一道高考最值問題的多視角解答與反思

魏東升

(廈門雙十中學(xué)漳州校區(qū),福建 漳州 363107)

筆者在一節(jié)關(guān)于“阿波羅尼斯圓的性質(zhì)及應(yīng)用”的專題課中給出了一道有關(guān)解三角形面積最值的問題,這個問題原本是為了當(dāng)堂檢測學(xué)生對課堂知識的掌握情況,也就是希望同學(xué)們能夠運用阿波羅尼斯圓來解決,但是同學(xué)們出彩的表現(xiàn)讓筆者驚嘆.為方便呈現(xiàn)解決問題的思維過程,引原題如下.

1 問題的呈現(xiàn)

這道短小精悍的解三角形面積的最值問題其實是一道經(jīng)典的高考真題,它出自2008年高考江蘇卷第13題．說它經(jīng)典,一方面是因為其雖為解三角形的問題,卻可以用解析幾何中的相關(guān)知識快速解決,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識之間的緊密聯(lián)系;另一方面,由于其和阿波羅尼斯圓之間的微妙關(guān)系,使得許多數(shù)學(xué)教師在討論阿波羅尼斯圓時幾乎都繞不開它.

根據(jù)課堂上同學(xué)們的反饋,筆者將從三個視角對其解析.

2 問題的解決

視角1 角度.

計S△ABC為S,在△ABC中,由余弦定理,得

這個面積表達式其實是一個分式三角函數(shù),對于其最值的處理,同學(xué)們給出了三種思路:

代入上式,得

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中,分式三角函數(shù)最值問題其實不算特別常見,但同學(xué)們的表現(xiàn)可謂亮眼,思路1先是利用平方以化同名,然后進行多次換元,最終轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題;思路2則是把最值問題轉(zhuǎn)化為方程有解問題,利用三角函數(shù)的有界性;而思路3更絕,直接想到了S的幾何意義,把最值問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題來處理.這三種處理手段再次驗證了解決最值問題的多種轉(zhuǎn)化手段:轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值、不等式的解集、方程有解等問題.

視角2長度.

在△ABC中,由余弦定理,得

較之用角度表示面積,用長度表示的方式顯然更為便捷,可謂選擇大于努力!需要補充的是,除了上述方式可以得到用長度來表示面積,還可以利用秦九昭公式或海倫公式直接得到.

不管是用正弦定理還是余弦定理,解答起來都離不開強大的運算能力,有更好的解決辦法嗎?能不能通過構(gòu)建直角三角形以便于應(yīng)用勾股定理?

在△ACD和△BCD中,由勾股定理,得

h2+y2=x2,

h2+(y+2)2=2y2.

消去x,得h2=-(y-2)2+8≤8,

這種思路完美地避開了因為用正弦定理或余弦定理導(dǎo)致的運算量,可謂妙也!

解法4 過點C作∠BCD=∠BAC交AB的延長線于點D,則△ACD∽△BCD.

由BD=2知點D是定點.

原來點C的軌跡是一個圓,這個解法簡直完美!如果要像解法3一樣用一個字來形容,就是絕!不僅想法獨特,而且運算量幾乎為零,另外點C的軌跡是圓這個事實更是起到了拋磚引玉的作用,因為她讓不少同學(xué)又開始往解析幾何的方向想去.

視角3坐標(biāo).

解法5 以AB所在直線為x軸,AB的中垂線為y軸,則A(-1,0),B(1,0).

整理,得 (x-3)2+y2=8.

假設(shè)AB邊上的高為h,

這種解法其實是求曲線軌跡方程中的直譯法[1].這樣一來解題的思路就已經(jīng)到了求曲線的軌跡方程這里,考慮到點C是AC和BC的交點,于是又有同學(xué)提出了交軌法.

結(jié)合直線AC和BC的方程消去k1和k2,得

(x-3)2+y2=8.

在感受了同學(xué)們不俗的表現(xiàn)后,讓我們“回歸初心”,一起看看大多數(shù)同學(xué)在學(xué)習(xí)了本堂課之后利用阿波羅尼斯圓得到的解法.在給出這種解法前,先給出阿波羅尼斯圓的一個定理.

定理在圖1中,A,B是距離為2a的兩點,P,Q分別為線段AB的定比為λ(λ≠1)的內(nèi)外分點,則以PQ為直徑的圓D上任意點到A,B兩點的距離之比為λ．

圖1 阿波羅尼斯圓

這樣就有了第7種解法.

3 解后的反思

原本是希望同學(xué)們通過這道題來感受阿波羅尼斯圓在解題中的妙用,卻不曾想許多同學(xué)并沒有按“常理”出牌,在“打破”老師預(yù)設(shè)的同時,集體奉獻了一桌豐盛的解題大餐.在感嘆于學(xué)生們思維敏捷的同時,筆者心里不禁暗暗自問:假如自己沒有給學(xué)生們更多思考的余地,這節(jié)課也一定能在自己的掌控中“勝利”完成,可如果這樣的話,自己還能享受到這道令人難忘的解題盛宴嗎?這也不禁讓自己對在教學(xué)中如何提高學(xué)生解決問題的能力,從而最終提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)產(chǎn)生了新的思考.

要提高解決問題的能力,就應(yīng)該先提升學(xué)生提出問題的能力[3].因為有了提出問題的能力,也就有了解決問題的動力.但事實上提出問題往往比解決問題更難,這就要求我們在教學(xué)中做到心中要有學(xué)生,不怕學(xué)生的“打擾”.雖然上述解法中不乏“殺雞用牛刀”的現(xiàn)象,卻都是學(xué)生難得的思想火花.況且我們解題的目的并不是為了純粹地解題,而是通過問題發(fā)現(xiàn)問題,其目的往小了說是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),往大了說就有可能推動數(shù)學(xué)學(xué)科的整體發(fā)展,數(shù)學(xué)史上無數(shù)次的“猜想”無不在驗證著這一點.另外在教學(xué)過程中應(yīng)該努力提高學(xué)生的問題意識和提問技能,要鼓勵學(xué)生提出問題,平等地與學(xué)生探討問題的解決方案.

要提高解決問題的能力,就應(yīng)該在教學(xué)過程中滲透數(shù)學(xué)文化[4].比如學(xué)生之所以能巧妙地想到解法4,就是因為他們善于利用“阿氏圓”解決“胡不歸”問題.在數(shù)學(xué)教學(xué)的課堂上,“習(xí)題、公式、定理”不應(yīng)該是課堂的唯一形式,我們可以通過“作者介紹”使學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識的來龍去脈以及賴以生長的“土壤”,以豐富學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的感性認識;也可以來一段“數(shù)學(xué)家逸事”使數(shù)學(xué)知識折射出人的意志和智慧,使學(xué)生在感動之余能更好地掌握數(shù)學(xué)知識;更可以通過解讀“數(shù)學(xué)作品”讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)的和諧美、理性美．總之,數(shù)學(xué)教學(xué)課堂上應(yīng)該有一些“非數(shù)學(xué)”的內(nèi)容,讓學(xué)生的思維不受局限!

要提高解決問題的能力,就應(yīng)該有優(yōu)化自身知識結(jié)構(gòu)的意識[5].在教授高中知識的同時,應(yīng)該有意識地加強大學(xué)的高等數(shù)學(xué)相關(guān)知識,甚至是初中和小學(xué)相關(guān)基礎(chǔ)知識的吸收．比如學(xué)生之所以能想到解法3,就是因為沒有拘泥于解斜三角形的正弦定理和余弦定理,而是通過構(gòu)造直角三角形,用初中的勾股定理解決;再比如解法4的思想源泉——“阿氏圓”與“胡不歸”,就是出自初中最值問題的一個經(jīng)典模型,這些解法優(yōu)勢可謂明顯.學(xué)生能喝上的這“一碗水”,很大程度上就源于教師身上那“一桶水”甚至是“常流水”.而教師身上之所以能擁有“一桶水”或者“常流水”,是因為他能不斷地審視自身的專業(yè)知識,了解其與當(dāng)前專業(yè)要求的差距,進而訂立業(yè)務(wù)進修計劃,拓寬、夯實、彌補專業(yè)基礎(chǔ),最終不斷優(yōu)化自身知識的結(jié)構(gòu),為提高學(xué)生解決問題的能力、提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)保駕護航.