砂巖應變相關(guān)變形損傷本構(gòu)理論及試驗研究

童立紅,伍冰妮,吳琳琳,徐長節(jié)

(1.華東交通大學 江西省與科技部共建軌道交通基礎(chǔ)設施性能監(jiān)測與保障國家重點實驗室,南昌 330013;2.華東交通大學 土木建筑學院,南昌 330013)

0 引 言

荷載作用下,巖石內(nèi)部微裂紋、微裂隙的新增或擴展是導致巖石力學性能劣化及破壞的主要誘因。對于不同類型巖石,其變形和破壞機理存在顯著的差異。因此,建立損傷本構(gòu)模型是分析巖石破壞機理和損傷演化的關(guān)鍵。

Krajcinovic和Silva[1]首先提出了損傷統(tǒng)計強度理論并應用在巖石破壞機制的研究上,同時相關(guān)學者在巖石的損傷本構(gòu)模型研究方面取得了許多成果[2-5],如Lemaitre應變等價理論認為巖石損傷是其內(nèi)部細觀缺陷在宏觀尺度的體現(xiàn)。文獻[6]—文獻[8]基于損傷力學和應變等價理論,假定巖石損傷服從Weibull分布并建立損傷本構(gòu)模型,通過試驗驗證了模型的可靠性。李海潮等[9]建立了基于Weibull分布的微元強度損傷統(tǒng)計模型,用以描述巖石峰后強度變形演化特征;劉東橋等[10]基于巖石三軸試驗結(jié)果提出了基于有損微元生成的損傷演化模型,并建立了壓縮條件下的巖石應變軟化損傷本構(gòu)模型。通過對已有模型的分析發(fā)現(xiàn),多數(shù)模型都將低應變下的巖石變形近似為線彈性變形,而未考慮巖石在初始變形階段孔隙壓密的影響。同時,研究資料[11-16]表明在巖石破壞特性和損傷演化過程中,初始損傷對其物理力學特性有顯著的影響。因此,建立能夠描述巖石全變形特征的本構(gòu)模型,對研究含初始損傷巖石的損傷演化和變形機理至關(guān)重要。另一方面,在建及改建工程施工會對附近已有工程中的巖體產(chǎn)生影響,甚至造成損傷和強度劣化,如爆破引起的巖石應力重分布等。因此,確定原位巖石力學性能對工程安全評價尤為重要。

綜上,本文作者建立了與應變相關(guān)的砂巖變形本構(gòu)模型,基于此模型,推導得到了損傷演化模型,并分析了不同應變加載速率及圍壓下的巖石損傷演化特征,最后給出了巖石原位模量的確定方法。

1 巖石三軸測試試驗

1.1 試驗方案和使用設備

試驗所用紅砂巖取自云南省武定縣,制成Φ50 mm×100 mm的標準圓柱體試樣。巖樣為紅褐色,顆粒均勻,切面平整,表面無肉眼可見的裂紋,平均密度為2.332 g/cm3。巖石沿沉積方向取樣,假定巖石試樣宏觀各向同性。試驗采用如圖1所示的型號為ZTRE-210的微機控制巖石三軸測試系統(tǒng),試驗采用控制變形速率的加載方式。為了研究不同加載速率下巖石的破壞性質(zhì),依次進行加載速率為0.02、0.04、0.06、0.08、0.10、0.16、0.20、0.50 mm/min的單軸壓縮/三軸壓縮試驗。試驗時采用的圍壓分別為0、4、7、10 MPa,以模擬巖石所處不同圍壓環(huán)境。

圖1 型號ZTRE-210微機控制巖石三軸測試系統(tǒng)示意圖

1.2 試驗結(jié)果

砂巖的典型應力-應變曲線如圖2所示,圖中圍壓為0 MPa,加載速率為0.02 mm/min。加載初期階段,應力-應變呈弱非線性,并且在該階段可以檢測出部分聲發(fā)射事件,表明該階段巖樣內(nèi)部初始微裂紋出現(xiàn)閉合,切線模量也在不斷增加。當初始微裂紋閉合完成后,試樣開始進入近似彈性階段,該階段的應力-應變呈線性關(guān)系。在彈性變形階段,幾乎監(jiān)測不到聲發(fā)射事件,說明在該過程,巖樣內(nèi)部沒有裂紋閉合/擴展行為。隨著變形不斷增加,聲發(fā)射事件開始急劇增加,說明巖石內(nèi)部產(chǎn)生了大量新的微裂紋,細觀微裂紋持續(xù)發(fā)育并集中,形成了貫通的宏觀裂紋進而引起巖石破壞。研究表明[16]砂巖是由礦物顆粒膠結(jié)形成,不同顆粒之間膠結(jié)強度存在差異。在應力作用下,膠結(jié)顆粒破壞到一定數(shù)量,巖石無法抵抗外部荷載進而破壞。因此,在砂巖加載過程中,嚴格意義上的彈性段是不存在的。一旦初始微裂紋完全閉合后(假定在微裂紋閉合階段,產(chǎn)生的新裂紋數(shù)量遠遠小于裂紋的閉合量,宏觀上仍然表現(xiàn)出裂紋閉合),繼續(xù)加載將導致新的微裂紋產(chǎn)生,引起巖石的宏觀強度弱化直至破壞?？梢?宏觀上微裂紋閉合和新裂紋產(chǎn)生的轉(zhuǎn)折點即為應力-應變曲線的拐點。由此,建立全變形階段砂巖本構(gòu)的關(guān)鍵是找到能夠描述模量隨變形的演化關(guān)系。

圖2 典型應力-應變曲線、破壞形式及相應的聲發(fā)射 監(jiān)測結(jié)果

2 砂巖變形本構(gòu)模型

上述典型應力-應變曲線試驗結(jié)果表明,加載過程中砂巖的切線模型是與應變相關(guān)的,這種模量的應變相關(guān)性是由巖石中微裂紋的閉合或新增或擴展引起的。巖石所受外部荷載越大,其內(nèi)部裂紋數(shù)量越多,模量劣化越顯著?？紤]到模量的非負性,將模量隨變形的變化關(guān)系表示為

E(ε)=E0e-f(ε)。

(1)

式中：E為考慮損傷影響下巖石的模量;E0為無損傷狀態(tài)下巖石的模量;f(ε)是軸向應變ε的函數(shù)。假設軸向應力-軸向應變滿足如下簡單的類彈性關(guān)系,即

σ=Eε=E0εe-f(ε)。

(2)

式中σ為軸向應力。由式(2)可知,確定函數(shù)f(ε)則可確定模量的顯式表達。但是函數(shù)f(ε)是未知的,可以假設其為應變ε的泰勒序列,即

式中：ai=f(i)(0) / (i!),上標i表示i階導數(shù);n表示函數(shù)f(ε)展開n項;f0是巖石試樣未變形時的初始值。將式(3)代入式(1),可得

(4)

考慮到應變一般很小,式(3)中的高階量可略去,這里僅保留前3項,則應力-應變關(guān)系可簡化為

(5)

在宏觀尺度上,可通過損傷力學定量地描述缺陷對巖石力學特性的影響,基于文獻[17]和式(5)中所示本構(gòu)模型可得巖石損傷本構(gòu)模型為

σ=E0ε(1-ω0)(1-ωn) 。

(6)

式中：ω0為巖石的初始損傷;ωn為巖石在初始損傷基礎(chǔ)上新增的損傷。聯(lián)立式(5)和式(6),得到

(7)

式中：ω是在軸向加載下考慮初始損傷的巖石的損傷值。當參數(shù)a1、a2確定后,可由條件ω≥0確定初始損傷的最小值min(ω0)=-min(ωn),進而確定f0的最小值。取ω0= min(ω0),則有

f0=-ln[1+min(ωn)] 。

(8)

3 分析與討論

3.1 模型驗證

圖3列出了在不同圍壓下的部分典型試驗結(jié)果,通過與圖2的變形曲線對比發(fā)現(xiàn),所有試驗的應力-應變曲線線型具有一致性,其切線模量均表現(xiàn)出應變相關(guān)性。同時,將試驗值與理論擬合值對比,發(fā)現(xiàn)兩者對比結(jié)果較好,驗證了本構(gòu)模型的適用性。

圖3 典型應力-應變曲線及其擬合曲線

為了進一步驗證損傷演化模型的合理性,利用式(5)對不同圍壓下的試驗結(jié)果進行擬合,采用擬合優(yōu)度R2作為擬合控制系數(shù),進而得到待定參數(shù)。部分擬合參數(shù)如表1所示。由表1可知,同一圍壓下的參數(shù)a1不受加載速率的影響,參數(shù)a2受加載速率影響不大。擬合曲線與試驗曲線的對比見圖3,由圖3可以看出,在相同圍壓不同加載速率和不同圍壓相同加載速率2種情況下,式(5)所得結(jié)果與試驗結(jié)果均擬合較好,說明式(5)中應變相關(guān)的本構(gòu)模型是合理的。同時,為了簡化分析及保證擬合參數(shù)具有明確的物理力學意義,本文作者僅對低階擬合模型進行分析。

表1 參數(shù)擬合結(jié)果

圖4給出了參數(shù)隨圍壓的變化關(guān)系,其中參數(shù)a1與圍壓呈明顯的線性關(guān)系,即表征圍壓越大其絕對值小。

圖4 圍壓對參數(shù)a1、a2的影響

參數(shù)a2(取同一圍壓下不同加載速率的平均值)與圍壓呈類拋物線關(guān)系,圍壓<7 MPa時參數(shù)a2隨圍壓的增大而減小,>7 MPa時參數(shù)a2隨圍壓的增大而增大。為了明確參數(shù)a1和a2的物理力學意義,將式(5)在小應變下進行近似簡化,得

由式(9)可知,參數(shù)a1和a2分別表示二階和三階非線性系數(shù)。由圖4可以看出,在小圍壓下(<7 MPa),巖石的非線性系數(shù)隨圍壓增大逐漸減小,意味著圍壓升高使得巖石內(nèi)部微裂紋部分閉合,從而有效抑制了微裂紋引起的非線性行為。當圍壓較高時(如10 MPa),原有微裂紋閉合的同時會引起部分新裂紋的萌生,導致二階非線性系數(shù)減小的同時,三階非線性系數(shù)升高。

3.2 加載速率對巖石強度的影響

不同圍壓條件下,加載速率對應的峰值應力如圖5所示。在相同圍壓條件下,峰值應力整體上隨加載速率增大而增大。但是,由于試驗設備限制,所能使用的加載速率變化范圍有限,試驗所用加載速率無法實現(xiàn)量級的變化,因此試驗所測峰值應力受加載速率的影響較小。此外,圖5中在低圍壓(0～7 MPa)下,隨著圍壓的增大,峰值應力逐漸增大;但當將圍壓增加到 10 MPa時,峰值應力相較于7 MPa時的有所下降,原因是由于較大的圍壓使得巖石產(chǎn)生了新的微裂紋,從而導致巖石強度有所下降。

圖5 不同圍壓下峰值應力與加載速率的關(guān)系

(10)

式中：α、β和λ為擬合參數(shù);ν為加載速率(mm/min)。因此,當通過試驗獲取式(10)中的擬合參數(shù)后,則可得到加載時的初始模量,再由式(5)進一步分析巖石應力-應變的發(fā)展狀態(tài)。

3.3 損傷演化分析

圖8 應力、應變、損傷演化曲線隨應變變化的關(guān)系曲線 (加載速率均為0.04 mm/min)

由式(7)可知,砂巖損傷演化主要受參數(shù)a1和a2控制,為了明確本構(gòu)中參數(shù)a1和a2對損傷演化的影響,控制參數(shù)a1或a2,改變另一個參數(shù),得到2組損傷演化曲線,如圖7所示。值得注意的是,損傷演化曲線中的參數(shù)f0均由參數(shù)a1和a2確定。圖7中,損傷曲線可以分為下降段和上升段：下降段表示巖石內(nèi)部初始微裂紋在變形過程中逐漸閉合,巖石內(nèi)部空隙減小,體積收縮;上升段表示新的微裂紋開始萌生并擴展。如圖7(a)所示,保持參數(shù)a2不變,|a1|從350降至200,初始損傷從0.327逐漸降低至0.1,說明參數(shù)|a1|與初始損傷呈正相關(guān)。同理,如圖7(b)所示,保持參數(shù)|a1|不變,a2從108 194降到78 194,初始損傷從0.327逐漸增大到0.48,說明參數(shù)a2與初始損傷呈負相關(guān)。同時,圖7(a)中第一階段,|a1|值越大,dω/dε的絕對值越大,說明損傷隨應變愈合越快;而第二階段dω/dε幾乎不受|a1|值的影響。圖7(b)中第一階段,dω/dε幾乎不受a2值的影響;而第二階段,a2值越大,dω/dε值越大,說明新?lián)p傷隨應變發(fā)展得越快。綜合圖7(a)和圖7(b)可以看出,參數(shù)a1和a2分別反映了巖石內(nèi)部微裂紋隨應變的閉合和發(fā)展歷程,即：在應變較低時,a1起控制作用,因此裂紋呈閉合趨勢,而在應變逐漸增大后,a2開始逐漸起控制作用,巖石呈裂紋擴展趨勢。綜上所述,可將a1和a2分別定義為控制裂紋閉合和發(fā)展的參數(shù)。

圖7 參數(shù)a1、a2對損傷演化的影響

為了驗證上述損傷演化的2個階段的分界點即為損傷曲線的極小值點,將不同圍壓下的體應變曲線、應力應變曲線及損傷演化曲線繪制于圖8中。在ω(ε) = 0(即圖中B點)處作垂線交應力應變曲線于A點,再在A點作平行線交體應變曲線于C點。B點作為損傷演化曲線的極值點,表示裂紋從閉合轉(zhuǎn)向擴展,即2個階段的分界點,而此刻正好對應于應力應變曲線上的點A,表示巖石內(nèi)部從微裂隙穩(wěn)定擴展階段進入到快速擴展階段。與A對應的體應變點C處于εV=0附近,說明軸向應變越過A點(對應于損傷演化曲線越過分界點B)后,巖石體積開始由壓縮轉(zhuǎn)為膨脹,即巖石內(nèi)部裂紋閉合完成,新的裂紋開始萌生并擴展。觀察圖8可以發(fā)現(xiàn),不同圍壓都遵循一致的規(guī)律,這也驗證了本文提出的損傷演化模型的合理性。

損傷模型式(7)可用于分析試驗所得巖石損傷破壞的閾值。為了量化分析,定義應力應變曲線切線為0處(即巖石切線模量為0)作為巖石破壞點。通過擬合曲線,確定切線模量為零處對應的應變值,將其代入損傷模型并得到破壞時的損傷值ωf。由于巖石材料具有初始損傷,故巖石總損傷ωt為初始損傷ω0與破壞損傷ωf之和。圖9(a)為圍壓等于0時,3種損傷與不同加載速率的關(guān)系的試驗結(jié)果,圖中虛線表示不同加載速率下的損傷平均值。陰影表示數(shù)據(jù)浮動范圍。ω0均值為0.322 5,最大上浮5.5%、下浮4.7%;ωf均值為0.282 9,最大上浮0.13%、下浮0.13%;ωt均值為0.605 4,最大上浮2.9%、下浮2.4%。可以發(fā)現(xiàn)定義的3種損傷均勻分布在均值兩側(cè),且?guī)缀醪皇芗虞d速率影響。圖9(b)為同一加載速率下3類損傷與圍壓的關(guān)系,ω0隨圍壓的增大而減小,且下降幅度明顯,說明圍壓使得巖石內(nèi)部的微裂紋出現(xiàn)閉合;ωf隨圍壓的增大略微上升,但是上升趨勢并不明顯,可近似認為破壞損傷ωf幾乎與圍壓無關(guān);ωt同ω0變化趨勢一致,隨圍壓的增大而減小,說明圍壓的增大導致巖石出現(xiàn)了脆性破壞。綜合圖9可以看出,巖石破壞時的損傷幾乎與加載速率無關(guān),而與其變形和外部圍壓條件相關(guān),這也證明了以應變?yōu)樽兞拷⒌膿p傷演化模型是合理的。

圖9 損傷演化規(guī)律

3.4 原位巖石模量的確定

通過對不同速率、不同圍壓等條件下的砂巖試驗研究了本構(gòu)模型及損傷演化模型的特征和適用性。試驗結(jié)果表明損傷演化模型具有典型的雙階段特征,同時證明了巖石試樣初始損傷的存在。結(jié)合本構(gòu)模型和損傷演化模型,能定量地確定初始損傷ω0,進而得到參數(shù)f0。根據(jù)經(jīng)典損傷力學理論,可得無損傷狀態(tài)(原位狀態(tài))下巖石的靜模量Esitu=ρC2ef0,C為波速。以本研究的試驗結(jié)果為例,以相同圍壓不同速率為一組,根據(jù)C值和f0分別計算Esitu及其每組平均值和對應的變異系數(shù)。其中,變異系數(shù)表達式為

(11)

由表2可知,巖石原位模量變異系數(shù)均>5%,即每組巖樣原位模量近似相同。因此,本文提出的本構(gòu)模型及損傷演化模型,不僅可以研究具有損傷巖石的變形發(fā)展和損傷演化情況,也可以用來判斷巖石的初始損傷程度和確定巖石試樣的原位模量。

表2 巖石原位模量平均值和變異系數(shù)

4 結(jié) 論

引入應變相關(guān)參數(shù)可明確荷載作用下巖石損傷演化特性,基于室內(nèi)試驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)砂巖宏觀模量受應變影響顯著,通過引入應變相關(guān)切線模量的數(shù)學表達,建立了砂巖本構(gòu)模型?；趽p傷力學理論和本文提出的本構(gòu)模型建立了應變相關(guān)的砂巖損傷演化模型,通過模型解析和參數(shù)分析得出以下結(jié)論：

(1)應變相關(guān)切線的砂巖本構(gòu)模型參數(shù)明確且便于擬合,對復雜應力路徑下的巖石本構(gòu)探究及變形預測具有參考意義;應變相關(guān)砂巖損傷演化模型既能表征巖石初始損傷,也能表征其隨應變變化的損傷演化特性。

(2)通過對巖石損傷演化模型的參數(shù)分析發(fā)現(xiàn),具有初始損傷的巖石,在加載過程中,損傷演化曲線具有典型的雙階段特征,且2個階段的特征可由模型的2個非線性參數(shù)控制。

(3)基于試驗結(jié)果并結(jié)合損傷演化模型分析發(fā)現(xiàn),初始損傷ω0、破壞損傷ωf和總損傷ωt的大小均與加載速率相關(guān)性較小。進一步分析圍壓對砂巖損傷的影響發(fā)現(xiàn),圍壓越大,初始損傷ω0越小;破壞損傷ωf是巖石達到破壞的損傷閾值,與圍壓關(guān)系不大;圍壓的增大降低了巖石的塑性,總損傷ωt也越小。