形如an+1=pan+q·rn的通項(xiàng)公式多解研究與價(jià)值探討

重慶市綦江中學(xué)(401420) 晏炳剛

高中數(shù)列學(xué)習(xí)中,通項(xiàng)公式的求法是重點(diǎn)內(nèi)容.不同的遞推公式結(jié)構(gòu)形式,會(huì)有不同的通項(xiàng)公式求法.相同的結(jié)構(gòu)形式也會(huì)有多種難易不同的解法,一題多解、多解比較可以活躍學(xué)生解題思路,培養(yǎng)學(xué)生推理與運(yùn)算素養(yǎng).通項(xiàng)公式的多解求法,在2021年8 省聯(lián)考第17 題目出現(xiàn)后,形成熱點(diǎn),文獻(xiàn)[1-3]對(duì)這類題目進(jìn)行了研究,總結(jié)了各種通項(xiàng)公式的求法.本文就遞推公式形如an+1=pan+q·rn的一般形式的通項(xiàng)公式求法進(jìn)行了多解研究,彌補(bǔ)這一形式的通項(xiàng)公式求法的零散與不完整,供讀者借鑒.

1 題目呈現(xiàn)

已知數(shù)列滿足an+1=2an+3·5n,n≥1,a1=6,求通項(xiàng)公式an,這類題目較常見(jiàn),已有專題研究的文獻(xiàn)比如[3].題目中的2,3,5 是常數(shù),以p,q,r替換抽象得到更一般的題目呈現(xiàn)形式為: 已知首項(xiàng)為a1,遞推公式為an+1=pan+q·rn(n≥1,p≠0),求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

2 題目評(píng)析

題目的特殊情況如下:

(1)當(dāng)a1≠0,q=0 時(shí),遞推公式為等比數(shù)列定義,用等比數(shù)列公式法求通項(xiàng)公式;

(2)當(dāng)p=1,r=1 時(shí),遞推公式為等差數(shù)列定義,用等差數(shù)列公式法求通項(xiàng)公式;

(3)當(dāng)p=1,r≠1,q≠0 時(shí),遞推公式為an+1=an+f(n),用累加法求通項(xiàng)公式;

(4)當(dāng)r=1,q≠0 時(shí)遞推公式為一階線性:an+1=pan+q,用待定系數(shù)法,轉(zhuǎn)化為等比求通項(xiàng)公式;

(5)當(dāng)p=r,q≠0 時(shí),遞推公式為an+1=pan+q·pn,兩邊同時(shí)除以pn+1轉(zhuǎn)化為等差求通項(xiàng)公式;

五種特殊情況,(1)(2)代表基本的等差等比公式法,(3)為基礎(chǔ)的累加法,(4)(5)代表常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化方法,即轉(zhuǎn)化到(1)(2)的等差等比的公式法上來(lái).

求通項(xiàng)公式,就是通過(guò)遞推轉(zhuǎn)化,巧妙構(gòu)建,回歸到等差等比基本模型、累加累乘基礎(chǔ)模型,以及一階線性常用模型上來(lái).對(duì)于本題其他的一般形式,通項(xiàng)的求法探究見(jiàn)下文.

3 解法探究

解法1 待定系數(shù)法構(gòu)造等比

分析一階線性遞推公式形如an+1=pan+q的通項(xiàng)公式求法,用an+1+λ=p(an+λ),其中來(lái)求解λ=此方法等價(jià)于把常數(shù)q分成-λ和pλ兩個(gè)常數(shù),使新數(shù)列成等比.類比思考本題把指數(shù)型式子q·rn分成兩個(gè)指數(shù)式子,構(gòu)造等比.解答如下:

解令λ滿足an+1+λ·rn+1=p(an+λ·rn),化簡(jiǎn)得:an+1=pan+pλrn-λrn+1=pan+λ(p-r)rn,因此λ(p-r)rn=qrn,有λ=,所以所以是為首項(xiàng),p為公比的等比數(shù)列.所以化簡(jiǎn)通項(xiàng)公式為

結(jié)論已知首項(xiàng)為a1,遞推公式為an+1=pan+q·rn(n≥1,p≠0).構(gòu)造等比an+1+λ·rn+1=p(an+λ·rn),其中此法是用待定系數(shù)法把指數(shù)式子分解為兩個(gè)指數(shù)形式子,并使得新的數(shù)列為等比數(shù)列,體現(xiàn)等比數(shù)列的基礎(chǔ)價(jià)值.類似方法還可以解決下面問(wèn)題:an+1=pan+f(n),f(n)為自變量為n的多項(xiàng)式函數(shù),或?yàn)殛P(guān)于為n的指數(shù)型函數(shù),或者為兩者的加減組合.

舉例已知a1=2,an+1=2an+3n2+4n+1(n≥1).求此數(shù)列通項(xiàng)公式.提示如下:

an+1+λ·(n+1)2+μ(n+1)+γ=2(an+λn+un+γ).

待定系數(shù)求λ,μ,γ.

解法2同時(shí)除以pn+1,轉(zhuǎn)化為累加型

解兩邊同時(shí)除以pn+1有:由累加得:

求得an=化簡(jiǎn)得an=(a1+

點(diǎn)評(píng)兩邊同時(shí)除以pn+1,轉(zhuǎn)化為累加型求通項(xiàng)公式,體現(xiàn)累加法的基礎(chǔ)價(jià)值.此題,思考同時(shí)除以pn,pn+2其實(shí)也能解決.

這個(gè)題目p,r,q三個(gè)參數(shù),那么兩邊同時(shí)除以rn+1,qn+1又會(huì)怎樣呢? 下面請(qǐng)看解法3 和解法4.

解法3同時(shí)除以rn+1,轉(zhuǎn)化為一階線性

解兩邊同時(shí)除以rn+1有:由一階線性知道:所以是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列.所以

點(diǎn)評(píng)同時(shí)除以rn+1,轉(zhuǎn)化為一階線性an+1=pan+q型.利用an+1+λ=p(an+λ)轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列解答,其中本解法體現(xiàn)一階線性的應(yīng)用價(jià)值.

解法4同時(shí)除以qn+1,轉(zhuǎn)化為解法1、2、3 型

解兩邊同時(shí)除以qn+1有:

這個(gè)形式?jīng)]有直接轉(zhuǎn)化到等差等比基本型,也沒(méi)有轉(zhuǎn)化到累加累乘基礎(chǔ)型和一階線性常見(jiàn)型.本質(zhì)還是an+1=pan+qrn形式,其中q=1,下面用解法1 結(jié)論做.由解法1 知因此所以

點(diǎn)評(píng)解法2、3、4 是同一種方法(簡(jiǎn)稱: 同時(shí)除以法)下產(chǎn)生的三種不同路徑,三種路徑知一種從而思考另外兩種是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要思考方法,聯(lián)系并區(qū)別三種路徑、理解三種路徑的本質(zhì)都是轉(zhuǎn)化為等差等比基本型,累加累乘基礎(chǔ)型和一階線性常見(jiàn)型,一次轉(zhuǎn)化不成功就轉(zhuǎn)化兩次,直到達(dá)到目的.這個(gè)過(guò)程有益于培養(yǎng)學(xué)生克服困難,勇于挑戰(zhàn),不停轉(zhuǎn)化,解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.

解法5數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的基本方法.在解決新問(wèn)題中,會(huì)經(jīng)過(guò)歸納、猜想得到命題,再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行命題證明.本題是與正整數(shù)有關(guān)的問(wèn)題,嘗試用數(shù)學(xué)歸納法解決.

遞推公式如下

an+1=pan+q·rn,首項(xiàng)為a1,下面計(jì)算ai(i=2,3,4,5,6).

a2=pa1+qr.

a3=pa2+qr2=p2a1+pqr+qr2.

a4=pa3+qr3=p3a1+p2qr+pqr2+qr3.

a5=pa4+qr4=p4a1+p3qr+p2qr2+pqr3+qr4.a6=pa5+qr5=p5a1+p4qr+p3qr2+p2qr3+p1qr4+qr5.

猜想通項(xiàng)公式為

an=pn-1a1+pn-2qr+pn-3qr2+···+p2qrn-3+p1qrn-2+p0qrn-1.

經(jīng)過(guò)觀察,等比求和化簡(jiǎn)通項(xiàng)公式過(guò)程如下:

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明命題

命題已知數(shù)列遞推公式為an+1=pan+q·rn,首項(xiàng)為a1,證明通項(xiàng)公式為:

證明(1)當(dāng)n=1,a1=a1成立; 當(dāng)n=2,a2=pa1+qr成立;

(2)假設(shè)當(dāng)n=k,k≥3,命題成立有當(dāng)n=k+1,由遞推公式an+1=pan+q·rn有

4 多解價(jià)值

數(shù)列通項(xiàng)公式的求法,遞推公式類型多,對(duì)應(yīng)數(shù)列方法也多,然而最基本的方法是等差等比公式法,其次是基礎(chǔ)的累加累乘法,其他的方法多數(shù)情況也會(huì)轉(zhuǎn)化到這些類型上來(lái).文中的一階線性,同時(shí)除以法,本質(zhì)也是如此.通項(xiàng)公式求法多,不要禁錮學(xué)生想法,要多嘗試不同的路徑,培養(yǎng)學(xué)生靈活思維,文中同時(shí)除以法,就出現(xiàn)了三種不同的同時(shí)除以,教學(xué)過(guò)程中拓寬了學(xué)生視野,鞏固了此類型通項(xiàng)公式的求法,體會(huì)了基本公式法,基礎(chǔ)累加累乘法等重點(diǎn)方法的應(yīng)用價(jià)值.

文中用數(shù)學(xué)歸納法推導(dǎo)通項(xiàng)公式,體驗(yàn)數(shù)學(xué)命題的歸納猜想證明過(guò)程,見(jiàn)證了數(shù)學(xué)歸納法的妙用,體驗(yàn)了數(shù)學(xué)猜想、過(guò)程思考與證明的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律和解決問(wèn)題的能力,也知道了通項(xiàng)公式的一種重要求法—數(shù)學(xué)歸納法.