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    滲透數(shù)學(xué)文化 提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

    2023-08-26 19:16:41邵夏燕
    關(guān)鍵詞:案例研究數(shù)學(xué)文化

    邵夏燕

    [摘? 要] 在教學(xué)活動(dòng)中融入數(shù)學(xué)文化有利于開闊學(xué)生的視野,落實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 本節(jié)課利用曼哈頓距離引入課題,讓學(xué)生經(jīng)歷“猜想—驗(yàn)證—證明”的過程得出定理,最后解決課前提出的實(shí)際問題. 數(shù)學(xué)史幫助學(xué)生了解三角不等式的起源,古今聯(lián)系的策略將歷史上三角不等式的證明方法與學(xué)生的證明方法聯(lián)系起來,讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)文化的價(jià)值,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)信心.

    [關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)文化;三角不等式;案例研究

    三角不等式是上海教育出版社出版的數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第二章第三節(jié)“基本不等式及其應(yīng)用”中的第二講內(nèi)容,是基本不等式中的一個(gè). 本節(jié)是新教材新增的內(nèi)容,目前關(guān)于三角不等式的課例研究還較少. 三角不等式不僅是一個(gè)經(jīng)常使用的恒不等式,而且在向量、復(fù)數(shù)教學(xué)以及高等數(shù)學(xué)教學(xué)中也經(jīng)常出現(xiàn),具有十分重要的意義.理解和證明三角不等式并不困難,但對(duì)它的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用有個(gè)逐步進(jìn)行的過程. 在教學(xué)中,如何讓學(xué)生更好地理解三角不等式及其作用值得廣大一線教師思考.

    數(shù)學(xué)史可以幫助學(xué)生了解三角不等式概念產(chǎn)生的來龍去脈,加深對(duì)三角不等式概念的理解. 歷史素材能提供問題和方法,給予學(xué)生更多的探究機(jī)會(huì). 借助數(shù)學(xué)史讓學(xué)生主動(dòng)參與“做數(shù)學(xué)”的創(chuàng)造性活動(dòng),從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),促使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)活動(dòng)的本質(zhì). 證明三角不等式時(shí)采用古今聯(lián)系的方式可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,學(xué)生在驚嘆古人智慧的同時(shí)能獲得學(xué)習(xí)動(dòng)力. 鑒于此,筆者設(shè)計(jì)了一堂將數(shù)學(xué)史融入三角不等式教學(xué)的數(shù)學(xué)課.

    本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是:(1)引導(dǎo)學(xué)生理解三角不等式定理,使學(xué)生能用三角不等式證明一些簡單的不等式,并求解一些簡單的最大值和最小值問題;(2)引導(dǎo)學(xué)生利用分類討論、數(shù)形結(jié)合等方法探究、抽象三角不等式,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng);(3)讓學(xué)生通過定理的證明和簡單應(yīng)用,感受三角不等式的地位與作用,能用聯(lián)系發(fā)展的眼光看待數(shù)學(xué)問題.

    數(shù)學(xué)史料及應(yīng)用

    1. 三角不等式的起源

    三角不等式在我國可以追溯到成于公元一世紀(jì)左右的《九章算術(shù)》中的正負(fù)術(shù):同名相除,異名相益,正無人負(fù)之,負(fù)無人正之;其異名相除,同名相益,正無人正之,負(fù)無人負(fù)之[1]. 前四句說的是有理數(shù)運(yùn)算的減法法則,后四句說的是有理數(shù)運(yùn)算的加法法則. 如果將有理數(shù)的運(yùn)算法則用數(shù)學(xué)符號(hào)表示,就可以得出三角不等式;將多種情況總結(jié)成一個(gè)不等式,就能充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的求簡思維.

    三角不等式在西方可以追溯到公元前300年左右的古希臘時(shí)期,著名數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》(第Ⅰ卷命題20)中提出“三角形中任意兩條邊之和大于第三邊,即a+b>c”,這成為后期三角不等式名稱的由來[2].

    2. 三角不等式的證明

    雖然三角不等式可以追溯到《九章算術(shù)》與《幾何原本》,但實(shí)際上在20世紀(jì)初提出關(guān)于范數(shù)的三角不等式后,三角不等式這個(gè)名稱才真正得以沿用. 并且英美也只有少部分早期教科書在20世紀(jì)五六十年代提到了三角不等式這一概念和式子,而且主要是運(yùn)用向量三角形或復(fù)數(shù)三角形來進(jìn)行說明和論證的. 其中有兩種代數(shù)證明方法可以引進(jìn)高一數(shù)學(xué)課堂:

    學(xué)生反饋

    課后收到學(xué)生問卷33份. 關(guān)于求x-3+x-5的最小值的問題,所有學(xué)生都成功使用三角不等式解出了最小值,甚至有42%的學(xué)生能使用兩種或兩種以上的方法解出最小值. 說明通過這節(jié)課的學(xué)習(xí),學(xué)生較好地掌握了三角不等式,并且能夠運(yùn)用三角不等式解決簡單的最值問題. 有58%的學(xué)生表示印象最深刻的是使用多種方法證明三角不等式,33%的學(xué)生表示印象最深刻的是“利用數(shù)形結(jié)合、分類討論來驗(yàn)證三角不等式”,這達(dá)到了本節(jié)課的第二個(gè)教學(xué)目標(biāo).

    談到本節(jié)課的收獲與感悟,學(xué)生反饋道:“以前三角不等式需要用許多文字語言才能描述出來,現(xiàn)在只需要簡簡單單一兩個(gè)代數(shù)式就可以表達(dá)了.”“三角不等式應(yīng)用在日常生活中,讓日常生活變得更便捷.”“應(yīng)當(dāng)嘗試不同方法、不同角度的學(xué)習(xí),盡力找到最簡潔方便的推導(dǎo)方案.”“學(xué)習(xí)不是背公式,而是學(xué)會(huì)推導(dǎo).”可以看到學(xué)生對(duì)三角不等式及其推導(dǎo)方法有了更加深刻的理解,課堂活動(dòng)讓他們對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有了更多感悟.

    總的來說,本節(jié)課激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,課堂留白的方式給學(xué)生提供了充分表達(dá)的機(jī)會(huì),在交流展示中加深了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解,增強(qiáng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)信心. 本節(jié)課很好地達(dá)成了預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo).

    結(jié)語

    數(shù)學(xué)文化可以從知識(shí)源流、學(xué)科聯(lián)系、社會(huì)角色、審美娛樂、多元文化五個(gè)維度融入數(shù)學(xué)教學(xué). 本節(jié)課涉及其中的三個(gè)維度,一是知識(shí)源流. 三角不等式的源流是數(shù)的運(yùn)算,從等式到不等式,而《九章算術(shù)》又是中國古代數(shù)的運(yùn)算的起源,是古人智慧的結(jié)晶. 二是社會(huì)角色. 本節(jié)課利用曼哈頓距離引入課題——三角不等式的教學(xué),最后回到這一問題并運(yùn)用三角不等式解決了這一問題,突出了數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的運(yùn)用. 三是多元文化. 三角不等式起源于中國古代的《九章算術(shù)》和古希臘的《幾何原本》,而且歷史上不同時(shí)空的數(shù)學(xué)家對(duì)三角不等式的發(fā)現(xiàn)和證明都有貢獻(xiàn),是多元文化的體現(xiàn).

    本節(jié)課將學(xué)生給出的驗(yàn)證方法和兩種證明方法與歷史上數(shù)學(xué)家使用的方法對(duì)應(yīng)起來,引導(dǎo)學(xué)生穿越時(shí)空與數(shù)學(xué)家對(duì)話,想數(shù)學(xué)家之所想,做數(shù)學(xué)家之所做,不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,而且增強(qiáng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)信心.

    參考文獻(xiàn):

    [1] 郭書春. 匯?!毒耪滤阈g(shù)》[M]. 沈陽:遼寧教育出版社,1990.

    [2] J.L.Heiberg.The Thirteen Books of Euclid′s Elements[M]. The University Press,1908.

    [3] N.B.Haaser. A Course In Mathematical Analysis[M]. Boston:Ginn,1959.

    [4] B.A.Frank.School Mathematics Study Group. Mathematics for High School:Intermediate Mathematics[M]. New Haven:Yale University Press,1961.

    [5] 汪曉勤,鄒佳晨. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)施課程思政的路徑[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué),2021(08):1-6.

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