抓住數(shù)學美的本質 指向核心素養(yǎng)培養(yǎng)

李怡 曹文棟 仲秀英

［摘? 要］ 高中教師培育學生數(shù)學審美能力時，常誤將數(shù)學美外在特征，如簡單美、對稱美、和諧美、奇異美視作本質屬性，忽視了高中階段的特殊性. 文章簡析數(shù)學美的內涵、載體及表現(xiàn)特征，指出數(shù)學美特征分為外在特征與內在特征，內在特征包含邏輯美、思想美、方法美，抓住數(shù)學美的本質，指向核心素養(yǎng)培養(yǎng)，幫助高中生發(fā)現(xiàn)數(shù)學美.

［關鍵詞］ 數(shù)學美；外在特征；內在特征；核心素養(yǎng)

長期以來，我國教育界一直強調育人發(fā)展. 數(shù)學作為基礎學科，承擔著育人任務. 強化數(shù)學“美育”不僅有利于學生學習數(shù)學，還直接指向學生審美價值觀的培養(yǎng). 《高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（下文簡稱高中數(shù)學課標）強調“引導學生感悟數(shù)學審美價值”就是對其有力的回應. 學生感悟到數(shù)學審美的基礎是經歷數(shù)學活動獲得數(shù)學美，盡管大量學者對數(shù)學美進行了深入研究，許多高中教師也意識到數(shù)學美的重要性，但現(xiàn)實教學中常出現(xiàn)數(shù)學美的培養(yǎng)流于形式的現(xiàn)象，反觀理論研究數(shù)學美多指簡單美、對稱美、和諧美、奇異美這四種基本特征，未明確揭示數(shù)學美在各學段的特殊性. 實踐教學中的數(shù)學美到底是什么？數(shù)學美在高中階段有何特征？滲透數(shù)學美的教學中是否更關注數(shù)學本質，相較形式美更趨向理性美？都是高中數(shù)學教師在數(shù)學美的內涵和教學的理解上存在的疑惑，需進一步探討與研究.

簡析高中數(shù)學美的內涵

要合理引導高中生感悟數(shù)學審美價值，首先要幫助高中生發(fā)現(xiàn)數(shù)學美. 深入研究數(shù)學美的本質，根據(jù)數(shù)學美感的產生和來源設計教學是必由之路［1］. 基于此，教師應明晰高中數(shù)學美的本質，明確高中數(shù)學美教學是義務教育數(shù)學美教學的延續(xù)與進階，避免因數(shù)學美存在于多種載體而掩蓋其理性美，讓數(shù)學美不局限于基本特征.

1. 簡析數(shù)學美

當前數(shù)學美還未有明確和普遍認可的定義，但一些學者對數(shù)學美存在一些誤解或偏見，認為美學作為人文學科，與高度抽象且完美演繹的數(shù)學無緣. 事實上，數(shù)學作為人類描述自然的符號、思維的體操、科學的語言，哪里有數(shù)學，哪里就有美.

數(shù)學家就數(shù)學美的本質主要有三種觀點，一是源于科學但流于形式的理性美. 事實上，數(shù)學美已被數(shù)學家發(fā)展成為一種方法、一種思想，甚至成為一種研究工具［2］. 二是數(shù)學美源于自然美和物理美，這是由自然界本身固有結構所決定［3］. 這種觀點一致認為數(shù)學美被賦予自然的客觀現(xiàn)實性，是內化了數(shù)學邏輯結構刻畫客體的結果. 三是數(shù)學美不僅需要追溯到數(shù)學本身，還應關注學習與研究數(shù)學的過程，即數(shù)學在外在形式與內在思想中的美.

目前廣為接受的觀點是第三種，數(shù)學美是對現(xiàn)實美的反映，既具有現(xiàn)實美的客觀性又包含客體自身的主觀意識，兩者對立統(tǒng)一［4］. 數(shù)學美是人們對數(shù)學對象產生的主觀認知，因此研究數(shù)學美的本質，不能脫離數(shù)學和美學范疇.

2. 數(shù)學美的載體及載體表現(xiàn)特點

數(shù)學美是一種能引起人們美感的數(shù)學對象的共同本質屬性. 而數(shù)學對象是人類對現(xiàn)實世界抽象反應的結果，任何能抽象成數(shù)學的物體都是數(shù)學美的載體，也就是說，數(shù)學美的變現(xiàn)依托于載體且載體是豐富多樣的. 載體可以是數(shù)學對象，即數(shù)學公式、圖形、結構等，也可以是能進行數(shù)學抽象的現(xiàn)實產物. 盡管載體豐富多樣，但載體的表現(xiàn)存在共同特征.

（1）使數(shù)學美具有依附性. 人們對美的感知是需要對象的，數(shù)學美是認知主體對現(xiàn)實對象的主觀認知，因此數(shù)學美的產生離不開載體，而依附于載體，使數(shù)學美具有依附性.

（2）使數(shù)學美具有多樣性. 數(shù)學美的載體往往并不單一，存在多元融合的情況，數(shù)學美的表現(xiàn)形式也具有多元化的特點. 比如數(shù)形結合是常見的體現(xiàn)數(shù)學美多樣性的方式，在學習基本不等式時，從“形”的角度理解“數(shù)”更直觀與簡潔.

（3）使數(shù)學美具有外顯性. 選擇良好的載體，會帶來直觀的美的享受. 美妙的幾何結構往往是借助現(xiàn)實物體抽象而形成的，如由恒星抽象出球體，進而截出圓形. 好的載體能帶來好的感受，直觀且簡明地實現(xiàn)數(shù)學美的欣賞.

（4）使數(shù)學美具有內隱性. 具有美的數(shù)學對象不僅僅是直觀對象，內在思想和方法具有更深層次且隱性的美，但不易被人們發(fā)現(xiàn). 同時，豐富的載體成了掩蓋理性美與創(chuàng)造美的“幫兇”. 比如黃金分割點常通過數(shù)形結合從外觀形式這一外顯的美被人們探究，但黃金分割點的再生性體現(xiàn)的最優(yōu)化思想卻常被人們忽略，哪怕是應用廣泛的再生性的“折紙法”. 因此，人們常感受外顯的數(shù)學美，而忽略了內隱的數(shù)學美.

3. 數(shù)學美的特征

對于美的定義，有外在形式上的，也有內涵思想上的，對于數(shù)學美來說，亦是如此. 數(shù)學美的特征籠統(tǒng)分為外在特征與內在特征兩個方面，其外在美主要是直觀、形式上的美，而內在美則是思想上的精神美.

（1）數(shù)學美的外在特征.

外在形式美是一種表層之美，具有直觀形象的特點，可憑借感官直接接受并內化出“愉悅”之感. 因具有直觀性，通常也是教師選取審美材料的入手點. 通過公式表達、圖形呈現(xiàn)等外在感知來快速抓住學生的眼球，從而為進入更深層次的探究奠定良好的心理基礎. 對稱性、簡單性、統(tǒng)一性、奇異性，是人們普遍接受的數(shù)學美的四種基本特征.

第一，對稱性. 客觀世界中處處有對稱，數(shù)學世界中也崇尚對稱，畢達哥拉斯特別欣賞高度對稱的球形和圓形，稱：“一切立體圖形中最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圓形.”同樣，高中學習的偶函數(shù)關于y軸對稱，就是對稱美的直接體現(xiàn).

第二，簡潔性. 數(shù)學源于對現(xiàn)實世界的抽象，簡潔是它的特點之一. 這種簡潔最能給人以美的享受，同時又是數(shù)學發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的源泉之一. 計數(shù)史就體現(xiàn)了數(shù)學對簡潔美的追求，從實物計數(shù)到符號計數(shù)，從石子、甲骨文計數(shù)到進制的出現(xiàn)，從算籌計數(shù)法到科學計數(shù)法，都是為了更簡潔地表示數(shù)的大小.

第三，統(tǒng)一性. 數(shù)學美的統(tǒng)一性，在數(shù)學中有著強大的魅力. 笛卡爾建立解析幾何的初衷，不正是受統(tǒng)一性的啟發(fā)嗎？在千變萬化的數(shù)學世界中，找到矛盾問題的共同特征并將其統(tǒng)一起來，這是數(shù)學長期以來在奮斗的事情. 歐拉公式eiπ+1=0這道被數(shù)學家譽為“上帝創(chuàng)造的公式”實現(xiàn)了幾個特殊數(shù)字的統(tǒng)一.

第四，奇異性. 數(shù)學美的奇異性與前三者對立統(tǒng)一.奇異性指在原有法則和統(tǒng)一格局中的突破與創(chuàng)新. 在原有法則和統(tǒng)一格局中存在出人意料的反例是奇異性的一種體現(xiàn)，好的反例能使人們對問題的理解更清晰. 比如的出現(xiàn)造成了第一次數(shù)學危機，使數(shù)域直接擴充.

（2）數(shù)學美的內在特征.

數(shù)學美不能停留于最終的表現(xiàn)形式，它作為數(shù)學的一部分，除了結論性特征外，還有存在于內在思想層面的過程美. 數(shù)學的內在美與其特有的內在結構、高度抽象與邏輯推理，需要人們經歷思維上的突破才能形成成就感，也需要經歷學習知識與實踐操作相結合的過程才能得到精神上的享受.

第一，思想美. 數(shù)學思想對數(shù)學思維活動、數(shù)學審美活動起著指導作用. 數(shù)學思想是對數(shù)學事實、數(shù)學理論經過概括后的本質認識，思想本身與其中蘊含的方法都是數(shù)學內在美的體現(xiàn). 這種美，美在深刻的思想上. 比如，人類努力刻畫客觀世界，逐步準確的過程產生了逼近思想，導數(shù)、割圓術等都是這一深刻數(shù)學思想的具體應用.

第二，邏輯美. 數(shù)學美是純凈的，這歸功于高度追求邏輯的真實性，邏輯為真就能成為真理，也正是這種求真的態(tài)度使得數(shù)學變得客觀與絕對. 數(shù)學嚴密的理論體系、嚴格的證明過程、嚴謹?shù)恼Z言表達等都是數(shù)學邏輯美的體現(xiàn). 對“推理和證明”的教學設計，不同教材均表明“推理”和“證明”有區(qū)別，推理是證明過程中的組成部分，在“證明”的教學過程中重點是要讓學生理解證明的必要性和證明的過程［5］. 其強調了數(shù)學學習過程中的邏輯性及邏輯美，數(shù)學教材中每一個定理的學習與證明都是感悟數(shù)學美的素材.

第三，方法美. 數(shù)學方法是數(shù)學各項活動中可用的工具或手段，只有依托于運用才能充分體現(xiàn)，方法的巧妙選取和正確運用能帶來比形式美更震動人心的沖擊力. 立體幾何中引入向量法，充分揭示了代數(shù)與幾何之間的關系，表明代數(shù)是寫出來的幾何，幾何是畫出來的代數(shù)，正確的方法使問題簡單化，呈現(xiàn)出了主體認知的美.

數(shù)學美的表現(xiàn)形式以一般標準可以分為形式美、內在美，不同學段的學生對數(shù)學美的接受程度不同，隨著學段的深入，美的層次應逐步提升. 義務教育階段多注重數(shù)學外在形式的美，而高中階段應走向更高層次的美，從外顯的直觀對象走向內隱的思想與方法. 教學上應盡可能將數(shù)學美中內隱的內容顯性化，高中階段的數(shù)學美應與核心素養(yǎng)相結合，數(shù)學美不應止步于欣賞，還要引導學生去創(chuàng)造，最終形成數(shù)學能力.

數(shù)學學習中對數(shù)學美的再認識

從理論上分析數(shù)學學習與數(shù)學美的結合，是對數(shù)學美的再認識，也是后續(xù)實踐探索的基礎. 在數(shù)學教學中滲透數(shù)學美是數(shù)學課程的育人模式，在課程實施中體現(xiàn)數(shù)學美特有功能的同時應考慮數(shù)學美學習心理機制.

1. 立足核心素養(yǎng)

高中數(shù)學課標綱領性指出立足核心素養(yǎng)，集中體現(xiàn)數(shù)學育人價值，將學生“感悟、認識數(shù)學審美價值”提至教學目標. 高中數(shù)學課標強調培養(yǎng)學生“三會”，其中“會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界”是強化數(shù)學美、培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的直接體現(xiàn)，期望學生通過抽象的視角理解自然現(xiàn)象背后的數(shù)學原理，從而形成數(shù)學美感. 事實上，數(shù)學美一直貫穿“三會”，數(shù)學思維特有的數(shù)學邏輯、數(shù)學表達特有的數(shù)學語言無一不呈現(xiàn)著數(shù)學美，這種美的直覺正是培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識的關鍵，處處蘊涵著育人價值.

2. 重視直覺思維

數(shù)學學習遷移是一種創(chuàng)造性的思維，需要邏輯思維、直覺思維，數(shù)學美感常表現(xiàn)為一種高層次的直覺. 心理學家布魯納認為，與特殊遷移相比，非特殊遷移比如原理或態(tài)度的遷移才是影響教育的關鍵［6］. 因此，只要掌握了學科基本結構、概念、原理就能實現(xiàn)學習遷移，而數(shù)學學習遷移離不開創(chuàng)造性思維，創(chuàng)造性思維又離不開邏輯和直覺，并且直覺在創(chuàng)造性思維過程中往往至關重要，而數(shù)學美感正是直覺的表現(xiàn). 盡管由直覺帶來的不被邏輯約束的數(shù)學美感，未經嚴密推理，但在數(shù)學創(chuàng)造中由審美感知猜測的結果卻至關重要.

3. 關注數(shù)學美感的建構

數(shù)學美感產生的過程與認知結構優(yōu)化、更替的過程有異曲同工之妙. 用皮亞杰的認知結構理論分析數(shù)學美學習心理機制發(fā)現(xiàn)，人認知某一數(shù)學對象時，須利用頭腦中已建構的認知圖式來同化或順應該對象，從而得到新的認知圖式. 事實上，在學生數(shù)學學習過程中，數(shù)學美感貫穿數(shù)學對象同化或順應的過程. 當學生經歷圖式優(yōu)化、重構過程時，數(shù)學對象的美也會刺激并同化至原有審美圖式，從而伴隨著成功的喜悅與滿足，得到審美認知結構的進一步完善. 這種心靈享受可能源于對某種算法的優(yōu)化、對某個概念的深入理解，也可能源于糾正某個錯誤認識，這些求真求善的過程都是數(shù)學美感的產生來源. 所以，數(shù)學審美過程也是一種建構活動.

教學中如何幫助學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學美

明確數(shù)學美的本質與表現(xiàn)形式后，教師應以核心素養(yǎng)為導向，以發(fā)展學生“三會”為目標，在高中數(shù)學教學中滲透數(shù)學美. 從觀察發(fā)現(xiàn)的角度創(chuàng)設數(shù)學情境，將數(shù)學知識的抽象性和邏輯性與思考方式、表達形式有機結合，充分展示數(shù)學的形式美、內在美.

1. 直觀材料喚醒學生對美的感知

數(shù)學美充滿了整個世界，開普勒曾指出“數(shù)學是這個世界之美的原型”，而這個世界不只是現(xiàn)實世界，還包含富有科學邏輯的數(shù)學世界. 因此，在數(shù)學教學教育中，教師可將現(xiàn)實世界和數(shù)學世界作為觀察數(shù)學美的兩條途徑，引導學生用數(shù)學的眼光觀察世界，在現(xiàn)實世界和數(shù)學世界中充分挖掘數(shù)學美學因素.

能引發(fā)學生觀察與思考的現(xiàn)實情境往往是學生熟悉，有意義、有趣的生活情境. 例如，以植物界中的斐波那契數(shù)列為專題展開數(shù)列教學：通過展示向日葵種子盤，引導學生觀察種子盤上兩組連續(xù)螺旋線走向與數(shù)量的關系，抽象出斐波那契數(shù)列后展開數(shù)列教學.

數(shù)學抽象形式的展現(xiàn)也不乏形象，仍具有可憑借感官認識與發(fā)現(xiàn)的美. 相對于純理論邏輯的科學美，學生對富有感性美的美學饒有興趣. 不妨從美的角度引導學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學情境也富有審美價值. 例如，在高中二項式定理教學中，以（a+b）2，（a+b）3的展開式類比分析（a+b）n，用組合數(shù)表示二項式系數(shù)得到二項式定理，將觀察得到的二項式系數(shù)排列成楊輝三角，在排列形式上得到美的享受.

2. 操作實驗刺激學生對美的抽象

數(shù)學創(chuàng)造中存在數(shù)學美，盡管外在的審美形式也可作為創(chuàng)作與思考的方法和發(fā)展的方向，但站在思想的高度，教師把數(shù)學概念的創(chuàng)造與認識等與審美形式相結合，可進一步抽象出數(shù)學思想方法，讓學生以順應或重構的方式經歷數(shù)學家思維創(chuàng)造的過程，在實踐活動中得到靈感與頓悟，進而感受到數(shù)學思維的生命力、創(chuàng)造力與深刻之美.

例如，在橢圓概念的教學中，學生經歷“做橢圓”的過程，在實踐活動中抽象出數(shù)學活動是抽象思維的體現(xiàn). 而結合審美形式，可借助信息技術實現(xiàn)多感官刺激學習，從視覺上感受橢圓的對稱性. 在橢圓標準方程的教學中，利用數(shù)形結合思想過渡，引導學生類比圓的標準方程的探究過程，以一般曲線方程的求解步驟為線索進行公式推導. 教師可從數(shù)學審美角度指導學生利用統(tǒng)一性、對稱性和換元思想化簡公式，從“形”的對稱轉換到“式”的對稱，突破公式推導的難點.在公式推導過程中，不是簡單地類比一般的公式推導步驟，而是追尋方法和結果的簡單性、徹底性，再從審美角度培養(yǎng)學生的數(shù)學運算素養(yǎng). 針對橢圓焦點在y軸的情況，引導學生回歸原始問題，檢驗思維過程，從圖形對稱性可發(fā)現(xiàn)焦點分類情況不唯一，以此培養(yǎng)學生的分類思想. 經歷上述過程，學生可將各種審美形式作為思想方法來思考世界.

3. 多樣表征激勵學生對美的升華

數(shù)學活動論的觀點表明數(shù)學語言作為一種傳遞數(shù)學知識、表達數(shù)學思想方法、體現(xiàn)數(shù)學學科特性的專業(yè)語言［7］，是數(shù)學活動之一，承擔著連接活動各個環(huán)節(jié)的作用. 顯然，高度符號化的數(shù)學語言是數(shù)學抽象的必要支撐，但正是高度抽象性讓學生難以感受數(shù)學理論體系創(chuàng)造過程蘊含的內涵美. 換個角度思考，何不借助數(shù)學語言的簡單性、嚴密性、可操作性等特性來輔助學生感受數(shù)學美. 數(shù)學語言的三種表征形式——文字語言、符號語言、圖象語言在真實教學中是互利共生的，可立足數(shù)學語言的表征形式來呈現(xiàn)數(shù)學語言特性，以此得到美的享受.

例如，在高中函數(shù)概念起始教學時，學生常因數(shù)學符號語言的變換難以理解函數(shù)對應關系這一本質. 例舉函數(shù)解析式、圖象和表格三種表示形式，讓學生思考與判斷例子，初步感受函數(shù)表示形式多樣，但本質為對應關系. 讓學生嘗試用自己的語言描述變量變化與對應的關系，教師針對學生的描述引導學生思考“為什么選擇該語言表達？”“用集合語言表示有何優(yōu)勢？”“變量變化與對應關系需滿足什么條件？有什么共同特點？”……通過與學生共同建構函數(shù)概念，從初中的“變量說”逐步改進到高中的“對應說”，讓學生經歷函數(shù)發(fā)生與發(fā)展的過程，感受語言產生的意義并學會運用語言表達世界，體會在語言產生的過程中蘊含著數(shù)學美.

數(shù)學既是一門科學也是一門藝術，數(shù)學審美教學既要關注形式也要關注內涵，欣賞數(shù)學形式上的藝術、洞察數(shù)學內在深刻的思想是教育工作者未來關注的方向. 把數(shù)學美以潤物細無聲的方式真正落實到課堂上，還有很長一段路要走.

參考文獻：

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