磁梯度張量不變量約束條件下的兩點(diǎn)定位方法

遲 鋮 ,王 丹 ,于振濤 ,余 路 ,秦 鋒 ,祝尚明

(1.海軍潛艇學(xué)院 遙感所,山東 青島,266001;2.中國(guó)人民解放軍92229 部隊(duì),海南 陵水,572400)

0 引言

艦船、水雷等鐵磁性目標(biāo)在地磁場(chǎng)的作用下不可避免地會(huì)發(fā)生磁化,磁化后的鐵磁性目標(biāo)進(jìn)而會(huì)影響原地磁場(chǎng)的分布從而產(chǎn)生磁異常,該異常信號(hào)可作為磁性目標(biāo)探測(cè)及定位的重要信號(hào)源。磁探測(cè)因具有無源被動(dòng)探測(cè)、探測(cè)精度高、受環(huán)境影響小等優(yōu)點(diǎn)而受到了廣泛關(guān)注,目前常用的磁場(chǎng)測(cè)量手段可分為標(biāo)量、矢量及張量等測(cè)量方式,標(biāo)量探測(cè)具有受載體姿態(tài)影響相對(duì)較小的優(yōu)點(diǎn),但是其包含的目標(biāo)信息量較少;磁梯度張量測(cè)量[1-3]因兼具矢量測(cè)量和張量測(cè)量的優(yōu)勢(shì),包含場(chǎng)源的信息量豐富,同時(shí)具有受地磁場(chǎng)影響較小的特點(diǎn),近年來得到了飛速的發(fā)展。

由于磁梯度張量測(cè)量方式可測(cè)量包含場(chǎng)源在內(nèi)9 個(gè)分量的信息,因此利用磁梯度張量信息對(duì)目標(biāo)定位的方法已成為研究熱點(diǎn)。早在1975 年,Wynn 等[2]提出一種利用磁梯度張量信息對(duì)磁偶極子進(jìn)行反演定位的方法。隨后,Nara 等[3]提出一種利用目標(biāo)磁梯度張量測(cè)量信息和矢量場(chǎng)信息對(duì)磁偶極子定位的方法,該方法通過1 個(gè)閉合形式的定位公式計(jì)算得到目標(biāo)位置信息,計(jì)算過程簡(jiǎn)便,但用到的目標(biāo)矢量場(chǎng)信息,在地磁場(chǎng)背景下較難對(duì)目標(biāo)產(chǎn)生的矢量場(chǎng)進(jìn)行分離,因此引入了估算誤差。為了消除地磁場(chǎng)估算誤差對(duì)定位結(jié)果的影響,有學(xué)者提出利用高階張量信息對(duì)目標(biāo)進(jìn)行定位的方法[4-8],由于磁梯度張量進(jìn)行差分后為1 個(gè)小量,受測(cè)量噪聲影響較大,因此上述方法對(duì)測(cè)量?jī)x器的動(dòng)態(tài)噪聲要求較高。多名學(xué)者在單點(diǎn)磁梯度張量定位算法基礎(chǔ)上,提出了利用兩點(diǎn)磁梯度張量信息進(jìn)行定位的方法[9-11],該方法利用目標(biāo)磁矩替換目標(biāo)的矢量磁場(chǎng)值,構(gòu)建關(guān)于目標(biāo)位置參數(shù)的非線性目標(biāo)函數(shù),通過優(yōu)化算法來對(duì)參數(shù)進(jìn)行求解。然而上述優(yōu)化算法僅僅利用了兩點(diǎn)間的目標(biāo)位置信息及張量測(cè)量信息,優(yōu)化成功率不高,且受初值影響較大。與此同時(shí),基于磁梯度張量不變量的定位方法也得到了深入研究,Wiegert等[12]提出了利用磁梯度張量不變量進(jìn)行定位的方法;呂俊偉[13]、尹剛[14]等對(duì)不變量之間滿足的性質(zhì)進(jìn)行研究,并提出利用不變量進(jìn)行定位的方法。但是利用不變量進(jìn)行實(shí)時(shí)定位所要求的磁梯度張量測(cè)量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜,需要的磁通門傳感器數(shù)量較多,因此需要校正的誤差參數(shù)較多,在實(shí)際應(yīng)用中具有一定困難。

綜上所述,目前基于單點(diǎn)磁梯度張量定位方法中存在著受地磁場(chǎng)估計(jì)誤差影響較大的問題,同時(shí)多點(diǎn)定位方法中存在容易陷入局部最優(yōu)解的問題,針對(duì)此,文中提出了一種兩點(diǎn)磁梯度張量定位方法。該方法通過2 個(gè)測(cè)量點(diǎn)磁梯度張量測(cè)量數(shù)據(jù),疊加張量不變量的約束條件,構(gòu)建關(guān)于目標(biāo)位置坐標(biāo)的非線性目標(biāo)函數(shù),采用基于自然選擇的粒子群優(yōu)化(natural selective particle swarm optimization,NSPSO)算法對(duì)目標(biāo)位置參數(shù)進(jìn)行求解。

1 磁梯度張量定位原理

1.1 磁梯度張量

磁梯度張量指的是三分量場(chǎng)在空間的變化率,可表示為磁場(chǎng)3 個(gè)分量在空間坐標(biāo)系X、Y和Z方向上的偏導(dǎo)數(shù),總共包含有9 個(gè)分量,表達(dá)式如下

在不包含傳導(dǎo)電流的區(qū)域中,磁感應(yīng)強(qiáng)度的散度和旋度都為零,因此張量無跡且對(duì)稱,即

由式(1)和式(2)可知,磁梯度張量的9 個(gè)分量中只有5 個(gè)是獨(dú)立的,通過測(cè)量這5 個(gè)分量便可得到該點(diǎn)處的磁梯度張量。

1.2 基于磁梯度張量的目標(biāo)定位算法

通常情況下,在距離磁性目標(biāo)大于其2.5 倍的特征長(zhǎng)度處,可將磁性目標(biāo)視為1 個(gè)磁偶極子,磁偶極子磁場(chǎng)的表達(dá)式為

式中: μ為真空磁導(dǎo)率;m為 磁性目標(biāo)的磁矩;r為由磁性目標(biāo)指向測(cè)量點(diǎn)的距離矢量;r為距離矢量r的模。

Nara 等[3]對(duì)磁偶極子磁場(chǎng)進(jìn)行推導(dǎo)得到磁性目標(biāo)的單點(diǎn)磁梯度張量定位公式

由上式可知,通過單個(gè)測(cè)量點(diǎn)的磁梯度張量和磁場(chǎng)三分量測(cè)量信息可實(shí)現(xiàn)對(duì)磁性目標(biāo)的實(shí)時(shí)定位。上述單點(diǎn)線性定位方法在實(shí)際應(yīng)用中存在地磁場(chǎng)估計(jì)誤差對(duì)定位結(jié)果影響較大的問題,對(duì)此,可利用兩點(diǎn)磁梯度張量定位方法來解決。

2 磁梯度張量不變量約束條件下的兩點(diǎn)定位方法

2.1 模型建立

將式(3)變換得

式中,矩陣A僅包含目標(biāo)位置信息,將式(5)代入到式(4)得

式中,矩陣A和矢量r包含目標(biāo)位置參數(shù)信息,是需要求解的未知量,磁梯度張量可通過傳感器測(cè)量得到,該表達(dá)式中不包含磁場(chǎng)矢量場(chǎng)信息,因此可以避免地磁場(chǎng)估計(jì)誤差對(duì)定位結(jié)果的影響。假設(shè)搭載有傳感器的運(yùn)動(dòng)平臺(tái)平動(dòng)后進(jìn)入了下一測(cè)量點(diǎn)(x1,y1,z1)T,兩點(diǎn)之間的位移為(Δx,Δy,Δz)T,則根據(jù)式(6)可得

式中,兩點(diǎn)的磁梯度張量可通過測(cè)量得到,只有目標(biāo)位置參數(shù)未知,通過對(duì)式(7)的求解,便可實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的定位,而式(7)是關(guān)于目標(biāo)位置參數(shù)的非線性方程組,無法直接求解其解析式,因此構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)[11]通過優(yōu)化算法求解。

通過式(8)得到的目標(biāo)函數(shù)容易陷入局部最優(yōu)解。文獻(xiàn)[15]研究表明,通過疊加約束條件可以實(shí)現(xiàn)對(duì)全局最優(yōu)解的求解。近年的研究表明,磁梯度張量的不變量具有不受坐標(biāo)系變化而改變的特性,文獻(xiàn)[14]對(duì)磁梯度張量以及目標(biāo)位置之間存在的幾何不變關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)得到幾何不變量。文中提出將幾何不變量約束條件疊加到目標(biāo)函數(shù)中,以提高對(duì)全局最優(yōu)解的搜索能力。

假設(shè)第1 個(gè)測(cè)量點(diǎn)處的磁梯度張量G的3 個(gè)特征值為λ1,λ2,λ3,且λ1＞λ2＞λ3,對(duì)應(yīng)的3 個(gè)特征向量分別為V1,V2,V3,則根據(jù)幾何不變量的關(guān)系,目標(biāo)的位置矢量r與特征向量V1和V3共面,即

則式(9)可以變換為

疊加上述幾何不變量約束后,目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造如下

式中,V1,1,V1,3分別為第2 個(gè)測(cè)量點(diǎn)(x1,y1,z1)T處磁梯度張量對(duì)應(yīng)的2 個(gè)特征向量。

2.2 基于NSPSO 算法的參數(shù)優(yōu)化方法

利用2 個(gè)測(cè)量點(diǎn)的磁梯度張量信息對(duì)目標(biāo)進(jìn)行定位的問題可以歸結(jié)為非線性方程組的求解問題。粒子群算法(particle swarm optimization,PSO)是一種基于群體智能的優(yōu)化算法,因具有易于操作、需要設(shè)置的參數(shù)較少、搜索效率高等優(yōu)點(diǎn)而得到了廣泛應(yīng)用,傳統(tǒng)的PSO 算法存在容易陷入局部最優(yōu)解以及算法的收斂速度較慢等問題,文中采用NSPSO 算法[16]進(jìn)行搜索計(jì)算,其核心思想是在每一次迭代時(shí)將粒子群中的粒子按照適應(yīng)度值從小到大進(jìn)行排列,然后用適應(yīng)度值小的前一半粒子的速度和位置替換適應(yīng)度值較大的后一半粒子的速度和位置,同時(shí)保留每個(gè)粒子的歷史最優(yōu),通過上述操作可以使得粒子具有較好的優(yōu)化性能,同時(shí)提高了算法的收斂速度。

定位問題的本質(zhì)是求取目標(biāo)的空間坐標(biāo),因此粒子的位置即空間中目標(biāo)的坐標(biāo),粒子的位置和速度均為3 維向量。首先對(duì)粒子群中的粒子進(jìn)行初始化設(shè)置,假設(shè)粒子群中共有m個(gè)粒子,第i個(gè)粒子的位置矢量和速度矢量分別為xi(xi1,xi2,xi3)和vi(vi1,vi2,vi3)。由圖1 所示的流程圖可實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的定位。

圖1 NSPSO 算法流程圖Fig.1 Flowchart of NSPSO algorithm

3 仿真分析

3.1 不同定位方法對(duì)比

通過仿真實(shí)驗(yàn)分析文中方法的有效性,仿真條件設(shè)置如下,磁梯度張量測(cè)量系統(tǒng)搭載于無人水下 航行 器(unmanned undersea vehicle,UUV)中,文獻(xiàn)[17]通過仿真分析得到十字形磁梯度張量系統(tǒng)的系統(tǒng)誤差最小、結(jié)構(gòu)最優(yōu),因此仿真實(shí)驗(yàn)中利用十字形磁梯度張量系統(tǒng)對(duì)目標(biāo)進(jìn)行定位,如圖2 所示,十字形磁梯度張量系統(tǒng)的基線長(zhǎng)度(同一坐標(biāo)軸上2 個(gè)磁力儀之間的距離)為0.5 m,磁力儀的靈敏度[18]為0.1 nT。地磁場(chǎng)的3 分量分別為(29 339,2 741,42 323) nT,地磁場(chǎng)的估計(jì)誤差設(shè)為0.5%。磁性目標(biāo)磁矩矢量為(4 000 000,200 000,100 000) Am2,假設(shè)磁性目標(biāo)位于坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0,0)處。在t0時(shí)刻,UUV位于坐標(biāo)(-50,-50,50)m處,UUV的速度為探測(cè)系統(tǒng)的采樣率為1 Hz,因此相鄰兩測(cè)量點(diǎn)之間的位移為(5,5,0)m,仿真時(shí)根據(jù)連續(xù)2 個(gè)測(cè)量點(diǎn)ti、ti+1的測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算得到ti+1時(shí)刻的目標(biāo)位置,計(jì)算得到的目標(biāo)定位誤差如圖3 所示。圖中: Nara 方法的目標(biāo)位置計(jì)算結(jié)果由式(4)得到;原方法的目標(biāo)位置計(jì)算結(jié)果利用式(8)通過NSPSO算法計(jì)算得到;文中方法的目標(biāo)位置計(jì)算結(jié)果利用式(11)通過NSPSO 算法計(jì)算得到。

圖2 搭載十字形磁梯度張量系統(tǒng)的UUV 運(yùn)動(dòng)示意圖Fig.2 Motion of UUV equipped with a cross magnetic gradient tensor system

圖3 不同方法定位誤差對(duì)比Fig.3 Comparison of positioning errors between different methods

由圖3 可知,由于受到地磁場(chǎng)估計(jì)誤差的影響,Nara 方法的定位誤差較大,前10 s 的平均定位誤差為14.06 m;原方法的平均定位誤差為4.73 m;文中方法的平均定位誤差最小,為3.14 m。由仿真結(jié)果可得,原方法的目標(biāo)函數(shù)容易陷入局部最優(yōu)解,第4 s 時(shí)原方法的定位誤差高達(dá)22.44 m,高于Nara 方法的定位誤差14.71 m,而文中方法的定位誤差為4.47 m,因此文中方法能搜索到全局最優(yōu)解,定位效果較好。

3.2 定位誤差影響因素

1) 磁力儀靈敏度對(duì)定位誤差的影響

仿真分析磁力儀的靈敏度分別為0.1、0.01、0.001 nT 條件下,文中方法的定位效果,其余的仿真條件不變,仿真結(jié)果如圖4 所示。

圖4 不同磁力儀靈敏度下文中方法定位誤差Fig.4 Positioning error of the proposed method under different magnetometer sensitivities

由圖4 可知,隨著磁力儀靈敏度的提高,定位誤差不斷減小,當(dāng)磁力儀靈敏度為0.1 nT 時(shí),前10 s的平均定位誤差為3.14 m,當(dāng)靈敏度為0.01 nT 時(shí),平均定位誤差減小為0.63 m,當(dāng)磁力儀的靈敏度提升至0.001 nT 時(shí),平均定位誤差為0.06 m。因此在實(shí)際探測(cè)時(shí),應(yīng)盡可能選擇靈敏度較高的磁力儀。

2) 基線長(zhǎng)度對(duì)定位誤差的影響

仿真分析系統(tǒng)的基線長(zhǎng)度分別為0.25、0.5、1 m時(shí),文中所提定位方法對(duì)磁性目標(biāo)的定位誤差,仿真中其余條件不變,仿真結(jié)果如圖5 所示。

圖5 不同基線長(zhǎng)度下文中方法定位誤差Fig.5 Positioning error of the proposed method under different baseline lengths

由圖5 可知,隨著基線長(zhǎng)度的增加,文中方法的定位誤差不斷減小,當(dāng)系統(tǒng)基線長(zhǎng)度為0.25 m時(shí),前10 s 的平均定位誤差為5.72 m;當(dāng)系統(tǒng)基線長(zhǎng)度增加至0.5 m 時(shí),定位誤差減小至3.14 m;當(dāng)系統(tǒng)基線長(zhǎng)度增加至1 m 時(shí),平均定位誤差最小,為2.57 m。由仿真結(jié)果可知,要減小定位誤差,實(shí)際探測(cè)過程中應(yīng)盡可能增加系統(tǒng)基線的長(zhǎng)度,但這受限于搭載平臺(tái)UUV 的尺寸,因此選擇合適的基線長(zhǎng)度非常重要。

4 結(jié)束語(yǔ)

文中提出了一種兩點(diǎn)磁梯度張量定位方法,通過連續(xù)2 個(gè)測(cè)量點(diǎn)的磁梯度張量測(cè)量信息,疊加磁梯度張量不變量約束條件,建立關(guān)于目標(biāo)位置的目標(biāo)函數(shù),通過NSPSO 算法求解目標(biāo)位置信息。仿真實(shí)驗(yàn)表明,文中所提方法能克服地磁場(chǎng)估計(jì)誤差的影響,實(shí)現(xiàn)對(duì)全局最優(yōu)解的搜索,平均定位誤差小于Nara 定位方法,定位效果較好。仿真分析磁力儀的靈敏度越高,系統(tǒng)的基線長(zhǎng)度越大,定位誤差越小,該結(jié)論可為實(shí)際磁性目標(biāo)定位提供參考。磁梯度張量的幾何不變量有多個(gè),文中所提方法中僅疊加了其中2 個(gè)幾何不變量,下一步將針對(duì)不同不變量組合條件下的目標(biāo)定位方法開展研究。同時(shí),由于搭載磁梯度張量測(cè)量系統(tǒng)的UUV 平臺(tái)的姿態(tài)在海洋環(huán)境中是動(dòng)態(tài)調(diào)整的,因此如何利用不受載體平臺(tái)姿態(tài)變化影響的不變量進(jìn)行定位也需進(jìn)一步研究。