素養(yǎng)導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)策略研究*
——以“復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義”為例

福建師范大學(xué)附屬福清德旺中學(xué)(350319) 周寧

福清市教師進(jìn)修學(xué)校(350300) 林新建

1 問(wèn)題提出

作業(yè)是學(xué)生鞏固所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和思想方法的必要途徑,也是評(píng)價(jià)教師教學(xué)質(zhì)量、學(xué)生學(xué)習(xí)效益的重要手段[1].高質(zhì)量的作業(yè)能夠提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),更能讓學(xué)生獲得積極的情感體驗(yàn),充分發(fā)揮數(shù)學(xué)教育的引導(dǎo)作用. 不能體現(xiàn)課標(biāo)、教材及學(xué)情“三位一體”的作業(yè),無(wú)論是對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)還是教師的專(zhuān)業(yè)成長(zhǎng)都是不利的.

“復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義”是2019 人教A 版必修第二冊(cè)(以下簡(jiǎn)稱(chēng)“教材”)第七章“復(fù)數(shù)”第三節(jié)“復(fù)數(shù)的三角表示”的第二個(gè)內(nèi)容,其中“復(fù)數(shù)的三角表示”為新增內(nèi)容,也是標(biāo)注“*”的選學(xué)內(nèi)容. 雖然作為選學(xué)內(nèi)容,但是蘊(yùn)含深刻的思想性. 通過(guò)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí),不僅可以認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示的幾何意義是平面向量的旋轉(zhuǎn)和伸縮變換,可以將復(fù)數(shù)、三角和平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題去解決,體會(huì)幾何與代數(shù)之間的密切關(guān)系,也為今后在大學(xué)期間學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的指數(shù)形式、復(fù)變函數(shù)論等高等數(shù)學(xué)知識(shí)奠定基礎(chǔ),具有承前啟后的作用.

因此,本文以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,立足生情,以“復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義”為載體,提出作業(yè)設(shè)計(jì)的實(shí)踐策略,增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)整體性的認(rèn)識(shí),促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展.

2 設(shè)計(jì)策略

2.1 理解教材習(xí)題,制定素養(yǎng)作業(yè)目標(biāo)

習(xí)題(包含例題、練習(xí)、習(xí)題)是教材的重要組成部分,可以在幫助學(xué)生實(shí)踐運(yùn)用新知識(shí)的同時(shí)獲得能力和學(xué)科核心素養(yǎng)的提升,也是教師開(kāi)展教學(xué)評(píng)價(jià)的重要資源. 對(duì)教材習(xí)題進(jìn)行研究,能更好地在作業(yè)設(shè)計(jì)中落實(shí)核心素養(yǎng). 喻平教授在文中指出對(duì)教材習(xí)題分析時(shí)應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注習(xí)題所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)類(lèi)型及相應(yīng)素養(yǎng)所處的水平[2].

通過(guò)對(duì)教材P89～P92 的習(xí)題分析,可以將習(xí)題的設(shè)計(jì)意圖歸結(jié)為以下幾類(lèi): (1)以復(fù)數(shù)的三角形式或代數(shù)形式為載體,考查復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示的掌握程度,培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng),其中對(duì)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的考查處于水平一;(2)能夠利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示解決一些代數(shù)問(wèn)題,考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng),其中對(duì)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的考查都處于水平二;(3)考查利用復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算三角表示的幾何意義解決復(fù)數(shù)、平面幾何問(wèn)題,培養(yǎng)邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng),相應(yīng)的素養(yǎng)的考查處于水平二.

因此,確定本課時(shí)作業(yè)目標(biāo)為: (1)能應(yīng)用復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算和證明,培養(yǎng)化歸與轉(zhuǎn)化思想,培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng);(2)能利用復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算三角表示的幾何意義解決與復(fù)數(shù)、三角或平面向量有關(guān)的問(wèn)題,培養(yǎng)化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合思想,培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算及直觀想象素養(yǎng).

2.2 設(shè)計(jì)層次作業(yè),實(shí)現(xiàn)素養(yǎng)不同發(fā)展

作業(yè)結(jié)構(gòu)遵循教材習(xí)題欄目(“復(fù)習(xí)鞏固”、“綜合應(yīng)用”、“拓廣探索”)的設(shè)計(jì),同時(shí)做了個(gè)創(chuàng)新,增加新的欄目“數(shù)學(xué)思考”. 這四個(gè)欄目突出基礎(chǔ)性和發(fā)展性,既有對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力的檢測(cè),又重視基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的考查,更關(guān)注學(xué)生思維能力的發(fā)展. 其中“復(fù)習(xí)鞏固”主要體現(xiàn)基礎(chǔ)性,考查學(xué)生對(duì)基本知識(shí)、基本技能的掌握,考查學(xué)生是否達(dá)到核心素養(yǎng)水平一;“綜合應(yīng)用”主要體現(xiàn)綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性,考查學(xué)生是否能夠運(yùn)用不同知識(shí)、思想方法,多角度觀察、思考、分析和解決問(wèn)題,考查學(xué)生是否達(dá)到核心素養(yǎng)水平一、水平二;“拓廣探索”主要體現(xiàn)綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性,考查學(xué)生是否具有創(chuàng)新性思維,是否能夠靈活運(yùn)用知識(shí)分析和解決問(wèn)題,考查學(xué)生是否達(dá)到核心素養(yǎng)水平二、水平三;“數(shù)學(xué)思考”主要體現(xiàn)綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性,以問(wèn)題情境激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考,讓學(xué)生明白思考什么、如何思考,深化對(duì)核心知識(shí)和思想方法的理解,考查學(xué)生是否達(dá)到核心素養(yǎng)水平二、水平三.

例如考查復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示的掌握程度,設(shè)計(jì)如下的作業(yè)習(xí)題:

例1(復(fù)習(xí)鞏固)復(fù)數(shù)的一個(gè)平方根是____.

例2(綜合運(yùn)用) 由復(fù)數(shù)乘法的三角表示可以得到(cosθ+i sinθ)2=cos 2θ+i sin 2θ,又

所以cos 2θ= cos2θ-sin2θ,sin 2θ= 2 sinθcosθ,即二倍角公式.

你能仿照以上方法推導(dǎo)正弦、余弦的三倍角公式,并用sinθ表示sin 3θ,cosθ表示cos 3θ嗎?

例3(拓廣探索)求方程x3= 1 的三個(gè)復(fù)數(shù)根,并說(shuō)明它們之間的幾何關(guān)系.

評(píng)析例1 需要學(xué)生通過(guò)逆向思維發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)的一個(gè)平方根就是其輻角的一半;例2 以二倍角公式為背景將復(fù)數(shù)乘法的三角表示與三角恒等變換有機(jī)結(jié)合, 是一個(gè)創(chuàng)新與亮點(diǎn),能夠提升學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)乘、除三角表示的理解,也為例3 做好鋪墊;例3 是教材“探究與發(fā)現(xiàn)”欄目的改編,以水平二的層次考查學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng),考查學(xué)生是否能夠靈活運(yùn)用復(fù)數(shù)乘法三角表示的特征解決問(wèn)題,深化對(duì)復(fù)數(shù)乘法三角表示的理解. 這三個(gè)例題都體現(xiàn)對(duì)本節(jié)核心知識(shí)的考查,突出對(duì)概念理解與知識(shí)的聯(lián)系,但對(duì)關(guān)鍵能力的考查提出不同的要求. 從這些例題的作答教師可以了解學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展層次,以便在后續(xù)教學(xué)中調(diào)整、優(yōu)化教學(xué)策略,進(jìn)一步提升學(xué)生的素養(yǎng)層次.

2.3 設(shè)計(jì)關(guān)聯(lián)習(xí)題,增強(qiáng)建構(gòu)知識(shí)能力

零散孤立的習(xí)題不利于學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系.因此設(shè)計(jì)習(xí)題要注重前后之間的關(guān)聯(lián),讓學(xué)生能夠進(jìn)行合理整合,將思維從“離散”轉(zhuǎn)向“聚合”,有助于提升核心素養(yǎng)的水平. 復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示的幾何意義是平面向量的旋轉(zhuǎn)和伸縮變換,同時(shí)三角表示也與三角函數(shù)有關(guān),因此設(shè)計(jì)習(xí)題要充分體現(xiàn)復(fù)數(shù)、向量與三角函數(shù)之間的關(guān)系,讓學(xué)生充分體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性,建構(gòu)起知識(shí)的框架,從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)方法以及學(xué)科思想的感悟與內(nèi)化.

例4(1)如圖1,復(fù)平面內(nèi)的ΔABC是等邊三角形,它的兩個(gè)頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(1,0),(2,1),求點(diǎn)C的坐標(biāo).

(2)已知對(duì)任意平面向量-→AB= (x,y),若將-→AB繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)θ角得到向量-→AP,求-→AP的坐標(biāo).

例5如圖2,已知平面內(nèi)并列的三個(gè)全等的正方形.

圖2 例5

(2)你能用其他的方法證明(1)中的結(jié)論嗎?

例6(數(shù)學(xué)思考)我們知道,復(fù)數(shù)就是向量,向量就是復(fù)數(shù). 但是向量a滿足a2= |a|2,復(fù)數(shù)z不滿足z2= |z|2. 你能解釋上述問(wèn)題的原因嗎?

評(píng)析例4 與例5 都是在教材原題的基礎(chǔ)上多設(shè)計(jì)一問(wèn),其中例4 的第二問(wèn)是第六章“平面向量及其應(yīng)用”習(xí)題6.4 題11 的背景知識(shí)(沒(méi)有給出推導(dǎo)),例5 的第二問(wèn)希望學(xué)生能夠從三角及平面幾何的角度再予以證明. 例6“數(shù)學(xué)思考”是通過(guò)比較復(fù)數(shù)與平面向量及其運(yùn)算的異同,使學(xué)生能夠理解數(shù)學(xué)對(duì)象及運(yùn)算的本質(zhì). 以上例題側(cè)重考查對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解,對(duì)學(xué)生的邏輯推理、直觀想象以及綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題等數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)和關(guān)鍵能力都提出較高的要求.通過(guò)這些例題的作答,學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)三角表示的乘、除法及幾何意義的理解會(huì)達(dá)到一個(gè)更高的水平,對(duì)復(fù)數(shù)與三角、平面向量聯(lián)系性的認(rèn)識(shí)會(huì)更為深刻.

2.4 優(yōu)化作業(yè)評(píng)價(jià),提升學(xué)生成就感

課標(biāo)指出日常評(píng)價(jià)與考試要根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律,對(duì)于重要的概念、結(jié)論和應(yīng)用的評(píng)價(jià), 要循序漸進(jìn), 不要一步到位[3]. 因此在評(píng)價(jià)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展程度時(shí),不是簡(jiǎn)單看完成的對(duì)錯(cuò),而是以完成的過(guò)程來(lái)進(jìn)行評(píng)價(jià). 通過(guò)分析學(xué)生的解題思路,可以評(píng)價(jià)是否達(dá)成相應(yīng)的素養(yǎng),不同的解題方法對(duì)素養(yǎng)的要求是可以不同的; 通過(guò)分析學(xué)生的完成程度,可以評(píng)價(jià)是否達(dá)成相應(yīng)素養(yǎng)的水平. 因此,在作業(yè)要求中,要明確提出客觀題也需要寫(xiě)出必要的解題步驟,否則只看客觀題的結(jié)果是無(wú)法準(zhǔn)確評(píng)價(jià)學(xué)生素養(yǎng)是否達(dá)成以及達(dá)成的水平.

例7已知請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)使得z1z2運(yùn)算結(jié)果是純虛數(shù)的復(fù)數(shù)z2:____.

參考解析

解法一: 不妨令z2=i,則

解法二: 同上得

解法三:z1的模為2,一個(gè)輻角,故要使得z1z2的結(jié)果為純虛數(shù),根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的幾何意義可知,只需要z2的輻角為故z2可以是及其倍數(shù)均可.

評(píng)價(jià)學(xué)生若能用復(fù)數(shù)除法的代數(shù)形式求解,說(shuō)明達(dá)到數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)水平一的要求;若能用復(fù)數(shù)除法的三角表示求解,說(shuō)明達(dá)到直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)水平一的要求;若能通過(guò)輻角的關(guān)系完成本題,說(shuō)明達(dá)到邏輯推理、直觀想象素養(yǎng)水平二的要求.

3 結(jié)語(yǔ)

新修訂的課程方案要求“堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向”,以培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)為方向、為目標(biāo). 作業(yè)是保證課程改革成功的關(guān)鍵領(lǐng)域,是促進(jìn)核心素養(yǎng)發(fā)展的重要手段. 高中一線數(shù)學(xué)教師應(yīng)深入作業(yè)設(shè)計(jì)研究, 把作業(yè)設(shè)計(jì)能力作為教師的基本功,在學(xué)習(xí)、實(shí)踐、反思中設(shè)計(jì)出高質(zhì)量的作業(yè),讓作業(yè)真正發(fā)揮其育人的功能.