變式應(yīng)用的必要性與實踐分析

李凡

［摘? 要］ 變式在我國數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域有悠久的歷史，其對各種課型的數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要的指導(dǎo)意義. 文章從變式應(yīng)用的必要性出發(fā)，談變式在概念教學(xué)、定理（公式）教學(xué)、例（習(xí)）題教學(xué)、復(fù)習(xí)教學(xué)、試卷講評課中的應(yīng)用模式，并以一個例題教學(xué)片段為例展開分析，與同行交流.

［關(guān)鍵詞］ 變式；教學(xué)；變式應(yīng)用

蘇聯(lián)教育家奧加涅相認(rèn)為：不少習(xí)題都有進(jìn)一步擴展與教育的功能，從解決原題到提出類似問題并解答的過程就是擴大解題武器庫的過程，學(xué)生在此過程中可形成良好的概括能力、辯證思維以及創(chuàng)造意識［1］. 該理論與變式應(yīng)用有著異曲同工之妙. 實踐發(fā)現(xiàn)，變式應(yīng)用能有效拔高學(xué)生的思維，能發(fā)展學(xué)生的解題能力.

變式應(yīng)用的必要性

1. 機械訓(xùn)練無法熟能生巧

常聽到教師這樣抱怨：這道題，講了無數(shù)遍，也練習(xí)了無數(shù)遍，學(xué)生還是要出錯. 殊不知，教師所言的“無數(shù)遍”只是機械地講題，學(xué)生一直從事著單一、重復(fù)的機械訓(xùn)練，根本達(dá)不到熟能生巧的境界，純粹是“小和尚念經(jīng)，有口無心”. 想讓學(xué)生通過解一道題，掌握解一類題的能力，教師就要讓學(xué)生經(jīng)歷靈活訓(xùn)練，而變式的應(yīng)用就是實現(xiàn)觸類旁通的基礎(chǔ).

2. 題海戰(zhàn)術(shù)催生厭學(xué)情緒

新課標(biāo)明確提出，學(xué)生才是學(xué)習(xí)真正的主人，學(xué)生對待學(xué)習(xí)的心理狀態(tài)、情緒與態(tài)度等對學(xué)習(xí)成效有著直接影響. 有些教師仍然沿用傳統(tǒng)的“題海戰(zhàn)術(shù)”進(jìn)行教學(xué)，希望學(xué)生全方位、無死角地通過刷題掌握解題技巧，形成良好的解題能力. 殊不知，在“雙減”背景下，“題海戰(zhàn)術(shù)”已經(jīng)被整個教育界摒棄.

題海戰(zhàn)術(shù)的教學(xué)模式，會嚴(yán)重壓縮學(xué)生的睡眠時間，占用其他學(xué)科的學(xué)習(xí)時間，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)效率低下，思維固化. 長此以往，學(xué)生看到習(xí)題就會產(chǎn)生抵觸情緒，久而久之就會形成惡性循環(huán). 變式教學(xué)可以有效解決“題海戰(zhàn)術(shù)”帶來的這些問題，能讓學(xué)生通過一類題的研究掌握知識本質(zhì)，形成以不變應(yīng)萬變的解題能力.

3. 以題論題違背教育規(guī)律

學(xué)生的身心發(fā)展遵循一定的規(guī)律，同樣地，數(shù)學(xué)教育教學(xué)也遵循著由淺入深的規(guī)律. 但有些教師在試卷講評環(huán)節(jié)，習(xí)慣性地以題論題，認(rèn)為學(xué)生只要學(xué)會解這一道題就可以了. 殊不知，教育的發(fā)展要遵循循序漸進(jìn)的原則，當(dāng)學(xué)生學(xué)會解一道題時，并不能“通透”到解一類題，而變式的介入，則能讓學(xué)生的思維實現(xiàn)由淺入深螺旋式上升.

變式的模式設(shè)計與實踐分析

1. 變式在不同課型中的應(yīng)用

變式是圍繞母題、教學(xué)目標(biāo)與學(xué)生的認(rèn)知水平等有一定依據(jù)地“變”，而非隨心所欲地即興發(fā)揮. 進(jìn)行變式設(shè)計時，教師要遵循常規(guī)的目標(biāo)導(dǎo)向與針對性原則，針對不同的課型，采取不同的教學(xué)方式.

（1）概念教學(xué)

概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，其在教學(xué)中的重要性不言而喻. 新課改背景下的概念課程，基本采用“情境創(chuàng)設(shè)—新知探究—抽象概念—變式強化—總結(jié)升華”的過程. 其中，“變式強化”環(huán)節(jié)在整個過程中起著核心作用. 當(dāng)學(xué)生抽象出概念的定義后，教師一般都不能急于帶領(lǐng)學(xué)生應(yīng)用剛剛建構(gòu)的概念去解決實際問題，而是通過變式的應(yīng)用，進(jìn)一步深化學(xué)生對概念內(nèi)涵與外延的理解，讓學(xué)生在概念的辨析與等價轉(zhuǎn)換中形成深刻的認(rèn)識. 同時，概念變式題組的應(yīng)用，能讓學(xué)生在探索中深化對概念內(nèi)涵的認(rèn)識，為建構(gòu)完整的認(rèn)知體系服務(wù).

（2）定理（公式）教學(xué)

定理、公式等是經(jīng)過長期大量實踐抽象而來的. 教師教學(xué)定理（公式）時，基本采用“情境—猜想—驗證—獲得定理（公式）—變式訓(xùn)練—總結(jié)提升”幾個步驟. 變式訓(xùn)練是基于學(xué)生獲得相應(yīng)定理（公式）之后，對其進(jìn)行更深層次的探討，一般是教師將定理（公式）進(jìn)行變形、推廣或逆向變化等，讓學(xué)生從不同的角度對其進(jìn)行了解，而后通過題組訓(xùn)練，鼓勵學(xué)生自主思考、探索、作答，真正地掌握定理或公式，提高應(yīng)用能力.

（3）例（習(xí)）題教學(xué)

學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的掌握程度以及各項能力的發(fā)展，都通過解題外顯. 例題或習(xí)題教學(xué)常采用“精選例題—解法變式—問題變式—方法指導(dǎo)—解決問題—提煉升華”的過程. 一題多解的本質(zhì)是解法變式，學(xué)生通過不斷優(yōu)化解法，思維的靈活性與廣闊性得到有效提升；問題變式是在不改變知識本質(zhì)的基礎(chǔ)上，變化問題的條件與結(jié)論，引發(fā)學(xué)生從不同的角度去思考問題、剖析問題、解決問題，為更好地完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)奠定基礎(chǔ).

（4）復(fù)習(xí)教學(xué)

艾賓浩斯遺忘曲線明確地告訴我們，人的記憶有一定的規(guī)律，學(xué)完的知識過一段時間要進(jìn)行復(fù)習(xí)、鞏固，這樣才能在大腦中形成長時記憶. 復(fù)習(xí)課程常采用“歸納、分析知識—精選范例—解法分析—變式訓(xùn)練—提煉總結(jié)”的教學(xué)過程.

一堂復(fù)習(xí)課，可以是一個知識點的循環(huán)，也可以是多個知識點的循環(huán)，但每個循環(huán)都是一個完整的過程. 是否要減少個別環(huán)節(jié)，要結(jié)合知識點的特點與范例的情況來定. 其中，“變式訓(xùn)練”是必不可少的一個環(huán)節(jié)，此“變式”非例（習(xí)）題教學(xué)過程中的變式，這里的變式一般具有綜合性，容納了多個知識點，使得整個問題具有“新、廣、深”的特征.

（5）試卷講評課

日常大小考試之后都涉及試卷講評，試卷講評是查漏補缺的重要時機，常采用“總評—分類評—變式訓(xùn)練—回顧—總結(jié)提升”的教學(xué)模式. “分類評”是指教師結(jié)合學(xué)生的實際答題情況，將典型錯誤類型進(jìn)行歸類、評析，或重新選擇其中的1～2項進(jìn)行重點點評；“變式訓(xùn)練”則是選擇典型范例編擬變式題，矯正學(xué)生容易出錯的問題，這是強化學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的一種訓(xùn)練，具有鞏固、提煉數(shù)學(xué)思想，強化解題方法，獲得解題能力的作用.

2. 例析變式應(yīng)用

由上面的分析可知，變式廣泛地應(yīng)用在不同的課型中，雖然應(yīng)用的方法存在一定的差異，但應(yīng)用的目的都是讓學(xué)生進(jìn)一步掌握知識本質(zhì)，深化學(xué)生對知識的理解，形成舉一反三的解題能力. 接下來，筆者以例題教學(xué)中的變式應(yīng)用為例，展開分析.

【環(huán)節(jié)一：精選例題】

例題?如圖1所示，△ABC是等邊三角形，在BC邊上取一點D，在AB邊上取一點E，使得BD=AE，AD與EC交于點O，求∠COD的度數(shù).

解法1 因為△ABD≌△CAE，所以∠BAD=∠ACE. 所以∠COD=∠ACE+∠CAD=∠BAD+∠CAD=60°.

例題一呈現(xiàn)，學(xué)生就輕松地完成了求解，同時進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài).

【環(huán)節(jié)二：解法變式】

顯然，會解例題并不是教師教學(xué)的主要目的. 等學(xué)生順利解題后，教師立即將題目中的條件“△ABC是等邊三角形，在BC邊上取一點D，在AB邊上取一點E”拎出來，讓學(xué)生思考有沒有其他解法. 在教師的點撥下，學(xué)生很快獲得了下面兩種解題方法.

解法2?如圖2所示，若D，E兩點分別是BC，AB的中點，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)容易求得∠COD=60°.

解法3?如圖3所示，若D，E兩點分別與點B、點A重合，則點O與點A重合，于是能直接獲得結(jié)論∠COD=60°.

該環(huán)節(jié)從低起點出發(fā)，先讓學(xué)生嘗到解題帶來的成就感，再從題設(shè)條件出發(fā)，引出解法變式，這樣便深化了學(xué)生對此類問題的認(rèn)識.

【環(huán)節(jié)三：問題變式】

變式?如圖4所示，在△ABC中，CD⊥AB，垂足為D，AE⊥BC，垂足為E，CD與AE交于點H，AB=CD=6，F(xiàn)為AB的中點，求HD+HF的值.

該變式難度顯然上升了一個臺階，意在讓學(xué)生進(jìn)一步掌握利用極端思想解題.

【環(huán)節(jié)四：方法指導(dǎo)】

數(shù)學(xué)教學(xué)并不是為了解決教材或練習(xí)冊上所呈現(xiàn)的一些問題而服務(wù)的，其更重要的任務(wù)是幫助學(xué)生獲得良好的解題方法. 當(dāng)學(xué)生在解題過程中出現(xiàn)思維障礙時，教師應(yīng)適時地給予引導(dǎo). 如對于以上變式的探索，當(dāng)學(xué)生茫然時，教師可作如下引導(dǎo).

師：我們來觀察問題中的已知條件. AB與CD的長度已經(jīng)確定，但三角形的形狀卻不能確定，當(dāng)點H的位置發(fā)生變化時，HD與HF的長度也會跟著發(fā)生改變，因此……

生1：因此本題的結(jié)論是3，對不對？如圖5所示，若點D與點B重合，則點H與點B重合，由此可知HD+HF=0+HF=3.

教師的點撥，成功地啟發(fā)了學(xué)生的思維，不等教師過多解釋，生1的思路便獲得大部分學(xué)生的認(rèn)可，但也有學(xué)生提出質(zhì)疑. 此時，課堂的探究氛圍異常濃厚. 由此可見，當(dāng)學(xué)生的思維卡殼時，教師可通過適當(dāng)引導(dǎo)與點撥的方式啟發(fā)學(xué)生思考，并基于學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，讓學(xué)生自主獲得解決問題的辦法.

【環(huán)節(jié)五：解決問題】

生1的解法看似有一定的道理，學(xué)生也特別贊賞這種解題策略，但所獲得的結(jié)論是否正確，還有待進(jìn)一步考證. 同時，如何書寫整個求解過程，也是大部分學(xué)生的困惑所在.

為了答疑解惑，教師可緊扣題目中存在的明確的線段長度（定量）與圖形形狀（不定量），讓學(xué)生探尋特殊情況.

生2：生1說的是點D與點B重合的情況，那是否可以讓點D與點F重合呢？如圖6所示，HD+HF=2HD，那求出HD即可解決問題. 而△AHD∽△CBD，所以=，解得HD=. 所以HD+HF=2HD=3.

師：非常好，這也是特殊情況的一種，但是不是比之前的情況更具一般性呢？據(jù)此我們可以得到哪些普遍性的結(jié)論？

生3：我發(fā)現(xiàn)，不論點D在什么位置，△AHD∽△CBD這個結(jié)論始終成立.

師生共同探討后，獲得如下解題過程：

學(xué)生在環(huán)節(jié)四中所獲得的結(jié)論屬于猜想，若要完整地寫出解題過程，比較困難. 而本環(huán)節(jié)的設(shè)置，能有效地啟迪學(xué)生的思維，能讓學(xué)生獲得良好的解題思路.

【環(huán)節(jié)六：提煉升華】

師：通過以上探索，對于本題，大家還能提出更多的問題嗎？

生4：由△AHD∽△CBD，能得到HD·CD=AD·BD，其中AB為已知條件，若設(shè)AD=x，則HD·CD的值就是一個關(guān)于x的二次函數(shù).

生5：那就是說題中CD=6這個條件可以忽略.

……

曾子曰：吾日三省吾身. 反思是提煉數(shù)學(xué)思想方法的重要過程，是促進(jìn)學(xué)生各項能力成長的關(guān)鍵途徑. 當(dāng)學(xué)生解決完問題后，教師要帶領(lǐng)學(xué)生再次回顧整個解題過程，對解題技巧、方法、經(jīng)驗等進(jìn)行總結(jié)歸納，從而深化學(xué)生對知識的認(rèn)識，提高學(xué)生的解題能力.

對變式應(yīng)用的思考

1. 教師層面

新課改背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)，是能力立意的教學(xué)，需要以“雙減”政策為方向，讓學(xué)生在有限的時間里獲得最大限度的成長. 就題論題、題海戰(zhàn)術(shù)等教學(xué)策略不僅違背了新課標(biāo)的教學(xué)理念，還嚴(yán)重消減了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，實屬教學(xué)方法的下下之策，更談不上“減負(fù)增效”.

日常教學(xué)中，教師應(yīng)做個有心人，養(yǎng)成搜集好題、精題、典型題的習(xí)慣，尤其是在各種大型考試中出現(xiàn)的一些好題，教師可將其作為教學(xué)的典范，以這些問題為藍(lán)本誕生出新的好問題，讓學(xué)生通過探索獲得問題的本質(zhì)，并觸類旁通.

2. 學(xué)生層面

變式應(yīng)用能有效地發(fā)散學(xué)生的思維，能讓學(xué)生學(xué)會從不同的角度觀察與分析問題，提高解題能力. 從以上變式應(yīng)用的教學(xué)片段來看，原本需要耗費大量時間的問題，在極端思想的輔助下，能準(zhǔn)確、高效地求解.

如上面教學(xué)片段中的環(huán)節(jié)四，在教師的適當(dāng)引導(dǎo)下，學(xué)生順應(yīng)教師的思維很快便探尋到了解決問題的突破口. 其實，教師在引導(dǎo)學(xué)生求解的時候并沒有從自己的思維起點出發(fā)，而是基于學(xué)生的思維起點，這樣便能讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)同感，從而順利獲得解題思路，并衍生出新的問題，使解題與新題環(huán)環(huán)相扣，永不停歇.

3. 評價層面

課堂評價是指在充分尊重學(xué)生的基礎(chǔ)上，以激勵為主的評價方式，其以發(fā)展學(xué)生的科學(xué)探索精神為主要目標(biāo). 因此，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)時刻關(guān)注學(xué)生的動態(tài)，對于學(xué)生的討論、交流、合作與思考模式等都要了如指掌，這樣才能針對性地給出客觀評價［2］.

以上教學(xué)片段，當(dāng)學(xué)生思維受阻時，教師并沒有直接呈現(xiàn)解題方法，而是通過引導(dǎo)與點撥的方式讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)并解決問題，獲得了較好的教學(xué)成效. 由此不難看出，教者只有客觀地理解學(xué)生存在的問題，才能緊扣問題本質(zhì)，給予學(xué)生科學(xué)合理的指導(dǎo)與評價，從而為新問題的生成奠定基礎(chǔ).

總之，培養(yǎng)學(xué)生的思考能力、協(xié)作能力與質(zhì)疑精神是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要任務(wù)之一. 變式的應(yīng)用是教育教學(xué)發(fā)展的大趨勢，是落實新課標(biāo)、發(fā)散學(xué)生思維的重要途徑. 實踐證明，將變式靈活地應(yīng)用在各種課型中，能有效地促進(jìn)教學(xué)相長.

參考文獻(xiàn)：

［1］約翰·杜威. 哲學(xué)的改造［M］. 許崇清，譯. 北京：商務(wù)印書館，1958.

［2］沈木勇. “雙減”背景下提升初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效益的策略［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（02）：91-93.