的B端用鉸鏈固定在水平地面上,輕繩AD拴接在輕桿C端,D端所掛物體質(zhì)量為m,輕繩AC段與水平方向間的夾角α=30°,輕桿BC與水平方向間的夾角β=45°,取重力加速度g=10 m/s2,求輕繩AC的拉力T的大小,以及輕桿BC對(duì)結(jié)點(diǎn)C的支持力。

圖4

答 案：,方向與水平方向成45°角斜向右上方。 提示:已知的三個(gè)力不存在某兩個(gè)力的方向始終垂直的關(guān)系,無(wú)法構(gòu)建直角三角形,但可以用正交分解法進(jìn)行求解。對(duì)結(jié)點(diǎn)C進(jìn)行受力分析并正交分解,如圖5所示。根據(jù)幾何關(guān)系得Tx=Tcosα,Ty=Tsinα,Nx=Ncosβ,Ny=Nsinβ。根據(jù)平衡條件得Tx=Nx,Ny=Ty+mg。聯(lián)立以上各式解得,方向與水平方向成45°角斜向右上方。

圖5

變式2：如圖6 所示,輕繩AD跨過固定在水平橫梁BC右端的定滑輪懸掛一個(gè)質(zhì)量為m的物體,輕繩AC段與水平方向間的夾角α=30°,取重力加速度g=10 m/s2。求輕繩AC段的張力T的大小,以及橫梁BC對(duì)C點(diǎn)的支持力。

圖6

答案：T=mg;N=mg,方向與豎直方向成60°角斜向右上方。 提示:已知兩個(gè)力的大小和方向且兩個(gè)力存在相等關(guān)系,而第三個(gè)力的方向未知,用力的合成法構(gòu)建菱形可知第三個(gè)力一定在前兩個(gè)力的角平分線上,根據(jù)三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系即可求出第三個(gè)力的大小。對(duì)C點(diǎn)進(jìn)行受力分析,則T=mg,以T和mg為鄰邊作平行四邊形,其對(duì)角線與N大小相等,方向相反,如圖7 所示。根據(jù)幾何關(guān)系得N=mg,方向與豎直方向成60°角斜向右上方。

圖7

二、三力動(dòng)態(tài)平衡問題

例2如圖8所示,用輕繩OA、OB懸掛一物體處于平衡狀態(tài),輕繩OA與豎直方向成一夾角,輕繩OB水平。當(dāng)輕繩OA的懸點(diǎn)A緩慢向右移動(dòng)時(shí),輕繩OB始終保持水平。設(shè)此過程中輕繩OA、OB的拉力分別為FOA、FOB,下列說法中正確的是( )。

圖8

A.FOA一直減小

B.FOA先減小后增大

C.FOB一直減小

D.FOB先增大后減小

指點(diǎn)迷津：在對(duì)O點(diǎn)進(jìn)行受力分析時(shí)要特別注意當(dāng)輕繩OA的懸點(diǎn)A向右移動(dòng)時(shí),FOC的大小和方向均不變,FOB的方向不變,FOA的方向發(fā)生變化,需要抓住“變化“與“平衡”間的關(guān)系。

解法1：解析法。對(duì)初狀態(tài)O點(diǎn)進(jìn)行受力分析,設(shè)FOA與豎直方向間的夾角為θ,以FOA和FOB為鄰邊作平行四邊形,其對(duì)角線與mg大小相等,方向相反,如圖9 所示。根據(jù)幾何關(guān)系得。當(dāng)輕繩OA的懸點(diǎn)A緩慢向右移動(dòng)時(shí),θ減小,根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性得FOA一直減小,FOB也一直減小。

圖9

解法2：圖解法。以初狀態(tài)O點(diǎn)為研究對(duì)象,其受到的mg、FOA、FOB可構(gòu)成矢量三角形,如圖10 所示。當(dāng)輕繩OA的懸點(diǎn)A緩慢向右移動(dòng)時(shí),FOA與豎直方向間的夾角減小,需要將FOA的方向繞重力的末端沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成新的矢量三角形,觀察變化的矢量三角形可以看出FOA、FOB均逐漸減小。

圖10

答案：AC

點(diǎn)評(píng):本題是三力動(dòng)態(tài)平衡問題中一個(gè)力的大小和方向均不變,一個(gè)力的方向不變,一個(gè)力的方向發(fā)生變化類題型。因?yàn)槿齻€(gè)力中FOB和mg始終存在垂直關(guān)系,所以既可以利用力的合成法,先構(gòu)建平行四邊形找到直角三角形,再利用三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解;也可以利用圖解法,將三力首尾相連構(gòu)成矢量三角形,當(dāng)FOA方向發(fā)生變化時(shí)比較矢量三角形線段的長(zhǎng)度變化即可判斷力的變化情況。

變式3：如圖11所示,用輕繩OA、OB懸掛一物體處于平衡狀態(tài),開始時(shí)輕繩OB水平?，F(xiàn)保持O點(diǎn)位置不變,改變輕繩OB的長(zhǎng)度使輕繩右端由B點(diǎn)緩慢上移至B'點(diǎn),此時(shí)輕繩OB'與OA之間的夾角θ＜90°。設(shè)此過程中輕繩OA、OB的拉力分別為FOA、FOB,下列說法中正確的是( )。

圖11

A.FOA一直減小

B.FOA一直增大

C.FOB一直減小

D.FOB先增大后減小

答案：A 提示:雖然FOB的方向發(fā)生變化,使得三個(gè)力不存在某兩個(gè)力的方向始終垂直的關(guān)系,無(wú)法構(gòu)建直角三角形,但可以用圖解法進(jìn)行求解。以初狀態(tài)O點(diǎn)為研究對(duì)象,其受到的mg、FOA、FOB可構(gòu)成矢量三角形,如圖12所示。當(dāng)B點(diǎn)緩慢向上移動(dòng)時(shí),FOB與豎直方向間的夾角減小,需要將FOB的方向繞重力的末端沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成新的矢量三角形,直至FOA與FOB之間的夾角小于90°,觀察變化的矢量三角形可以看出FOA逐漸減小,FOB先減小后增大。

圖12

例3如圖13所示,輕繩與輕桿承受彈力的最大值一定,輕桿的C端用鉸鏈固定,光滑輕小滑輪在C點(diǎn)正上方,B端吊一重物,現(xiàn)將輕繩的一端拴在輕桿的B端,用拉力F將B端緩慢上拉,在輕桿BC達(dá)到豎直前(輕繩與輕桿均未斷),關(guān)于輕繩的拉力FAB和輕桿受到的彈力FBC的變化,下列說法中正確的是( )。

圖13

A.FAB增大 B.FAB減小

C.FBC增大 D.FBC減小

指點(diǎn)迷津：在對(duì)B點(diǎn)進(jìn)行受力分析時(shí)要特別注意將B端緩慢上拉時(shí),FBD(等于重物的重力)的大小和方向均不變,FAB和FBC的方向均發(fā)生變化,需要找到圖中暗含的空間幾何三角形和力的矢量三角形的相似關(guān)系。

解析：對(duì)結(jié)點(diǎn)B進(jìn)行受力分析,以FAB和FBC為鄰邊作平行四邊形,其對(duì)角線與mg大小相等,方向相反,如圖14 所示。根據(jù)空間幾何三角形ABC與力的矢量三角形相似得。將B端緩慢上拉的過程中,AC、BC邊的長(zhǎng)度不變,AB邊的長(zhǎng)度減小,所以FBC不變,FAB減小。

圖14

答案：B

點(diǎn)評(píng):本題是三力動(dòng)態(tài)平衡問題中一個(gè)力的大小和方向均不變,另外兩個(gè)力的方向均發(fā)生變化類題型。需要在正確受力分析的基礎(chǔ)上先作出平行四邊形,再找到相似的幾何三角形與力的矢量三角形,由對(duì)應(yīng)邊成比例寫出等式進(jìn)行計(jì)算、推理即可得出答案。

變式4：如圖15 所示,裝置中兩根細(xì)繩拴住一小球,保持兩細(xì)繩間的夾角θ=120°不變,若把整個(gè)裝置沿順時(shí)針方向緩慢轉(zhuǎn)過90°,則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中,關(guān)于兩細(xì)繩的拉力FCA和FCB的變化,下列說法正確的是( )。

圖15

A.FCA先減小后增大

B.FCA先增大后減小

C.FCB先減小后增大

D.FCB一直減小,且最終減小為零

答案：BD 提示:在裝置緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中,小球重力mg的大小和方向均不變,FCA和FCB的方向均發(fā)生變化但它們的夾角始終保持不變,可以利用“同圓中同弦所對(duì)的圓周角相等”建構(gòu)一個(gè)輔助圓進(jìn)行求解。以初狀態(tài)小球?yàn)檠芯繉?duì)象,其受到的mg、FCA、FCB可構(gòu)成矢量三角形,畫矢量三角形的外接圓,保持恒力mg這條弦不變,在CA由水平方向緩慢轉(zhuǎn)到豎直方向的過程中,保持FCA與FCB的夾角不變,畫出三個(gè)力動(dòng)態(tài)平衡的矢量三角形,如圖16 所示。由圖可以看出,FCA先增大后減小,FCB一直減小,且最終減小為零。

圖16