僅利用Crab脈沖星的徑向/橫向測(cè)距方法

劉 勁，賈運(yùn)澤，王奕迪，馬 辛

(1. 武漢科技大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，武漢 430081；2. 國(guó)防科技大學(xué)空天科學(xué)學(xué)院，長(zhǎng)沙 410003；3. 北京航空航天大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，北京 100191)

0 引 言

X射線脈沖星能為航天器提供徑向上的速度與位置等信息,對(duì)深空探測(cè)自主導(dǎo)航具有重要意義。因而,X射線脈沖星導(dǎo)航備受?chē)?guó)內(nèi)外學(xué)者關(guān)注[1-4]。

自從1981年Chester等[5]提出X射線脈沖星導(dǎo)航的概念以來(lái),美國(guó)就率先開(kāi)展相關(guān)研究工作[6],并于2017年發(fā)射了中子星內(nèi)部組成探測(cè)器[7-8],完成了X射線脈沖星導(dǎo)航空間驗(yàn)證。

從2006年開(kāi)始,中國(guó)緊隨其后,開(kāi)展了X射線脈沖星導(dǎo)航研究工作,至今取得了一系列研究成果[9-11]。中國(guó)先后發(fā)射了天宮二號(hào)[12]、脈沖星導(dǎo)航實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星[13](XPAVN-1)、“慧眼”探測(cè)器[14],驗(yàn)證了脈沖星導(dǎo)航應(yīng)用的可行性。

鑒于Crab脈沖星的流量遠(yuǎn)高于其他脈沖星,國(guó)內(nèi)外X射線脈沖星導(dǎo)航實(shí)驗(yàn)的觀測(cè)脈沖星都是Crab脈沖星(RSP B0531+21)。從Crab脈沖星累積輪廓中,不僅可以估計(jì)脈沖星到達(dá)時(shí)間,還可感知脈沖星累積輪廓的微弱畸變,以反演航天器在脈沖星徑向上的速度信息。鑒于其他脈沖星流量極低,即使航天器搭載大面積X射線敏感器,僅能從接收的X射線脈沖星信號(hào)中估計(jì)出低精度的脈沖星到達(dá)時(shí)間,并且無(wú)法感知低流量的脈沖星累積輪廓的極微弱畸變。

1 脈沖星橫向測(cè)距的科學(xué)機(jī)理

在非線性軌道中,由于位置誤差傳播,除徑向誤差外,橫向位置誤差也會(huì)引起徑向位置誤差,進(jìn)而引起X射線脈沖星累積輪廓的畸變。本節(jié)將對(duì)此進(jìn)行證明,并推導(dǎo)出位置誤差與脈沖星輪廓畸變之間的關(guān)系,以此證明基于脈沖星畸變輪廓的橫向測(cè)距方法的可行性。

圖1給出了關(guān)于脈沖星徑向與橫面、軌道面、軌道投影、初始位置以及OTD的示意圖。其中,軌道投影是指軌道在橫面上的投影;位置角是以航天器飛行方向?yàn)檎?當(dāng)前位置相對(duì)于初始位置的轉(zhuǎn)動(dòng)角。如:初始位置角為0°;飛行1/2個(gè)軌道周期時(shí),位置角為180°;飛行一個(gè)軌道周期時(shí),位置角為360°。

圖1 OTD示意圖

1.1 非線性軌道下徑向上的位置誤差

由于位置誤差的傳播性質(zhì),不同方向上的位置誤差會(huì)互相影響,即在脈沖星橫面上的位置誤差必然會(huì)引起脈沖星徑向上的位置誤差,從而引起脈沖星輪廓畸變。下面,將證明這一性質(zhì)。

位置誤差傳播性質(zhì)1.在非線性軌道中,橫向位置誤差經(jīng)傳播導(dǎo)致徑向位置誤差。

證.采用反證法。

在地心坐標(biāo)系(J2000.0)下,軌道動(dòng)力學(xué)模型如式(1):

(1)

式中:X為狀態(tài)向量,w(t)為系統(tǒng)噪聲。

將式(1)離散化可得到:

Xi=Φi,i-1Xi-1+Wi-1

(2)

式中:Φi,i-1≈Fi-1·ΔT+I6×6;I為單位矩陣;ΔT為采樣周期;Fi-1為ti-1時(shí)刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的雅可比矩陣,在忽略攝動(dòng)項(xiàng)后,其表達(dá)式為:

(3)

令X0為航天器的初始狀態(tài)向量,忽略噪聲項(xiàng)和非線性量化誤差,則有:

Xi=Φi,i-1·Φi-1,i-2…Φ1,0·X0

(4)

(5)

(6)

其在t1時(shí)刻的具體表達(dá)式為:

(7)

式中:δr0為t0時(shí)刻的初始位置誤差。

同理,可得t2,t3,t4時(shí)刻的具體表達(dá)式,如式(8)～(10)所示。

(8)

(9)

S0S2ΔT4]·δr0

(10)

聯(lián)立式(7)～(10),可得方程組。

若徑向位置誤差保持為零,即

(11)

脈沖星累積輪廓不會(huì)發(fā)生畸變。此時(shí),唯一解為δr0=03×1。這就說(shuō)明,若徑向位置誤差始終為0,初始位置誤差必為0。反之,初始位置誤差(包括初始橫向位置誤差)必會(huì)引起徑向位置誤差。

位置誤差傳播性質(zhì)得證。

證.采用反證法。

式(8)減式(7),式(9)減式(8),式(10)減式(9),可得方程組(12):

(12)

若徑向位置誤差保持不變,即

(13)

推論得證。

1.2 位置誤差引起脈沖星輪廓畸變的形成機(jī)理

本節(jié)研究脈沖星輪廓畸變的形成機(jī)理。本質(zhì)上,脈沖星累積輪廓可視為多個(gè)脈沖星子輪廓的疊加,具體如下:

為簡(jiǎn)化問(wèn)題,忽略噪聲干擾,僅考慮相移引起的脈沖星輪廓畸變。設(shè)歸一化的脈沖星標(biāo)準(zhǔn)輪廓為h(φ)。其中,φ為脈沖相位;h(φ)的周期為1,即h(φ)=h(φ+1)。在脈沖星信號(hào)累積過(guò)程中,利用預(yù)估的徑向位置對(duì)相移進(jìn)行補(bǔ)償。若存在徑向位置誤差,必然導(dǎo)致相位發(fā)生漂移。相移量Δφj為:

(14)

式中:T0為脈沖星固有周期;c為光速;Δφj為第j(j=0,1,2,…,J-1)個(gè)周期的徑向位置誤差引起的相位誤差;J為脈沖星累積時(shí)間內(nèi)的脈沖周期數(shù)。

(15)

根據(jù)1.1節(jié)中的位置誤差傳播性質(zhì)及其推論,由式(15)可知,脈沖星累積輪廓是由不同相位的脈沖星子輪廓疊加而成,必然發(fā)生畸變。

若要使脈沖星累積輪廓不發(fā)生畸變,徑向位置誤差必須始終為零。根據(jù)1.1節(jié)的位置誤差傳播性質(zhì),徑向位置誤差若要始終為零,橫向位置誤差也必須為零;反之,橫向位置誤差必然引起徑向位置誤差。

以上脈沖星輪廓畸變的形成機(jī)理是通過(guò)脈沖星輪廓畸變反演橫向位置誤差的理論基礎(chǔ)。這說(shuō)明脈沖星橫向測(cè)距是可行的。

2 徑向/橫向測(cè)距方法

本節(jié)研究徑向/橫向測(cè)距方法。相較于傳統(tǒng)的X射線脈沖星導(dǎo)航方法,徑向/橫向測(cè)距方法引入了可觀測(cè)橫向方向這一概念。徑向/橫向測(cè)距方法并非能夠估計(jì)脈沖星橫面上任意方向的位置,而是在可觀測(cè)橫向方向上提供較高精度的位置估計(jì)。因此,該方法也被稱(chēng)為徑向/OTD測(cè)距方法。

2.1 迭代循環(huán)互相關(guān)法

迭代循環(huán)互相關(guān)法是在循環(huán)互相關(guān)[22]的基礎(chǔ)上,利用位置估計(jì)值修正初始位置值。循環(huán)互相關(guān)法適合于勻速直線飛行條件下的脈沖星TOA估計(jì);而迭代循環(huán)互相關(guān)法適合于非線性軌道。這是因?yàn)樵诜蔷€性軌道下,初始徑向位置誤差會(huì)引起徑向位置誤差增量。通過(guò)多次迭代,消除徑向位置誤差自干擾。迭代循環(huán)互相關(guān)法的流程圖如圖2所示。具體的算法流程如下:

圖2 迭代循環(huán)互相關(guān)法

(16)

(17)

(18)

2.2 面向OTD2法

航天器的位置誤差可以分解為三個(gè)相互垂直的分量。位置誤差在脈沖星徑向上的投影是徑向位置誤差;位置誤差在脈沖星橫面上的投影也可再次分解為兩個(gè)垂直方向。根據(jù)第1節(jié)的位置誤差傳播性質(zhì)與脈沖星輪廓畸變?cè)?脈沖星橫面上的位置誤差引起徑向位置誤差,進(jìn)而導(dǎo)致脈沖星累積輪廓的畸變。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn),橫面內(nèi)不同方向上誤差引起的脈沖星輪廓畸變程度不同。引起的脈沖星輪廓畸變?cè)酱?該橫向方向的可觀測(cè)度越好。主要目的是在脈沖星橫面內(nèi),確定引起脈沖星輪廓畸變最大的可觀測(cè)橫向方向。

圖3 面向OTD2法

(19)

式中:δr表示采樣間隔;N表示單個(gè)方向上的采樣數(shù);k和l為變量,k=1,2,…,N,l=1,2,…,N。這樣可得N2個(gè)采樣值。

(20)

圖4 脈沖星輪廓畸變度模型

徑向/OTD測(cè)距法僅在山脊垂直方向估計(jì),而非在山脊方向和山脊垂直方向同時(shí)開(kāi)展二維估計(jì)。究其原因,一是在山脊方向估計(jì),定位精度必然不高;二是脈沖星橫面上的二維搜索必然導(dǎo)致計(jì)算量增大,影響X射線脈沖星導(dǎo)航系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性。綜上所述,本文僅在OTD上開(kāi)展測(cè)距。

5) 可觀測(cè)橫向方向估計(jì)。構(gòu)建脈沖星輪廓畸變度模型后,根據(jù)脊線方向可計(jì)算出可觀測(cè)橫向方向。通過(guò)函數(shù)擬合該山脊模型,擬合函數(shù)如下:

z=a0-b0|px-y+d|-e(py+x+c0)2

(21)

式中:a0為最大值;b0為當(dāng)前值與最大值之間的斜率;p為脊線斜率;d和e分別為脊線的截距和曲率;c0為常數(shù);x和y為n1和n2方向上的變量。通過(guò)擬合,即可估計(jì)出p。

可觀測(cè)橫向方向nOTD可通過(guò)下式計(jì)算:

nOTD=nr×(n1+p·n2)

(22)

式中:×表示矢量叉乘;n1+p·n2表示脊線方向矢量,其與脈沖星徑向矢量nr的叉乘可得到脊線垂直方向矢量。

(23)

式中:δr表示采樣間隔;N表示采樣數(shù);k為變量,k=1,2,…,N。

(24)

(25)

(26)

通過(guò)雙一維搜索,分別求出了徑向和OTD上的航天器位置矢量。與二維搜索相比,采樣數(shù)大幅下降,計(jì)算量也必將大幅下降。通過(guò)先估計(jì)脈沖星徑向位置,消除了徑向位置誤差的干擾,必然能有效提高OTD上的定位精度。

此外,通過(guò)后續(xù)3.2節(jié)的仿真實(shí)驗(yàn)可以看出,OTD與初始位置矢量有關(guān)?？筛鶕?jù)初始位置快速確定OTD,從而避免了本節(jié)關(guān)于OTD的復(fù)雜計(jì)算,進(jìn)一步減小了計(jì)算量。

利用三顆脈沖星的TOA進(jìn)行解算,可得到航天器的三維位置。徑向/OTD測(cè)距法可以通過(guò)一顆脈沖星的輻射信號(hào)估計(jì)出OTD和徑向上的位置,再結(jié)合另一顆脈沖星的TOA實(shí)現(xiàn)三維定位。位置協(xié)方差矩陣C表示為

[(HTH)-1HT]T

(27)

3 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

本節(jié)考察僅利用Crab脈沖星的徑向/OTD測(cè)距方法的準(zhǔn)確性和實(shí)時(shí)性。下面將研究初始位置、累積時(shí)間、軌道半長(zhǎng)軸、軌道傾角等因素對(duì)徑向/橫向測(cè)距方法的影響,并對(duì)比了雙一維搜索法與二維搜索法。為了體現(xiàn)徑向/OTD測(cè)距法的優(yōu)越性,將采用三顆脈沖星的傳統(tǒng)脈沖星測(cè)距法與采用兩顆脈沖星的徑向/OTD測(cè)距法作了對(duì)比。

3.1 仿真條件

導(dǎo)航脈沖星是Crab脈沖星PSR B0531+21,其基本參數(shù)如表1所示。研究發(fā)現(xiàn),脈沖星累積時(shí)間與軌道周期均對(duì)OTD位置誤差有影響。將脈沖星累積時(shí)間與軌道周期之比(RPATOP)作為徑向/OTD測(cè)距法的重要參數(shù)。地心坐標(biāo)系(J2000.0)下的地球衛(wèi)星軌道六要素如表2所示。仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)是處理器為英特爾Core i5-8300H@2.30 GHz,內(nèi)存為8G的聯(lián)想筆記本。

表1 Crab脈沖星及X射線敏感器相關(guān)參數(shù)

表2 軌道六要素

3.2 初始位置與累積時(shí)間

為了探索脈沖星觀測(cè)初始位置與估計(jì)精度之間的關(guān)系,本文用角表示軌道面位置,脈沖星徑向矢量在軌道面上的投影為0°。圖5給出了初始位置角及RPATOP對(duì)位置估計(jì)誤差的影響。其中,圖5中的初始位置角是指初始位置矢量與脈沖星徑向矢量在軌道面上的投影之間的夾角。軌道周期約為5 215 s,RPATOP為1/2時(shí),脈沖星累積時(shí)間約為2 607 s。

圖5 初始位置角與RPATOP對(duì)位置估計(jì)誤差的影響

從圖5中可以看出,在不同RPATOP下,徑向和OTD上的位置誤差呈現(xiàn)兩個(gè)波峰。這表明位置誤差是呈周期變化的,且變化周期約為半個(gè)軌道周期。隨著脈沖星累積時(shí)間的延長(zhǎng),徑向和OTD上的位置誤差均減小。通過(guò)以上現(xiàn)象可以得出,當(dāng)RPATOP為1/2,且初始位置角為90°或270°時(shí),徑向/橫向測(cè)距方法達(dá)到最優(yōu)。原因有二:1) 精度高。此時(shí)的徑向和OTD上的位置誤差分別約為30 m和300 m,低于RPATOP為1/3時(shí)的位置誤差。2)穩(wěn)定。初始位置角為90°,累積完成后,下次的初始位置為270°,二者的精度相當(dāng)。而RPATOP為2/3時(shí),相鄰的兩次位置估計(jì)誤差相差較大,不利于導(dǎo)航Kalman濾波器的設(shè)計(jì)。后續(xù)實(shí)驗(yàn)中,本文設(shè)置RPATOP為1/2。90°或270°時(shí)的初始位置定義為垂直初始位置。3.3節(jié)、3.4節(jié)、3.5節(jié)的仿真實(shí)驗(yàn)均是在垂直初始位置上開(kāi)展的。

圖6給出了RPATOP為1/2時(shí),初始位置角與OTD角之間的關(guān)系。其中,OTD角是指OTD與初始位置矢量投影之間的夾角。從圖6可以看出,OTD相對(duì)于初始位置矢量投影的位置角在小區(qū)間[-29°,-20°]內(nèi),且呈周期性變化。這一性質(zhì)為OTD的快速確定提供了依據(jù)。導(dǎo)航系統(tǒng)在軌工作時(shí),將初始位置矢量投影按照地面預(yù)先估算的結(jié)果,旋轉(zhuǎn)特定度數(shù)即可得到OTD。在RPATOP為1/3和2/3時(shí)也符合類(lèi)似規(guī)律,在此不再贅述。這樣避免了2.2節(jié)OTD確定過(guò)程的復(fù)雜計(jì)算。

圖6 初始位置角與OTD角之間的關(guān)系

此外,結(jié)合圖5可知,即使OTD方位存在誤差,其對(duì)應(yīng)的位置精度并不會(huì)大幅下降。即使快速確定OTD時(shí)存在一定誤差,也不會(huì)造成導(dǎo)航性能下降。因此,這是一種完全可行的方案。

3.3 半長(zhǎng)軸

圖7給出了軌道半長(zhǎng)軸對(duì)徑向和OTD位置估計(jì)誤差的影響。從圖7中可以看出,脈沖星累積時(shí)間隨軌道半長(zhǎng)軸延長(zhǎng),徑向和OTD位置估計(jì)誤差隨軌道半長(zhǎng)軸減小。

圖7 半長(zhǎng)軸對(duì)位置誤差的影響

理論上,脈沖星位置估計(jì)誤差應(yīng)與累積時(shí)間的開(kāi)方成反比。但是,OTD位置估計(jì)誤差僅略微下降。究其原因,軌道半長(zhǎng)軸越長(zhǎng),軌道非線性程度越弱。弱非線性軌道引起OTD上的位置估計(jì)誤差增大。長(zhǎng)累積時(shí)間和弱非線性軌道綜合作用,使得OTD位置估計(jì)誤差呈現(xiàn)圖7所示的結(jié)果。

徑向位置估計(jì)誤差受非線性軌道的影響小,與累積時(shí)間的開(kāi)方近似成反比。

3.4 X射線敏感器

X射線敏感器的性能與徑向/OTD測(cè)距法息息相關(guān)。下面,考察X射線敏感器的時(shí)間分辨率和有效面積對(duì)徑向/OTD測(cè)距法性能的影響,如表3所示。從表3可以看出,隨著時(shí)間分辨率的下降和有效面積的減小,徑向/OTD測(cè)距法的精度均下降。此外,時(shí)間分辨率的下降有助于縮短計(jì)算時(shí)間。究其原因,時(shí)間分辨率的下降意味著脈沖星信號(hào)數(shù)據(jù)的減少。時(shí)間分辨率的提高意味著需提升傳感器工藝;而有效面積的增加則意味著載重的增加。在實(shí)際工程中,需綜合考慮以上因素,選擇合適的X射線敏感器指標(biāo)參數(shù)。

表3 X射線敏感器性能

3.5 雙一維搜索與二維搜索

表4 雙一維搜索與二維搜索

3.6 傳統(tǒng)脈沖星測(cè)距與徑向/OTD測(cè)距法

若要實(shí)現(xiàn)三維定位,傳統(tǒng)脈沖星測(cè)距方法需要至少三顆脈沖星(RSP B0531+21、B1821-24和B1937+21)。而徑向/OTD測(cè)距法只需兩顆脈沖星(RSP B0531+21、B1937+21)。傳統(tǒng)脈沖星測(cè)距方法利用循環(huán)互相關(guān)法估計(jì)脈沖到達(dá)時(shí)間;徑向/OTD測(cè)距法對(duì)RSP B0531+21在兩個(gè)方向上估計(jì)位置信息,對(duì)B1937+21采用循環(huán)互相關(guān)法。估計(jì)完成后,直接利用式(27)求出協(xié)方差矩陣C。

根據(jù)C可得脈沖星三維定位誤差,如表5所示。傳統(tǒng)脈沖星測(cè)距方法需三顆脈沖星,徑向/OTD測(cè)距法僅需兩顆脈沖星;在不同X射線敏感器面積和時(shí)間分辨率下,徑向/OTD測(cè)距法的定位精度均高于傳統(tǒng)脈沖星測(cè)距方法。究其原因,弱脈沖星流量很低,導(dǎo)致測(cè)距精度低。其測(cè)距精度甚至低于Crab脈沖星OTD上的定位精度。

表5 兩種脈沖星測(cè)距方法的比較

若采用傳統(tǒng)脈沖星測(cè)距法,航天器需安裝三個(gè)X射線敏感器分別對(duì)準(zhǔn)三顆脈沖星,或者用一個(gè)X射線敏感器輪流觀測(cè)三顆脈沖星。無(wú)論哪種方案都會(huì)增加導(dǎo)航系統(tǒng)的負(fù)擔(dān)。徑向/橫向測(cè)距方法只需安裝兩個(gè)X射線敏感器分別對(duì)準(zhǔn)兩顆脈沖星,或者用一個(gè)X射線敏感器輪流觀測(cè)兩顆脈沖星。這無(wú)疑大大減小了導(dǎo)航系統(tǒng)的負(fù)擔(dān)。綜上所述,徑向/OTD測(cè)距法優(yōu)于傳統(tǒng)脈沖星測(cè)距法。

4 結(jié) 論

傳統(tǒng)脈沖星測(cè)距方法僅能在脈沖星徑向上定位。針對(duì)這一問(wèn)題,本文利用脈沖星累積輪廓畸變,開(kāi)展OTD上的定位,并提出了僅使用Crab脈沖星的徑向/橫向測(cè)距方法。該方法分別使用循環(huán)互相關(guān)法和卡方法估計(jì)脈沖星徑向和OTD上的位置信息。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,徑向/橫向測(cè)距法僅利用Crab脈沖星就能在兩個(gè)方向上實(shí)現(xiàn)定位,其徑向和OTD上的定位精度分別約為30 m和300 m,計(jì)算時(shí)間僅需1分鐘。與傳統(tǒng)X射線脈沖星導(dǎo)航相比,基于徑向/橫向測(cè)距的脈沖星導(dǎo)航所需脈沖星數(shù)量少,且定位精度高。綜上,該方法具有實(shí)時(shí)、高精度、強(qiáng)魯棒等優(yōu)點(diǎn)。若將徑向/橫向測(cè)距法應(yīng)用于X射線脈沖星導(dǎo)航領(lǐng)域,可在降低系統(tǒng)負(fù)擔(dān)的同時(shí)大幅提高定位精度,為未來(lái)X射線脈沖星導(dǎo)航系統(tǒng)設(shè)計(jì)提供新思路和理論參考。