直面復(fù)雜問題挑戰(zhàn)的數(shù)學(xué)主題創(chuàng)新活動(dòng)
——以六年級(jí)《圓錐形紙杯面積有多大》主題拓展教學(xué)為例

盧 琴 蔣守成

數(shù)學(xué)主題創(chuàng)新活動(dòng)，是指引導(dǎo)兒童在直面復(fù)雜問題挑戰(zhàn)過程中形成新體驗(yàn)、獲得新見解的跨學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)。主題就是要解決的問題，是學(xué)生能夠主動(dòng)參與的、有真實(shí)情境的、具有挑戰(zhàn)性的復(fù)雜問題。創(chuàng)新活動(dòng)就是解決問題的過程，是指圍繞復(fù)雜問題的解決，學(xué)生綜合運(yùn)用已有的生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)知識(shí)以及其他相關(guān)學(xué)科的知識(shí)，通過獨(dú)立思考、合作探究等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，創(chuàng)造性地解決問題，并在此過程中獲得新經(jīng)驗(yàn)、產(chǎn)生新思考、形成新見解。數(shù)學(xué)主題創(chuàng)新活動(dòng)的實(shí)施主要分為四步：確立項(xiàng)目主題—設(shè)計(jì)項(xiàng)目方案—進(jìn)行項(xiàng)目探究—展示活動(dòng)成果（如圖1）。

（圖1）

下面，筆者以教學(xué)蘇教版六下“圓柱與圓錐”單元時(shí)自主設(shè)計(jì)的《圓錐形紙杯面積有多大》一課為例，談?wù)勅绾卧O(shè)計(jì)直面復(fù)雜問題挑戰(zhàn)的數(shù)學(xué)主題創(chuàng)新活動(dòng)。

一、聚焦生活，確立項(xiàng)目主題

數(shù)學(xué)主題創(chuàng)新活動(dòng)的“主題”是種子，來源于學(xué)生的真實(shí)生活和真實(shí)問題，根植于學(xué)生的認(rèn)知和生活經(jīng)驗(yàn)。主題的確立基本上決定了主題創(chuàng)新活動(dòng)的深度和廣度。

師：同學(xué)們，老師這兒有一個(gè)喝水的紙杯，這個(gè)紙杯和我們平時(shí)見過的紙杯有什么不一樣？

生：這是一個(gè)圓錐形的紙杯，我們平時(shí)見到的大多是圓柱形的紙杯。

師：你有沒有在哪里見過或使用過這種圓錐形紙杯？

生1：我在商場購物時(shí)，看到飲水機(jī)旁邊放著這種圓錐形紙杯。

生2：我在高速公路上的服務(wù)區(qū)用過。

師：確實(shí)，在大商場、服務(wù)區(qū)、飛機(jī)場、火車站等人流密集地可能會(huì)用到這種圓錐形紙杯。那你知道為什么要在這些地方使用圓錐形紙杯嗎？大家不妨大膽猜一猜。

生1：圓錐形紙杯更容易拿在手上。

生2：更省材料。

師：我們通過一段視頻來了解一下。

播放視頻《為什么使用圓錐形紙杯》。

師：原因之一確實(shí)是“省紙”，那這個(gè)圓錐形紙杯的面積有多大呢？到底省不省紙呢？這就是我們今天的研究主題。

上述教學(xué)從生活中的紙杯入手，引導(dǎo)學(xué)生思考圓錐形紙杯存在的價(jià)值，啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想“圓錐形紙杯面積有多大”這一研究主題，這既是學(xué)生源于生活經(jīng)驗(yàn)自然生發(fā)的研究內(nèi)容，也是單元知識(shí)內(nèi)容的補(bǔ)充，有助于學(xué)生完善有關(guān)立體圖形的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

二、問題驅(qū)動(dòng)，共生項(xiàng)目設(shè)計(jì)

在數(shù)學(xué)主題創(chuàng)新活動(dòng)中，立足一個(gè)或多個(gè)問題，以問題解決為驅(qū)動(dòng)力，能有效激活學(xué)生主動(dòng)參與的意識(shí)和行為，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行方案設(shè)計(jì)與實(shí)踐探究，使問題真正成為其研究和探索的出發(fā)點(diǎn)和歸宿。

師：確定研究主題后，我們先討論設(shè)計(jì)出可行的研究方案。你打算怎樣研究圓錐形紙杯的面積？

生：可以把這個(gè)紙杯剪開。

師：剪開后是什么平面圖形？

生：剪開后是扇形，扇形的弧就是圓錐的底面周長，扇形的半徑是圓錐的這條斜邊。

師：扇形的半徑是圓錐頂點(diǎn)到底面圓邊任意一點(diǎn)的距離，這是圓錐的母線，可以用字母l表示。要求紙杯的面積，也就是求這個(gè)扇形的面積。但我們沒學(xué)過扇形面積的計(jì)算方法，怎么辦？

生1：我覺得這個(gè)扇形好像是整個(gè)大圓面積的三分之一。

師：可以用三個(gè)扇形拼成一個(gè)大圓。

生1：三個(gè)扇形拼成圓還有一些剩余，看來這個(gè)扇形面積沒有正好是圓面積的三分之一。

生2：可以將扇形平均分成若干個(gè)小扇形，拼成已經(jīng)學(xué)過的長方形、三角形，然后再推導(dǎo)。

師：從圓面積的推導(dǎo)聯(lián)想到扇形面積的推導(dǎo)，是否可行？我們可以來嘗試進(jìn)行實(shí)踐探究。

研究方案是在生生、師生共同交流的過程中逐步明晰并完善的。在上述教學(xué)中，學(xué)生首先調(diào)取圓柱側(cè)面積的研究經(jīng)驗(yàn)，將圓錐的側(cè)面展開化曲為直進(jìn)行研究；然后調(diào)取圓面積的推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)，將扇形平均分成若干份，并剪拼轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形進(jìn)行推導(dǎo)。

三、項(xiàng)目探究，共享優(yōu)勢資源

數(shù)學(xué)主題創(chuàng)新活動(dòng)能為學(xué)生提供廣闊的合作探究空間和必要的“腳手架”，并在問題解決的關(guān)鍵處給予點(diǎn)撥和引領(lǐng)，促進(jìn)學(xué)生在研究中積累經(jīng)驗(yàn)、提升能力。

出示活動(dòng)要求：（1）試轉(zhuǎn)化。你想把扇形轉(zhuǎn)化成哪種圖形？（2）找聯(lián)系。轉(zhuǎn)化后的圖形與圓錐有怎樣的聯(lián)系？（3）推公式。根據(jù)已學(xué)圖形的面積計(jì)算公式，推導(dǎo)出圓錐側(cè)面積的計(jì)算公式。

生1：我們組將扇形對折，平均分成四個(gè)小扇形，然后拼成近似的平行四邊形。平行四邊形的底是圓錐底面周長的一半（即πr），平行四邊形的高是圓錐的母線（l）。因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣e=底×高，所以扇形的面積是圓錐底面周長的一半×母線=πrl。

生2：我們組也是將扇形對折，平均分成四份，但拼成的是近似的三角形。三角形的底是（即πr），三角形的高是2l。因?yàn)槿切蔚拿娣e=底×高÷2，所以扇形的面積=。

生3：我們組將扇形對折，平均分成8 個(gè)小扇形，并拼成近似的梯形。梯形的上底是，梯形的下底是，高是2l。因?yàn)樘菪蔚拿娣e=（上底+下底）×高÷2，所以扇形的面積=2l÷2=πrl。

生4：我們組把扇形平均剪成4 個(gè)小扇形，再補(bǔ)出4 個(gè)小扇形，這樣就想象成一個(gè)近似的平行四邊形。平行四邊形的底就是圓錐的底面周長，高是母線，所以扇形的面積＝底面周長×母線÷2=2πr×l÷2=πrl。

師：這四種推導(dǎo)過程有什么相同點(diǎn)？

生：都是將扇形轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的圖形，再根據(jù)它們之間的聯(lián)系推導(dǎo)出扇形的面積。

師：所以，轉(zhuǎn)化這種數(shù)學(xué)思想方法非常重要。不管是哪種轉(zhuǎn)化，最后都能得出圓錐的側(cè)面積=πrl。

學(xué)生合作探究后呈現(xiàn)的作品讓人欣喜，既有轉(zhuǎn)化為近似平行四邊形的推導(dǎo)過程，也有轉(zhuǎn)化為三角形和梯形的推導(dǎo)過程，甚至有補(bǔ)上相同數(shù)量小扇形的想象推導(dǎo)過程。學(xué)生思維的火花在分享中碰撞，轉(zhuǎn)化思想的滲透在比較中得到強(qiáng)化，創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)在課堂中蓬勃生長。

四、項(xiàng)目發(fā)布，推廣實(shí)際應(yīng)用

主題創(chuàng)新活動(dòng)有助于學(xué)生形成一系列的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略：疑難問題不放過，刨根究底找原因；舉一反三找規(guī)律，觸類旁通明原理；小組合作?？偨Y(jié)，融會(huì)貫通學(xué)數(shù)學(xué)；等等。

師：現(xiàn)在，你能計(jì)算出圓錐形紙杯的面積了嗎？

生：還需要測量。

師：直徑7厘米，母線9.5厘米。

生：3.14×3.5×9.5≈104.4（平方厘米）≈1 平方分米，大約手掌大小就能制作一個(gè)圓錐形紙杯，視頻中說圓錐形紙杯更省紙，我們用數(shù)據(jù)證明了確實(shí)如此。

師：生活中還有哪些物體是圓錐形的？

生1：生日帽。

生2：冰淇淋甜筒。

師（出示圖2）：你能計(jì)算出一個(gè)生日帽和一個(gè)冰淇淋甜筒的面積各是多少嗎？

（圖2）

…………

生：計(jì)算冰淇淋甜筒的面積時(shí)要注意用側(cè)面積加上底面積。

師：所以，圓錐的表面積=πrl＋πr2。

師：回顧今天的學(xué)習(xí)過程，我們發(fā)現(xiàn)生活中有圓錐形紙杯，確定了研究主題，然后討論設(shè)計(jì)出了可行的研究方案，接著進(jìn)行了實(shí)踐探究，得出了研究結(jié)論，最后將結(jié)論在生活中進(jìn)行了推廣應(yīng)用，這樣的研究過程你學(xué)會(huì)了嗎？你在這個(gè)過程中有什么體會(huì)？

…………

師：但是，圓在生活中，圓錐形紙杯還是比較少見的，常見的是這種圓臺(tái)形紙杯。聯(lián)想一下，你還可以確定什么研究主題？

生：圓臺(tái)形紙杯的面積有多大？

師：如果是這個(gè)主題，你打算怎樣來研究？今天這節(jié)課能給你帶來啟發(fā)嗎？

生1：也要把這個(gè)紙杯剪開，應(yīng)該是一個(gè)圓形和一個(gè)扇環(huán)。

生2：也可以通過轉(zhuǎn)化成已經(jīng)認(rèn)識(shí)的圖形來推導(dǎo)出側(cè)面積的計(jì)算方法。

生3：還可以將這個(gè)扇環(huán)延長，就能得到一個(gè)扇形，用大扇形的面積減掉小扇形的面積就是扇環(huán)的面積。

師：大家舉一反三的能力真強(qiáng)！其實(shí)，與之相關(guān)的研究主題還有很多，如怎樣制作圓錐形紙杯或圓臺(tái)形紙杯，圓臺(tái)形紙杯的容積有多大，等等。課后，大家可以接著去發(fā)現(xiàn)、去探究。

將數(shù)學(xué)知識(shí)和實(shí)際生活聯(lián)系起來，既使學(xué)生完善了對圓錐表面積的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，又讓他們深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用價(jià)值。將圓錐形紙杯的面積研究推廣到圓臺(tái)形紙杯的面積研究，既是學(xué)生研究經(jīng)驗(yàn)的再積累，也是學(xué)生對主題創(chuàng)新活動(dòng)過程的再強(qiáng)化，更在學(xué)生心田埋下了繼續(xù)探究的種子。

總之，數(shù)學(xué)主題創(chuàng)新活動(dòng)是基于兒童需求開展的探究活動(dòng)，強(qiáng)調(diào)打破學(xué)科之間、學(xué)校與社會(huì)生活之間的壁壘，開發(fā)學(xué)科育人資源，它承載著兒童創(chuàng)新意識(shí)的萌芽、創(chuàng)新思維的開發(fā)和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)等功能，連接著兒童當(dāng)下的學(xué)習(xí)與未來的發(fā)展。