管狀曲面上的定傾曲線研究

齊 瑞,秦 路,李政偉

( 1.鄭州西亞斯學(xué)院 教育學(xué)院,河南 鄭州 451191;2.鄭州市中原區(qū)教育局,河南 鄭州 450007)

經(jīng)典的定傾曲線又稱螺線,指切向量與固定方向的夾角為常數(shù)的曲線。這類曲線有很多重要的性質(zhì),如圓柱面上定傾曲線的曲率和撓率之比為常數(shù)。文獻(xiàn)[1]推廣定義了圓環(huán)面上的定傾曲線,并得到了這類曲線的具體表達(dá)式。管狀曲面是一類更廣泛的曲面,它可以看成是沿著一條曲線r(u)(稱為中心曲線)的各點(diǎn)在法平面以固定半徑λ生成的圓周構(gòu)成的,可以表示為

r(u,θ)=r(u)+λ(cosθβ(u)+sinθγ(u)),λ>0,

(1)

式中:u為曲線r(u)的弧長(zhǎng)參數(shù),u∈I;θ為角參數(shù),θ∈[0,2π];β(u)和γ(u)為曲線r(u)的主法向量和次法向量。從管狀曲面的研究[2-4]可以看出,圓環(huán)面是一種特殊的管狀曲面。仿照?qǐng)A環(huán)面上定傾曲線的定義,考慮管狀曲面上的定傾曲線。

定義(定傾曲線)對(duì)于管狀曲面r(u,θ)上的曲線,如果它在每一點(diǎn)處與中心曲線r(u)的夾角為常數(shù),則稱為該管狀曲面上的定傾曲線。

關(guān)于管狀曲面上的定傾曲線,本研究得到了以下結(jié)論:

主要定理記管狀曲面r(u,θ)的中心曲線的曲率和撓率分別為k(u)和τ(u),則與中心曲線夾角為φ的定傾曲線滿足下列條件之一:

2)r(u,θ(u))=r(u)+λ(cosθ(u)β(u)+sinθ(u)γ(u) ),其中θ(u)滿足方程θ′(u)+sinφk(u)cosθ(u)=λ-1(sinφ-τ(u)),或者θ′(u)-sinφk(u)cosθ(u)=-λ-1(sinφ+τ(u))。

推論1若中心曲線撓率τ=±sinφ,則定傾曲線局部為r(u,θ(u)),其中

(2)

注記1在推論2中,若取τ=0,則可得到圓環(huán)面上定傾曲線的解析表達(dá)式。

1 主要定理的證明

對(duì)于管狀曲面r(u,θ)上的截圓r(u0,θ),直接計(jì)算得到任一點(diǎn)處的切向量為

(3)

很明顯,該向量落在中心曲線r(u)的法平面,因而與中心曲線的夾角φ=0,這說(shuō)明r(u0,θ)是定傾曲線。

注意到曲面r(u,θ)上的θ-曲線不是定傾曲線,因此可以假設(shè)管狀曲面式(1)上的定傾曲線具有形式r(u,θ(u))或者r(u(θ),θ)。

(4)

記中心曲線r(u)的單位切向量為α(u)=r′(u)。利用Frenet標(biāo)架的運(yùn)動(dòng)方程

(5)

(6)

其模長(zhǎng)為

(7)

λθ′(u)+τ(u)=±sinφ(1-λk(u)cosθ(u)),

(8)

即有

θ′(u)+sinφk(u)cosθ(u)=λ-1(sinφ-τ(u)),

(9)

或者

θ′(u)-sinφk(u)cosθ(u)=-λ-1(sinφ+τ(u))。

(10)

當(dāng)夾角φ=0時(shí),方程(8)化為λθ′(u)+τ(u)=0。因此,有

(11)

至此,完成了主要定理的證明。

2 推論1的證明

當(dāng)τ=sinφ時(shí),方程(9)化為

θ′(u)+sinφk(u)cosθ(u)=0,

(12)

兩邊積分

(13)

從而得到

(14)

在相差一個(gè)參數(shù)平移變換下,有

(15)

當(dāng)τ=-sinφ時(shí),類似方程(10)可得

(16)

這兩種情況可給出推論1中的結(jié)論。

3 推論2的證明

當(dāng)中心曲線的曲率和撓率都是常數(shù)時(shí),方程(9)和方程(10)可分離變量,積分得

(17)

利用文獻(xiàn)[5]中的積分公式

(18)

和

(19)

易得推論2的結(jié)論。

4 結(jié)語(yǔ)

從管狀曲面上定傾曲線的刻畫方程來(lái)看,要解決一般中心曲線的情形,需要處理復(fù)雜的一階非線性微分方程,而這類方程往往沒(méi)有解析解,因此要深入研究管狀曲面上的定傾曲線,需要從其他角度開(kāi)展工作,這是后續(xù)的研究方向。