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    數(shù)學(xué)課

    2023-08-22 03:49:03米蘭
    散文 2023年7期
    關(guān)鍵詞:劉徽九章算術(shù)數(shù)學(xué)

    米蘭

    疫情封控期間, 當(dāng)我對外部世界的向往之心近乎萎滅之時(shí), 又一次看到了那一頭炸裂開來的鬈發(fā)和那個(gè)廣為人知的質(zhì)能等價(jià)公式:E=mc2。作為一個(gè)數(shù)學(xué)愛好者,我更傾向于將其視為一個(gè)數(shù)學(xué)方程, 而不是物理公式。沒錯(cuò),一切物質(zhì)都潛藏著質(zhì)量乘以光速平方的能量。某個(gè)風(fēng)雨如晦的春夜,我從書柜中找出鄉(xiāng)賢劉徽的《九章算術(shù)注》,打算重新研讀一遍,借以消除竟日瑟縮于一窗之內(nèi)的惶恐。就在去年,本地新建高中征集校名,我以“劉徽中學(xué)”投了票。后來聽說,也有諸如“伏生中學(xué)”“范公中學(xué)”“廣田中學(xué)”之類提名。遺憾的是,“終評委”們并不了解這些歷史名人的功績, 他們最終以“××二中”一錘定音。就這樣,劉徽以《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》兩個(gè)精湛的數(shù)學(xué)成果獲得“古典數(shù)學(xué)理論奠基者”的美譽(yù), 連同人們因?yàn)榱私鈹?shù)學(xué)在生活中的重要性而產(chǎn)生的對他的敬仰和推崇, 也終于被時(shí)間銷蝕。

    “事類相推,各有攸歸,故枝條雖分而本干者,知發(fā)其一端而已?!痹凇毒耪滤阈g(shù)注·序》中,我們的數(shù)學(xué)家充分表達(dá)了他對事物所含哲學(xué)內(nèi)蘊(yùn)的深刻認(rèn)識, 因而時(shí)間中的“失去”對他來說,其實(shí)算不了什么,我或許也不必為之叫屈。

    2002 年8 月20 日(我還記得這個(gè)日子),我特意請了半天假,一早來到郵政大廳門口排隊(duì)。國家郵政局發(fā)行“中國古代科學(xué)家”紀(jì)念郵票一套四枚,其中劉徽郵票首發(fā)式在我所居住的小城舉行。彼時(shí),我已經(jīng)有了七年的集郵史,對我來說,這枚面值八十分的郵票意義非凡。這位票面人物,在時(shí)間上與我相隔了一千七百多年的距離,但在物理空間上,我與他既為同鄉(xiāng),那么這種“同源”性必然帶來心理和情感上的親近。(時(shí)間似流水,在人與人之間形成空間和距離;桑梓如堤岸, 將空間和距離連綴在一起,形成麻花狀雙螺旋結(jié)構(gòu)。)

    那天,我如愿買到了全套四枚郵票,還拿出更多錢購買了同日發(fā)行的劉徽郵票首日封、紀(jì)念封和明信片。從郵政大廳穿過喧嚷的人群回到大街上時(shí), 熾烈的陽光像火一樣炙烤著排隊(duì)的人。我躲在樹蔭下,仔細(xì)查看購買的東西,唯恐有所遺漏。(寫到這里,我停下筆,翻箱倒柜找出了那些物品,它們完好如初地待在一個(gè)集郵冊里;那枚郵票上,劉徽的雕刻畫像清晰如昨,兩道劍眉和額頭上長短不一的三道皺紋, 勾勒出一位深具辯證思維的數(shù)學(xué)家的古老風(fēng)貌。)然后,帶著滿心歡喜回家。

    “數(shù)學(xué)包含大量的前提?!彼谝粡埣埳袭嬒乱恍﹣y七八糟的幾何體, 用一些奇怪的符號把它們連接起來, 嘴里咕咕噥噥說著什么, 又在另一張紙上寫下一連串公式和方程,“自變量是一個(gè)與他量有關(guān)聯(lián)的變量, 這一量中的任何一值都能在他量中找到對應(yīng)的固定值?!蔽艺驹诖扒埃粗ピ豪锎蔚谑㈤_的花朵, 無心理會(huì)這個(gè)沉浸于演算中的男人?!氨热缯f,只要具備足夠的已知條件,應(yīng)該可以建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型,據(jù)此制定出一套適用于上海、北京或其他任何地方的更加科學(xué)的防疫方案……”他俯身于我們的餐桌,像電影《美麗心靈》中的約翰·納什那樣,堅(jiān)信自己與眾不同。(霍金在《大設(shè)計(jì)》中提出依賴模型的實(shí)在論,認(rèn)為實(shí)在不過是一套自洽的和觀測對應(yīng)的圖景、模型或者理論;霍金企圖找到宇宙的唯一起源, 最終發(fā)現(xiàn)關(guān)于宇宙的起源有多種模型,于是他放棄對唯一性的追求,認(rèn)為只要這些模型是自洽的, 與之對應(yīng)的宇宙起源理論便是成立的。)

    封控到了第三十七天, 他從一開始的愜意到漸生焦慮,從焦慮到煩悶,再從煩悶到沉默,這個(gè)一向把“順其自然”掛在嘴邊的人, 竟然想憑一己之力替決策者和一眾醫(yī)學(xué)家、科學(xué)家解決偌大難題,這讓我油然而生憐憫之心。難道他不明白,有些事不是數(shù)學(xué)題,而是秘密,就像但丁在《神曲》中講述的那些關(guān)于天堂、地獄和人間的秘密。

    小女兒的花和蘑菇、被口罩緊捂的兩年

    ——多少回憶像暴雨落下

    窗臺上放著一本詩集。不經(jīng)意間,受他影響,我也在腦海中運(yùn)用數(shù)學(xué)思維,將那些詩句意指的生活, 想象為一個(gè)坐標(biāo)——原點(diǎn):個(gè)體命運(yùn);兩條數(shù)軸:地上站立的人和樹林、地下平躺的人和蜿蜒的根莖。接下來,一個(gè)包括人類與花朵、飛鳥與流言、病菌與炮彈在內(nèi)的適用于萬物的相對極坐標(biāo),在我腦海深處慢慢成形。在這個(gè)相對極坐標(biāo)中,任何個(gè)體命運(yùn),都無法繞開時(shí)代的叢林,他們將最終一起擁抱著走向神靈……

    樹上新綠初綻, 一寸寸光陰貼著葉面飛馳。我發(fā)現(xiàn), 有些秘密是寫在樹葉背面的。那些海綿組織、那些蟲卵、那凸起的葉脈隱藏著怎樣的故事?還有,石榴種子的排列方式是六邊形, 向日葵花盤有兩組方向相反的螺旋線, 雛菊花冠上的小花互以137°30′的夾角排列,一棵樹每年的分枝數(shù)都是斐波那契數(shù)……大自然這本書以文學(xué)形式敘寫,真相往往更加迷離,能夠客觀反映其內(nèi)部關(guān)系的數(shù)學(xué), 反倒是最真實(shí)的表達(dá)。

    在《九章算術(shù)注》卷四,劉徽寫道:“言不盡意,解此要當(dāng)以棋,乃得明耳?!焙芏嗍掠袩o數(shù)的起點(diǎn)和無數(shù)個(gè)理由, 人們所希求的,不過是遵循自然規(guī)律和道德良知,能夠自由地對此進(jìn)行考證和辯論,僅此而已。

    我相信數(shù)學(xué)與文學(xué)之間存在著美妙的共鳴。

    在文學(xué)上,文字排列不同,句子會(huì)有不同的含義,而含義排列不同,則會(huì)產(chǎn)生不同的表達(dá)效果。這就涉及我們所學(xué)的一個(gè)數(shù)學(xué)概念:排列組合。短篇小說《立體幾何》是我為數(shù)不多的閱讀次數(shù)達(dá)二十遍以上的文學(xué)作品。(“我”憑借曾祖父日記里記錄的數(shù)學(xué)奇思和性愛理論, 不動(dòng)聲色地實(shí)施的殺妻計(jì)劃,被作者寫得如此平靜而驚悚。)如果沒有豐富的數(shù)學(xué)知識,我認(rèn)為伊恩·麥克尤恩很難把那些字詞句和段落、開頭與結(jié)尾,設(shè)計(jì)得如此巧妙。

    同樣,一位優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家,他的語言表述能力也一定是一流的,比如劉徽。

    成書于漢代的《九章算術(shù)》,由二百四十六個(gè)應(yīng)用題和解答這些例題的方法組成,分為方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程和勾股九章。遺憾的是,該書中缺乏定義、推導(dǎo)和證明,分類也不盡合理。時(shí)至魏晉,我們的劉徽“是以敢竭頑魯,采其所見,為之作注”。他一方面為《九章算術(shù)》中的數(shù)學(xué)概念、具體方法和正確結(jié)論確立定義,進(jìn)行論述和證明,使其包含的數(shù)學(xué)內(nèi)容更加嚴(yán)密和完善(由此奠定了中國古典數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ));另一方面,他在為該書作注的同時(shí),又提出新問題(在數(shù)學(xué)研究中,問題的提出本身,就是一個(gè)了不起的發(fā)現(xiàn)),創(chuàng)立新方法,開辟新領(lǐng)域(《九章算術(shù)注》中的《重差》一卷,即完全為劉徽獨(dú)創(chuàng),唐代以單行本《海島算經(jīng)》發(fā)行)。正是憑借《九章算術(shù)注》, 中國古代數(shù)學(xué)向前發(fā)展了一大步。

    數(shù)學(xué)史家李迪將劉徽的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)概括為六個(gè)方面:一、建立了“十進(jìn)分?jǐn)?shù)”理論;二、推廣了分?jǐn)?shù)計(jì)算方式中的“齊同術(shù)”理論;三、運(yùn)用極限思想建立“割圓術(shù)”理論;四、創(chuàng)立了計(jì)算復(fù)雜立體體積的“劉徽定理”;五、改進(jìn)了線性方程組解法;六、完成“重差術(shù)”著作。

    《九章算術(shù)注》中,類似以下的表述比比皆是:

    徽以為今之史笈且略舉天地之物,考論厥數(shù),載之地志,以闡世術(shù)之美。

    凡物類形象,不圓則方。方圓之率,誠著于近,則雖遠(yuǎn)可知也。

    觸類而長之, 則雖幽遐詭伏,靡所不入。

    至于以法相傳,亦猶規(guī)矩度量可得而共,非特難為也。

    言雖異矣,所以成法實(shí)則同歸矣。

    …………

    言辭簡約,卻不乏駢文的富麗精工,又有散文的樸茂灑脫。劉徽寫的原本只是一本純數(shù)學(xué)之書,可誰又能說,它不像一部文學(xué)著作?

    2015 年12 月, 當(dāng)代數(shù)學(xué)家丘成桐在北京外國語大學(xué)作題為《數(shù)學(xué)與文學(xué)的共鳴》的演講,他認(rèn)為,數(shù)理之與人文,實(shí)有錯(cuò)綜交流的共同點(diǎn)。他說,物理學(xué)需要實(shí)驗(yàn),數(shù)學(xué)需要證明,文學(xué)卻不需要這么嚴(yán)格,但是離現(xiàn)象太遠(yuǎn)的文學(xué), 終究不是上乘的文學(xué)。以《紅樓夢》為例,曹雪芹借自身經(jīng)歷描述一個(gè)家族的榮華富貴及其無可避免的腐敗和墮落,事則實(shí)事,然則有隱有見,有正有閏,有條有理的創(chuàng)造和敘述,猶如一個(gè)大型的數(shù)學(xué)創(chuàng)作……

    彼時(shí), 我試著以數(shù)學(xué)架構(gòu)仿寫了一首小詩《七只水鳥》:

    昨夜,一陣小雨

    像密集的鳥鳴落進(jìn)庭院。清晨的

    一滴露珠迎著朝陽,

    一只蜜蜂停在玫瑰花上,

    一個(gè)男孩在醫(yī)院里降生,

    一位蒼老的清潔工,在人行道上

    歌唱愛情

    當(dāng)我穿過人群來到河邊,七只水鳥

    從蘆葦蕩里飛起

    三只向東,三只向西

    另外一只在我頭頂,歡鳴

    而這正是

    我一次次穿過人群

    抵達(dá)一條河的原因

    我原本更善于通過文學(xué)途徑獲知人生含義和人類豐富的道德寓意, 無奈生命歷程中遇到的問題越來越多, 更有一些神秘的存在施加影響,單靠文學(xué),已經(jīng)無法實(shí)現(xiàn)對人類精神的正確理解。這種情況下,借助數(shù)學(xué)思維不失為明智之舉——需要特別說明的是, 只羅列數(shù)字而缺乏邏輯推理和理性分析的做法,并不能稱之為數(shù)學(xué)思維,比如對某些災(zāi)害的統(tǒng)計(jì)(降雨量、風(fēng)力、小麥倒伏面積、減產(chǎn)幅度、經(jīng)濟(jì)損失總量等)。數(shù)字本身含義是不明確的, 災(zāi)害發(fā)生時(shí)那些無法用數(shù)字計(jì)算的東西, 比如對人感情的戕害, 對人心靈的折磨, 對靈魂空間的擠壓,很難說不是更為嚴(yán)重的災(zāi)害。

    2013 年6 月22 日(我也記得這個(gè)日子),“紀(jì)念劉徽注《九章算術(shù)》一千七百五十周年國際學(xué)術(shù)研討會(huì)”在我們這里舉行(在這之前,我在一本文獻(xiàn)匯編上看到過中科院研究員郭書春撰寫的《劉徽籍貫考》,他將“山東鄒平”作為劉徽的籍貫確定下來,其考證、推理、邏輯、行文,令我印象深刻)。這天正好是星期六,我很高興我能以一個(gè)數(shù)學(xué)愛好者的身份參與研討會(huì)的旁聽。不想,天有不測風(fēng)云,好巧不巧的是,麥?zhǔn)罩皯?yīng)該發(fā)放給受災(zāi)農(nóng)戶的小麥保險(xiǎn)金,因資金不到位遲遲無法落實(shí),偏偏星期五,也就是研討會(huì)前一天,這部分資金突然到賬,單位要求全員加班,不允許請假。

    小麥保險(xiǎn)賠付明細(xì)表中,張三九十元,李四一百四十二元, 趙五五十五元……我發(fā)現(xiàn)核損數(shù)字的大小,賠付金額的多少,在此時(shí)的老百姓眼里,已經(jīng)變得不再重要,盡管之前他們找村委、找鎮(zhèn)上、找市里、找保險(xiǎn)公司,來來回回如此這般地?fù)?jù)理力爭過;但此刻他們心中所愿, 只是種好下一茬莊稼,是秋玉米豐產(chǎn)豐收,是風(fēng)調(diào)雨順。

    地方文史專家王紅先生, 幫我搜集了幾份研討會(huì)的發(fā)言稿, 其中包括紐約市立大學(xué)教授道本周的論文, 他為與會(huì)者詳細(xì)梳理了世界范圍內(nèi)對劉徽注《九章算術(shù)》的研究成果。論文最后寫道:劉徽卓越的數(shù)學(xué)成就的取得, 正是他立異標(biāo)新的科學(xué)思想和卓越的哲學(xué)思想共同指導(dǎo)的結(jié)果。

    學(xué)生時(shí)代的我從未思考過數(shù)學(xué)的應(yīng)用,也就是數(shù)學(xué)與生活的關(guān)聯(lián)性問題。多少年后的一個(gè)春天,被封控于陋室,無所事事之時(shí)重讀《九章算術(shù)注》,我的腦洞緩緩打開,迎面而來的一絲光亮,似乎彌平了我與數(shù)學(xué)之間的明溝暗渠。劉徽認(rèn)為,天地之間一切客觀事物, 皆可用數(shù)量關(guān)系去效法和把握;現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究者進(jìn)而發(fā)現(xiàn),現(xiàn)實(shí)世界中許多問題不僅可以建立數(shù)學(xué)模型, 還可將模型歸結(jié)為某個(gè)非線性偏微分方程,其往往有多個(gè)解甚至無窮個(gè)解……

    數(shù)學(xué)的研究對象是由論證組成的,數(shù)學(xué)更重要的是邏輯和推理, 數(shù)學(xué)需要敏銳的洞察力。很顯然,這些能力我并不具備。也就是說,篳路藍(lán)縷開啟山林的過程,讓劉徽們獲得尋找真理的樂趣,而我所擁有的,只是被埋在題海中的苦惱。

    每個(gè)人都有一段決定性的成長經(jīng)歷。“徽幼習(xí)《九章》,長再詳覽。觀陰陽之割裂,總算術(shù)之根源,探賾之暇,遂悟其意?!保ā毒耪滤阈g(shù)注·序》)劉徽是天生的數(shù)學(xué)家,還是在成長過程中受到啟發(fā)和指引而走上的數(shù)學(xué)研究道路?

    關(guān)于劉徽的成長細(xì)節(jié),我在史書、地方志、地方人物故事中,在嚴(yán)敦杰、郭書春、李迪、梅榮照等一應(yīng)數(shù)學(xué)史家的論著中,都沒有找到更多線索。退而求其次,我只能從他生活的時(shí)代尋找答案。

    劉徽生卒年月不詳。據(jù)《晉書·律歷志》和《隋書·律歷志》記載:“魏陳留王景元四年,劉徽注《九章》?!蔽宏惲敉蹙霸哪?,為公元263 年,次年魏亡,再次年即是西晉泰始元年。也就是說,《九章算術(shù)注》成書于魏晉時(shí)期。眾所周知,魏晉時(shí)期是一個(gè)社會(huì)從戰(zhàn)亂走向統(tǒng)一、思想從解放走向爭鳴、科學(xué)從恢復(fù)走向發(fā)展的時(shí)代——何晏注《論語》,王弼注《老子》和《周易》,向季、郭象注《莊子》,葛洪著《抱樸子》,賈思勰著《齊民要術(shù)》,馬鈞發(fā)明龍骨水車,蒲元發(fā)明“木?!保?竹林名士嵇康主張“非湯武而薄周孔”,提出“越名教而任自然”……學(xué)術(shù)界釋古而創(chuàng)新的思潮,辨析明理、注重邏輯的風(fēng)氣,對劉徽的影響是不言而喻的。

    就在那個(gè)風(fēng)雨如晦的春夜,盯著π 后面那幾位數(shù)字, 我仿佛看到這位遠(yuǎn)古時(shí)代的鄉(xiāng)賢, 在一個(gè)圓形圖案內(nèi)接割出一個(gè)正六邊形,又將每段弧分割為二,得到接正十六邊形,“割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無所失矣”,直至接正一百九十二邊形, 得出圓周率為3.14 的數(shù)值。(那幽秘的、抽象的、無邊界的思考,挑戰(zhàn)著他的智力和體力。)這時(shí),他想要的答案好像近在咫尺又好像遠(yuǎn)在天邊。割之又割。及至割到三千零七十二邊形, 他得到了令自己滿意的數(shù)值:3.1416。

    ——一百多年后, 祖沖之在此基礎(chǔ)上, 將圓周率精算到小數(shù)點(diǎn)后第七位,即3.1415926<π<3.1415927。

    世界上的大部分人,一直在發(fā)出疑問,一直在等待結(jié)論, 卻少有身體力行去求證或推動(dòng)結(jié)論者,因此,真相的意義,更多地存在于孜孜以求之中。

    躺在草地上仰望星空, 那崇高曠遠(yuǎn)的秩序使我感知到, 這個(gè)世界是圓的。人之初,也是圓的。后來,人的形狀慢慢衍變?yōu)樾男巍⒄叫?、三角形、六邊形、梯形、菱形……他們是:母親、父親、學(xué)生、戰(zhàn)士、詩人、科學(xué)家……

    有生以來第一次遇到這種情形——以幾何體思考人類的基本問題。實(shí)際上,這種思考已經(jīng)超出我的能力范圍, 成為難解的問題。身為晦暗不明之境的親歷者,我只想把人類的基本問題具象為生與死的問題,從而使我眼里的圓,不僅不代表萬事皆空,而且可以作為一個(gè)完滿瞬間, 將人的一生簡單地固定下來。至于其他形狀,三角形也好,六邊形也好,不妨像省略掉小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)字一樣,忽略不計(jì)。

    現(xiàn)在封控解除了, 我與他陡然燃起的對數(shù)學(xué)的熱情迅速降溫。他想建立的數(shù)學(xué)模型是否有了些眉目,他沒說,我也沒問。在我這里, 對劉徽的重新閱讀給予我的最大啟發(fā), 更多地體現(xiàn)在哲學(xué)而不是數(shù)學(xué)方面。而事實(shí)上,科學(xué)的變革,無不以深刻的哲學(xué)思想為背景,從笛卡兒、伽利略,到牛頓、萊布尼茲,莫不如此。劉徽在數(shù)學(xué)研究中所運(yùn)用的析理思想、推類思想、簡約思想、重驗(yàn)思想、求新思想,以及關(guān)于言意的思想,亦時(shí)時(shí)折射著來自《周易》《老子》《莊子》《墨子》《論語》《荀子》《周禮》《管子》《淮南子》《論衡》的諸多先秦、兩漢哲學(xué)思想的輝光?!毒耪滤阈g(shù)注》,是劉徽的數(shù)學(xué)成就,也是他的哲學(xué)成就。

    草地上的這個(gè)夜晚, 那些繁密的星群在我眼里,不僅凸顯著空間的多維,也凸顯著時(shí)間的多維性——?jiǎng)⒒疹^頂?shù)拿恳活w星辰, 此刻也正閃耀在我的眼前——時(shí)間永遠(yuǎn)分叉,通向無數(shù)的未來。就是這樣,一個(gè)平常的夜晚,風(fēng)從遠(yuǎn)方吹來,我聽懂了緊隨著它的那些激蕩的聲音。

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