差分方程的特征根法求數(shù)列通項(xiàng)*

江蘇省外國(guó)語學(xué)校(215100) 潘小峰

南京市第九中學(xué)(210023) 聶振榮

高中階段主要是學(xué)習(xí)等差和等比數(shù)列,所以遇到陌生數(shù)列我們都是通過構(gòu)造,整體換元轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列,然后運(yùn)用其性質(zhì)解題,但有些遞推公式構(gòu)造起來很困難,例如常系數(shù)線性齊次遞推公式,這就需要我們進(jìn)一步學(xué)習(xí),采用新的方法來解決.

在求數(shù)列通項(xiàng)的過程中,我們往往會(huì)碰到一階線性遞推關(guān)系,即數(shù)列{xn} 滿足xn+1=pxn+q,p,q∈R形式,只需對(duì)p進(jìn)行討論,若p=1,則為等差數(shù)列,xn=x1+(n-1)q,若p≠1,則構(gòu)造等比數(shù)列,xn+1-x0=p(xn-x0),通過待定系數(shù)法,解得x0=所以數(shù)列

將此問題進(jìn)一步,若數(shù)列{xn} 滿足xn+1=pxn+qxn-1,p,q∈R 二階線性遞推關(guān)系,依舊嘗試構(gòu)造等比數(shù)列,假設(shè)存在實(shí)數(shù)a,b使得xn+1-axn=b(xn-axn-1)成立,通過對(duì)比系數(shù)發(fā)現(xiàn)該方程組為方程x2-px-q=0 的韋達(dá)定理表現(xiàn)形式.為了說明方便,假設(shè)方程x2-px-q=0 的解為a,b∈R 且a≠b.

∴{xn+1-axn} 是公比為b的等比數(shù)列,即xn+1-axn=(x2-ax1)bn-1(1).

{xn+1-bxn} 也是公比為a的等比數(shù)列,即xn+1-bxn=(x2-bx1)an-1(2).

(1)(2)兩式作差可得xn=+

通過觀察發(fā)現(xiàn),在上述解答中,方程x2-px-q=0 起到了關(guān)鍵作用,因?yàn)檫@個(gè)方程的根a,b包含了通項(xiàng)公式里面所有的重要信息,而xn+1=pxn+qxn-1這種遞推關(guān)系正是高等數(shù)學(xué)中的差分方程有關(guān)概念.

下面先簡(jiǎn)要介紹下差分概念:

設(shè)xn=f(n),n∈N*,則差xn+1-xn稱為函數(shù)f(n)的一階差分,記為Δf(n)即Δf(n)=xn+1-xn,二階差分即為:

以此類推可定義出n階差分.差分方程是包含差分,未知函數(shù)和自變量的等式.當(dāng)考慮數(shù)列時(shí),遞推關(guān)系即為差分方程.若某個(gè)函數(shù)帶入差分方程后,使得方程兩邊恒等,則稱此函數(shù)為該方程的特解.若此函數(shù)由線性無關(guān)的特解組成且特解的總個(gè)數(shù)與差分方程的階數(shù)相等,稱此函數(shù)為方程的通解.以二階常系數(shù)齊次差分方程xn=pxn-1+qxn-2為例,稱x2-px-q=0 為特征方程,它的根a,b為特征根.因此可以利用解差分方程的特征根來解決數(shù)列通項(xiàng)問題,就轉(zhuǎn)化為探究差分方程解的結(jié)構(gòu)問題.接下來對(duì)特征根探論,一般的分為三種情況:

1 .在實(shí)數(shù)R 有解且特征根不相等情形

若a≠b且a,b∈R,則xn=pxn-1+qxn-2的通解為xn=c1an+c2bn,c1,c2∈R.

證明∵a2=pa+q,∴an=pan-1+qan-2,∴差分方程xn=pxn-1+qxn-2有一個(gè)特解xn=an,同理bn也是一個(gè)特解,又因?yàn)閃ronsky 行列式

按自研處方比例稱取空白輔料（約相當(dāng)于富馬酸喹硫平30 mg）和對(duì)照品，分別配制1倍和2倍濃度輔料的樣品溶液，將1倍濃度輔料樣品溶液、2倍濃度輔料樣品溶液和對(duì)照品溶液進(jìn)行紫外掃描。掃描范圍為190～400 nm。三條掃描圖譜基本重合，樣品圖譜沒有明顯高于對(duì)照品溶液圖譜，表明空白輔料對(duì)富馬酸喹硫平吸光度的檢測(cè)沒有干擾。

當(dāng)a≠b時(shí),根據(jù)Wronsky 行列式W(n)≠0 則an與bn線性無關(guān),所以這兩個(gè)解線性無關(guān),再根據(jù)通解結(jié)構(gòu)定理: 若差分方程中線性無關(guān)的解的個(gè)數(shù)與階數(shù)相等,則這些解的線性組合就是該方程的通解.可知xn=c1an+c2bn是通解.進(jìn)行代數(shù)驗(yàn)證可得:

pxn-1+qxn-2=p(c1an-1+c2bn-1)+q(c1an-2+c2bn-2)=c1(pan-1+qan-2)+c2(pbn-1+qbn-2).

∵an=pan-1+qan-2,bn=pbn-1+qbn-2,∴pxn-1+qxn-2=c1an+c2bn=xn,∴?c1,c2∈R,xn=c1an+c2bn是xn=pxn-1+qxn-2的通解.最后我們只需要通過數(shù)列前兩項(xiàng)的值來唯一確定c1和c2.

這與文章一開始構(gòu)造等比數(shù)列求出的結(jié)果一致,我們以下題為例進(jìn)行說明:

2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬演練第17題:

已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an+2=2an+1+3an．

(1)證明: 數(shù)列{an+an+1}為等比數(shù)列;

分析遞推關(guān)系an+2=2an+1+3an(n∈N*)的特征方程為x2-2x-3=0,特征根為x1=-1,x2=3,所以an=c1·(-1)n+c2·3n,n∈N*,其中c1,c2為待定常數(shù),由初始條件得所以通項(xiàng)公式為an=n∈N*.

2 在實(shí)數(shù)R 有解且特征根相等情形

xn=(c1+c2n)an,c1,c2∈R.

證明由于特征方程為二次多項(xiàng)式,故a是x2-px-q=0 的二重根,也是

的根,將(*)式關(guān)于x求導(dǎo),兩邊再乘x,可得a也是nxn-(n-1)pxn-1-(n-2)qxn-2=0 的根.所以xn=nan是差分方程xn=pxn-1+qxn-2的特解,由情形1 可知,xn=an也是一個(gè)特解,易知這兩個(gè)解an,nan是線性無關(guān).同樣可以進(jìn)行代數(shù)驗(yàn)證:

pxn-1+qxn-2

=p[c1+c2(n-1)]an-1+q[c1+c2(n-2)]an-2

=c1(pan-1+qan-2)+c2[(n-1)pan-1+(n-2)qan-2]

=c1an+c2nan=(c1+nc2)an=xn.

所以對(duì)于任意常數(shù)c1,c2,xn=(c1+nc2)an是xn=pxn-1+qxn-2的通解.結(jié)合

3 在實(shí)數(shù)R 無解但在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)存在一對(duì)共軛復(fù)根

若方程x2-px-q=0 無實(shí)數(shù)解,在復(fù)平面內(nèi),設(shè)方程的根為λ=(其中i2=-1),令則λ=α±βi,再將系數(shù)單位化.

可得,λ=由復(fù)平面上的點(diǎn)(α,β)可以通過旋轉(zhuǎn)輻角θ(其中tanθ=,θ為最小正角)表示,故λ=(cosθ±i sinθ),最后結(jié)合歐拉公式eiθ=cosθ+i sinθ,可以實(shí)現(xiàn)三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的互化,所以λ=是差分方程的一組特解,而特解的常數(shù)倍也是特解,所以λ′=e±iθ也是一組特解,設(shè)λ′1=eiθ,λ′2=e-iθ,同情形1 可得兩個(gè)復(fù)值解,(λ′1)n=(cosθ+i sinθ)n=(eiθ)n=einθ=cosnθ+i sinnθ同理可得,(λ′2)n=cosnθ-i sinnθ,再根據(jù)差分方程所有系數(shù)是實(shí)數(shù),則復(fù)值解的實(shí)部與虛部也是其解.這是由于將特解(λ′1)n=cosnθ+i sinnθ代入,可得:

(cosnθ+i sinnθ)-p[cos(n-1)θ+i sin(n-1)θ]

-q[cos(n-2)θ+i sin(n-2)θ]=0.

∴[cosnθ-pcos(n-1)θ-qcos(n-2)θ]

+i[sinnθ-psin(n-1)θ-qsin(n-2)θ]=0.

分別對(duì)比實(shí)部與虛部,∴cosnθ-pcos(n-1)θ-qcos(n-2)θ=0 和sinnθ-psin(n-1)θ-qsin(n-2)θ=0,∴cosnθ,sinnθ也是差分方程xn=pxn-1+qxn-2的一組實(shí)數(shù)解且線性無關(guān),再由情形1 可得通解為:xn=c1cosnθ+c2sinnθ,c1,c2∈R.

例如已知:x1=1,x2=2 且xn=xn-1-xn-2(n≥3),求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式.

基于特征方程x2-x+1=0 解出共軛復(fù)根λ1=

結(jié)合輔助角公式可得xn=通過通項(xiàng)可知該數(shù)列是周期為6 的數(shù)列,一般的特征方程出現(xiàn)共軛復(fù)根時(shí),數(shù)列會(huì)出現(xiàn)周期性這一表現(xiàn)規(guī)律,這是由歐拉公式轉(zhuǎn)為正余弦函數(shù)所帶來的結(jié)果.

特征根法求數(shù)列通項(xiàng)的思想在新高考背景下已有所滲透,所以系統(tǒng)的研究十分有必要,高中教學(xué)中應(yīng)適當(dāng)?shù)膶?duì)初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接處進(jìn)行探究,因?yàn)閿?shù)學(xué)學(xué)習(xí)是主體對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知過程,學(xué)生不應(yīng)只限于接受,記憶和模仿,老師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索,讓學(xué)生從思想上去揭示問題的本質(zhì).