開展多維探究發(fā)展核心素養(yǎng)
——圓維曲線一類三點共線問題的探究及思考

廣東省深圳市高級中學(xué)理慧高中(518040) 高軍

1 引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版)》必修課程主題五和選擇性必修課程主題四設(shè)計了“數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究活動”主題,指出自主探索和合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式,要讓學(xué)生獲得進行數(shù)學(xué)探究的切身體驗和能力[1]. 筆者認(rèn)為,深化普通高中課程改革的核心之一是轉(zhuǎn)變教師的教育理念,堅持教學(xué)方式的改革,倡導(dǎo)積極主動、敢于質(zhì)疑、自主探究、合作交流的學(xué)習(xí)方式. 因此,開展多維探究,構(gòu)建有效探究式教學(xué)課堂是促進學(xué)生有效學(xué)習(xí)、發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的必然要求. 以下教學(xué)案例是基于這種理念下的嘗試,與同行交流.

2 案例呈現(xiàn)

2.1 問題

如圖1, 已知橢圓G:直線l:x= 4與x軸相交于點E,過橢圓G右焦點F的直線與橢圓相交于A,B兩點, 點C在直線l上且BC//x軸,點M為線段EF中點,求證: 點A,M,C三點共線.

圖1

2.2 解法探究

思路一(轉(zhuǎn)化為向量共線)或定值問題,拓展了學(xué)生思維.

思路五(轉(zhuǎn)化為幾何證明)

評注: 結(jié)合幾何性質(zhì)及橢圓第二定義解決問題. 圓錐曲線第二定義在教材的閱讀材料有專門介紹. 這說明好的方法源于豐富的知識儲備,知識就是力量.

小結(jié): 思路一和思路五是直接法,從代數(shù)和幾何角度直接求證. 解法二、三、四是間接法,將求證結(jié)論合理進行轉(zhuǎn)化,分別通過線線平行、定點問題、定值問題的解決來求證,蘊含同一法原理,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.

2.3 變式探究

一個問題的研究往往孕育著新的問題的產(chǎn)生,對應(yīng)思路二、三、四,轉(zhuǎn)化題目的條件和結(jié)論,可以得到有關(guān)線線平行、定點問題、定值問題為結(jié)論的三個命題. 還有沒有其它變式,是與橢圓焦點弦有關(guān)且以三點共線為結(jié)論的命題? 經(jīng)過教師引導(dǎo),學(xué)生的獨立探究、小組合作得到如下變式:

變式1如圖2,已知橢圓直線l:x=4與x軸相交于點E,過橢圓G右焦點F的直線與橢圓相交于A,B兩點,點A關(guān)于x軸的對稱點為A1,求證: 點A1,B,E三點共線.

圖2

變式2如圖3,已知橢圓設(shè)橢圓的左、右頂點分別為M,N,A是橢圓上異于M,N的任意一點,點F為橢圓的右焦點,直線AF交橢圓于另一點B,直線AN交直線l:x=4 于點Q,求證: 點M,B,Q三點共線.

圖3

變式3如圖4,已知橢圓橢圓的左、右頂點分別為M,N,過橢圓G右焦點F的直線與橢圓相交于A,B兩點,直線MA與直線l:x= 4 相交于點E,過點F作直線FD⊥FE與直線l:x= 4 相交于點D,求證: 點M,B,D三點共線.

圖4

變式4如圖5, 已知橢圓過直線l:x= 4 上任意一點E作橢圓兩條切線,切點分別為A,B,點F為橢圓的右焦點,求證: 點A,F,B三點共線.

圖5

評注: 這些命題都是對橢圓中一類有關(guān)焦點弦的命題,經(jīng)過條件和結(jié)論的適當(dāng)轉(zhuǎn)換進行變式而成,類比前面三點共線問題的解決思路,這四個命題容易得到證明.

數(shù)學(xué)教育家波利亞說過:“解完題后還能不能換個角度考慮一下? 還能不能再推廣呢? ”將橢圓類比到雙曲線或拋物線,是否也有類似的結(jié)論?

2.4 類比探究

鼓勵學(xué)生大膽猜想,引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形進行驗證,將橢圓類比到雙曲線得到以下結(jié)論:

結(jié)論一已知雙曲線直線與x軸相交于點E,過雙曲線G右焦點F的直線與雙曲線的右支相交于A,B兩點,點C在直線l上且BC//x軸,點M為線段EF中點,則點A,M,C三點共線.

結(jié)論二已知雙曲線直線與x軸相交于點E,過雙曲線G右焦點F的直線與雙曲線相交于A,B兩點,點A關(guān)于x軸的對稱點為A′,則點A′,B,E三點共線.

結(jié)論三已知雙曲線設(shè)雙曲線的左、右頂點分別為M,N,點F為雙曲線的右焦點,A是雙曲線上異于M,N的任意一點,直線AF交雙曲線于另一點B,直線AN交直線于點Q,則點M,B,Q三點共線.

結(jié)論四已知雙曲線設(shè)雙曲線的左、右頂點分別為M,N,過雙曲線G右焦點F的直線與雙曲線右支相交于A,B兩點, 直線MA與直線相交于點E,過點F作直線FD⊥FE與直線l相交于點D,則點M,B,D三點共線.

結(jié)論五已知雙曲線過直線上一點E作雙曲線兩條切線,切點分別為A,B,點F為雙曲線的右焦點,則點A,F,B三點共線.

評注: 如果將橢圓類比到拋物線,也會有相關(guān)類似的結(jié)論. 我們發(fā)現(xiàn),問題及變式的條件有共同點: 直線AB過圓錐曲線焦點,直線l為圓錐曲線的準(zhǔn)線. 如果直線AB過x軸上任意一點,是否也有更一般的結(jié)論?

2.5 歸納探究

條件是非本質(zhì)的特殊情況,由特殊到一般,作如下推廣:

結(jié)論六如圖6,已知橢圓直線與x軸相交于點E,過x軸上的點T(t,0)的直線與橢圓相交于A,B兩點,點C在直線l上且BC//y軸,點M為線段ER中點,點A,M,C三點共線.

圖6

如果直線AB過x軸上一點,也可作如下推廣:

結(jié)論七如圖7,已知橢圓直線與y軸相交于點E,過y軸上的點R(0,r)的直線與橢圓相交于A,B兩點,點C在直線l上且BC//y軸,點M為線段ER中點,點A,M,C三點共線.

圖7

評注: 由合情推理,前面結(jié)論可進行一般情況的推廣,可以得到很多的新的命題和結(jié)論. 以上結(jié)論的推證過程與案例的探究過程相仿,這里從略.

3 教學(xué)思考

3.1 滲透數(shù)學(xué)思想,多解探究,發(fā)展核心素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017)》指出:“……突出數(shù)學(xué)主線,凸顯數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯和思想方法. ”在案例的探究過程中,滲透轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想在解題中的重要作用. 通過數(shù)學(xué)思想的融會貫通,引導(dǎo)學(xué)生從多角度思考問題,有利于提高學(xué)生分析問題解決問題的能力,發(fā)展學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.2 以問題為導(dǎo)向,變式探究,發(fā)展核心素養(yǎng)

顧明遠(yuǎn)先生指出:“課堂教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生思維的主渠道,只有會思考并提出問題,才能培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維、創(chuàng)新思維的能力. ”變式探究中的四個變式都是學(xué)生根據(jù)以往的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗及一類焦點弦的解題模型,對原命題的條件和結(jié)論進行變式提出的,體現(xiàn)了創(chuàng)新意識和創(chuàng)造性. 可見構(gòu)建以問題為導(dǎo)向的探究式課堂,可以喚起學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情,有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.3 探尋數(shù)學(xué)本真,合情探究,發(fā)展核心素養(yǎng)

在類比歸納探究中,學(xué)生將橢圓類比到其它的圓錐曲線,將直線AB過焦點推廣到直線AB過坐標(biāo)軸上任意點,得到了一系列的相關(guān)結(jié)論. 一方面有效地將前后所學(xué)知識融合在一起,幫助學(xué)生建構(gòu)完整的知識體系;另一方面可以提高學(xué)生的思維靈活性,激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造思維. 教師要有意識地去挖掘與合情推理有關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)問題,讓學(xué)生養(yǎng)成運用合情推理去解決問題的習(xí)慣,發(fā)展學(xué)生邏輯推理核心素養(yǎng).