高考全國卷中導(dǎo)數(shù)問題的考向分析

■江蘇省吳江汾湖高級中學(xué) 徐 杭

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用是歷年高考必考的內(nèi)容,屬于中高檔題。本文羅列出常見的考向,供大家復(fù)習(xí)時參考。

考向一、導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義

導(dǎo)數(shù)的幾何意義是高考的熱點,主要考查形式有:(1)已知切點,求斜率k;(2)已知斜率k,求切點;(3)求過某點的切線方程;(4)求公切線。

評注:處理與切線有關(guān)的參數(shù)問題,通常根據(jù)曲線、切線、切點之間的關(guān)系(切點處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率;切點在切線上;切點在曲線上)列出關(guān)于參數(shù)的方程(組),解方程(組)即可求出參數(shù)。

考向二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是高考重點考查內(nèi)容,常見的考查形式為:(1)求不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)求含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(3)已知函數(shù)的單調(diào)情況求參數(shù)的取值范圍。

例2已知定義在R上的函數(shù)f(x)=xeax,a∈R。討論f(x)的單調(diào)性。

解析:易知f′(x)=(ax+1)eax。

當(dāng)a=0時,f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上單調(diào)遞增。

評注:對于研究含參函數(shù)的單調(diào)性,要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進(jìn)行分類討論。注意在劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,要在函數(shù)的定義域內(nèi)討論,還要確定導(dǎo)數(shù)為0 的點和函數(shù)的間斷點。個別導(dǎo)數(shù)為0的點不影響所在區(qū)間的單調(diào)性,如f(x)=x3,f′(x)=3x2≥0(f′(x)=0在x=0時取到),f(x)在R上是增函數(shù)。

考向三、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值或最值

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值或最值也是高考重點考查內(nèi)容,常見考查形式有:①求函數(shù)的極值或最值;②已知函數(shù)的極值或最值求參數(shù);③已知函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)恒成立,求參數(shù)的取值范圍;④利用最值證明不等式。

評注:求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b] 上的最值時,在得到極值的基礎(chǔ)上,結(jié)合區(qū)間端點的函數(shù)值f(a),f(b),與f(x)的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值。若所給的閉區(qū)間[a,b] 內(nèi)含有參數(shù),則需對函數(shù)f(x)求導(dǎo),通過對參數(shù)分類討論,判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而得到函數(shù)f(x)的最值。

考向四、利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立(或存在性)問題

解決此類問題的常見方法為:分離法求參數(shù)的取值范圍或等價轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值后再求參數(shù)的取值范圍。

例4已知函數(shù)g(x)+h(x)=3x,其中g(shù)(x)為奇函數(shù),h(x)為偶函數(shù)。

(1)求g(x)與h(x)的解析式;

(2)當(dāng)x∈ (0,1 ]時,2ln[h(x)]-ln[g(x)]-t=0 有解,求實數(shù)t的取值范圍。

解析:(1)因為g(x)+h(x)=3x,所以

評注:(1)對于“恒成立”或“存在性”問題,一定要正確理解其實質(zhì),深刻挖掘內(nèi)含條件,進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化。(2)構(gòu)造函數(shù)是求范圍問題的一種常用方法,解題過程中盡量采用分離參數(shù)的方法,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題。若行不通,再考慮帶參數(shù)分類討論。(3)不等式在某個區(qū)間上恒成立(存在性)問題的轉(zhuǎn)化途徑:①f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a;存在x,使 得f(x)≥a成 立?f(x)max≥a。②f(x)≤b恒成立?f(x)max≤b;存在x,使得f(x)≤b成立?f(x)min≤b。③f(x)>g(x)恒成立,F(x)=f(x)-g(x),則F(x)min>0。

考向五、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題的常用方法為:移項構(gòu)造函數(shù)證明不等式;放縮后構(gòu)造函數(shù)證明不等式;分拆函數(shù)法證明不等式等。

例5已知函數(shù)f(x)=2excosx,設(shè)函數(shù)g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)。

考向六、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點

此考向主要是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,通過分析函數(shù)圖像的特點,判斷、證明、討論函數(shù)零點的個數(shù),或者根據(jù)零點情況求參數(shù)的取值范圍。

例6已知f(x)=ex-x-1,g(x)=ax2(a∈R)。設(shè)F(x)=f(x)-g(x)+2,若當(dāng)a∈(t,+∞)時,F(x)有三個不同的零點,求t的最小值。

解析:因為F(x)=ex-ax2-x+1,所以F′(x)=ex-2ax-1,F″(x)=ex-2a。

若a≤0,則F″(x)>0,F′(x)單調(diào)遞增。又F′(0)=0,當(dāng)x∈(-∞,0)時,F′(x)<0,故F(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(0,+∞)時,F′(x)>0,故F(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增。所以F(x)≥F(0)=0,此時F(x)與x軸只有1個交點,即只有1個零點,不合題意。

若a>0,令F″(x)=ex-2a=0,得x=ln(2a),所以F′(x)在區(qū)間(-∞,ln(2a))上單調(diào)遞減,在區(qū)間(ln(2a),+∞)上單調(diào)遞增。

評注:函數(shù)的零點個數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點個數(shù),根據(jù)圖像的幾何直觀求解。對于與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)范圍問題,往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點,并結(jié)合特殊點判斷函數(shù)的大致圖像,進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍。也可分離出參數(shù),轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像的交點情況。

對于導(dǎo)數(shù)的備考,我們只要注重夯實基礎(chǔ),勤于總結(jié),提升解決問題的關(guān)鍵能力,分析難點,很多問題便可迎刃而解。