基于像差影響的星間角距修正方法

張凱勝，蘇秀琴，劉凱

（1 中國(guó)科學(xué)院西安光學(xué)精密機(jī)械研究所，西安 710119）

（2 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049）

0 引言

星敏感器作為天文導(dǎo)航的一種高精度空間姿態(tài)測(cè)量設(shè)備，是通過(guò)對(duì)恒星角距的觀測(cè)獲得空間飛行器的姿態(tài)［1-3］。目前，星敏感器地面測(cè)試主要設(shè)備是星模擬器，星模擬器按照工作方式不同分為標(biāo)定型星模擬器和功能檢測(cè)型星模擬器。標(biāo)定型星模擬器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，沒(méi)有實(shí)時(shí)性要求，對(duì)單星張角、星點(diǎn)位置和星等的模擬精度要求較高［4］；功能檢測(cè)型星模擬器的核心顯示器件是光閥，由于其國(guó)內(nèi)研制水平較低，國(guó)外出口的限制制約了星模擬器的發(fā)展［5］。因此，球幕投影技術(shù)越來(lái)越多的在該領(lǐng)域展現(xiàn)出優(yōu)越性，它不僅能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)高精度星敏感器功能的測(cè)試，還可以實(shí)現(xiàn)復(fù)雜光背景下的性能驗(yàn)證測(cè)試和動(dòng)態(tài)性能仿真測(cè)試［6-7］。

星間角距作為星模擬器的關(guān)鍵技術(shù)參數(shù)，是衡量其測(cè)試精度的重要指標(biāo)［8］，它是任意兩星點(diǎn)之間所存在的角位置關(guān)系，其大小取決于各星點(diǎn)位置［9-10］。光學(xué)系統(tǒng)作為星模擬器的重要組成部分，其彗差、場(chǎng)曲、像散和畸變均會(huì)引起星點(diǎn)位置發(fā)生變化，導(dǎo)致由星點(diǎn)位置計(jì)算的星間角距與理論星間角距存在差異，影響仿真精度，因此，研究光學(xué)系統(tǒng)像差對(duì)星間角距的影響是確保星模擬器高精度的重要保障。

本文提出了一種基于光學(xué)系統(tǒng)像差影響的星間角距修正方法，即通過(guò)分析光學(xué)系統(tǒng)像差對(duì)星間角距的影響，建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

1 球幕投影的星模擬器工作原理及平臺(tái)設(shè)計(jì)

1.1 工作原理

球幕投影的星模擬器工作原理如圖1 所示，球幕坐標(biāo)系等比縮放慣性坐標(biāo)系，球心代表地心，投影儀將星圖投射在球幕上，每個(gè)星點(diǎn)相對(duì)于球心的方位角和俯仰角分別等于其赤經(jīng)和赤緯。三軸轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)系代表衛(wèi)星坐標(biāo)系，實(shí)時(shí)模擬衛(wèi)星姿態(tài)信息。基于衛(wèi)星時(shí)間、主星和目標(biāo)星的初始軌道參數(shù)，進(jìn)行衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程的解算，并將解算后的姿態(tài)信息實(shí)時(shí)傳送至三軸轉(zhuǎn)臺(tái)。同時(shí)根據(jù)軌道信息和參數(shù)進(jìn)行的高精度軌道遞推，完成主星目標(biāo)星相對(duì)位置關(guān)系計(jì)算，解算出在慣性坐標(biāo)系下的目標(biāo)天區(qū)指向，實(shí)時(shí)傳輸給二軸轉(zhuǎn)臺(tái)。星敏感器放置在三軸轉(zhuǎn)臺(tái)上，視軸指向?yàn)槌跏荚O(shè)置值，當(dāng)啟動(dòng)搜索目標(biāo)時(shí)，按照既定軌道進(jìn)行搜索，當(dāng)指向球幕上的投影區(qū)時(shí)，探測(cè)到目標(biāo)并進(jìn)行識(shí)別。動(dòng)目標(biāo)投影儀和恒星投影儀放置在二軸轉(zhuǎn)臺(tái)上，隨著動(dòng)力學(xué)解算出的目標(biāo)星相對(duì)視線角的變化，二軸轉(zhuǎn)臺(tái)將跟隨動(dòng)力學(xué)視線角運(yùn)動(dòng)，帶動(dòng)投影儀輸出方向發(fā)生變化，則投影區(qū)在球幕上的位置也發(fā)生變化，從而完成對(duì)星敏感器全天區(qū)、復(fù)雜背景下的靜態(tài)標(biāo)定和動(dòng)態(tài)性能測(cè)試。

圖1 球幕投影的星模擬器原理Fig.1 Schematic diagram of star simulator for spherical screen projection

主星和目標(biāo)星相對(duì)運(yùn)動(dòng)示意圖如圖2 所示，Oi-XiYiZi表示慣性坐標(biāo)系，Rc為主星地心距矢量，Rt為目標(biāo)星地心距矢量，r為目標(biāo)星相對(duì)于主星的位置矢量。根據(jù)矢量關(guān)系有r=Rt-Rc，矢量r指向的天區(qū)即是星敏感器看到的天區(qū)。根據(jù)r的指向查找星圖，并根據(jù)同一時(shí)間太陽(yáng)、月亮的軌道參數(shù)，計(jì)算太陽(yáng)和月亮的位置矢量與視軸矢量關(guān)系，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，可得到視場(chǎng)范圍內(nèi)相應(yīng)的星空背景圖像和目標(biāo)星圖像，這個(gè)圖像輸出給投影儀，投影儀將輸入的圖像投影到球幕上，當(dāng)星敏感器指向投影區(qū)時(shí)能夠探測(cè)到圖像，并與其在軌飛行期間看到的圖像一致。

圖2 主星和目標(biāo)星相對(duì)運(yùn)動(dòng)示意圖Fig.2 Schematic diagram of relative motion of main star and target star

1.2 平臺(tái)設(shè)計(jì)

如圖3 所示，該平臺(tái)主要包括球幕、動(dòng)目標(biāo)投影儀、恒星投影儀、五軸飛行轉(zhuǎn)臺(tái)、圖形工作站、實(shí)時(shí)仿真計(jì)算機(jī)等。實(shí)時(shí)仿真計(jì)算機(jī)根據(jù)軌道高度、時(shí)間及日期解算當(dāng)時(shí)衛(wèi)星在軌姿態(tài)，為三軸轉(zhuǎn)臺(tái)和兩軸轉(zhuǎn)臺(tái)及圖像生成軟件提供輸入數(shù)據(jù)；五軸轉(zhuǎn)臺(tái)由一個(gè)三軸轉(zhuǎn)臺(tái)和一個(gè)與之共軸安裝的二軸轉(zhuǎn)臺(tái)及相關(guān)控制柜組成，其中三軸轉(zhuǎn)臺(tái)與二軸轉(zhuǎn)臺(tái)獨(dú)立運(yùn)行，互不影響，主要用于模擬衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)，以完成星體姿態(tài)角和角速度的模擬，并根據(jù)兩星視角關(guān)系將投影儀的鏡頭調(diào)整到正確的投影方向上，以確保能夠始終看到圖像；圖形工作站接收來(lái)自實(shí)時(shí)仿真計(jì)算機(jī)的時(shí)間、主星和目標(biāo)星的軌道參數(shù)等數(shù)據(jù)，根據(jù)星敏感器在衛(wèi)星上的安裝矩陣和指向角數(shù)據(jù)，計(jì)算其視場(chǎng)大小，調(diào)用圖像生成軟件，模擬當(dāng)前視場(chǎng)內(nèi)的光學(xué)圖像，并分別送給動(dòng)目標(biāo)投影儀和恒星投影儀。將目標(biāo)星的圖像和背景星空的圖像投影到球幕上，呈現(xiàn)出恒星背景和目標(biāo)星圖像。

圖3 平臺(tái)設(shè)計(jì)圖Fig.3 Design drawing of platform

2 基于像差影響的星間角距數(shù)學(xué)模型

2.1 數(shù)學(xué)模型建立

任意兩個(gè)星點(diǎn)所確定的角位置關(guān)系如圖4 所示［11］，星點(diǎn)經(jīng)過(guò)光學(xué)系統(tǒng)投射在像面上的坐標(biāo)關(guān)系如圖5所示。

圖4 任意兩星點(diǎn)間的角位置關(guān)系Fig.4 Angular position relationship of two star points

圖5 星點(diǎn)在像面上的坐標(biāo)關(guān)系Fig.5 Coordinate diagram of star points on image plane

根據(jù)圖5 可知

根據(jù)圖4 和圖5 中的幾何關(guān)系及式（1）～式（5）計(jì)算得到兩星點(diǎn)之間的星間角距為［12］

星點(diǎn)位置誤差是影響星間角距的主要因素，而星點(diǎn)位置誤差產(chǎn)生的一個(gè)主要的原因是光學(xué)系統(tǒng)像差［13-14］，在高精度星模擬器系統(tǒng)中，分析星間角距誤差時(shí)，不能單純只考慮畸變一種像差帶來(lái)的影響，應(yīng)該綜合整個(gè)光學(xué)系統(tǒng)各類像差帶來(lái)的星點(diǎn)位置偏移所引起的星間角距誤差［13-14］。如圖6 所示，對(duì)于星點(diǎn)A，在像差影響的情況下，其位置變?yōu)锳'，圖中的位置b，e，c相應(yīng)的變?yōu)閎'，e'，c'，方位角α和俯仰角β分別變?yōu)棣痢浜挺隆洹?duì)于任意兩星點(diǎn)A和B，在像差的影響下，星點(diǎn)A和B的位置分別變?yōu)锳'和B'，O點(diǎn)相對(duì)A'，B'兩點(diǎn)的俯仰角分別為，相對(duì)A'和B'兩點(diǎn)的方位角分別為，相應(yīng)的b1，e1，c1變?yōu)?，b2，e2，c2變?yōu)?，如圖7 所示。

圖6 像差對(duì)星點(diǎn)位置影響示意圖Fig.6 Schematic diagram of influence of aberration on star position

圖7 像差對(duì)星點(diǎn)星間角距影響示意圖Fig.7 Schematic diagram of the influence of aberration on the angular distance between stars

根據(jù)圖6 可知，各參數(shù)之間的關(guān)系為

根據(jù)圖7 可知，像差引起星點(diǎn)A、B位置變化，其偏移量與理想位置的關(guān)系可表示為

式中，Δx，Δy是與像差有關(guān)的小量，光學(xué)系統(tǒng)像差的大小用δy′表示，則有

式中，φ為星點(diǎn)A在x軸上的投影與O′A的夾角，故有

化簡(jiǎn)式（17）得到

聯(lián)合式（1）～式（3）及式（15）～式（18）式代入到式（12）和式（13）中化簡(jiǎn)得到

將式（19）和式（20）代入式（7）和式（9）中化簡(jiǎn)得到

最終，將式（21）和式（22）代入到星間角距公式中可以得到基于像差的星間角距，即

因此，像差對(duì)任意兩星點(diǎn)的星間角距的誤差為

2.2 光學(xué)系統(tǒng)像差影響

在光學(xué)系統(tǒng)中，幾何像差表示實(shí)際光線在理想像平面上的交點(diǎn)與理想位置的差值，其表達(dá)式為［15］

式中，δy′，δx′表示光學(xué)系統(tǒng)的幾何像差，A1，A2，A3，A4，A5分別表示球差、彗差、像散、場(chǎng)曲和畸變系數(shù)，h表示光束孔徑，y′表示像高。

1）彗差的影響

彗差是軸外物點(diǎn)寬光束像差，式（25）和式（26）中的第二項(xiàng)表示彗差的大小，可以看出，彗差與h2和y′成比例，將式（25）和式（26）中彗差引起的星點(diǎn)橫向偏移量代入式（21）和式（22）中得到彗差對(duì)方位角α和俯仰角β的影響為

最后將式（27）和式（28）代入式（23）和式（24）中可計(jì)算得到彗差對(duì)星間角距的影響。

2）場(chǎng)曲和像散的影響

細(xì)光束場(chǎng)曲會(huì)引起高斯像面的變化，不同視場(chǎng)像高也會(huì)隨著變化，如圖8 所示，場(chǎng)曲引起星點(diǎn)位置的偏移記為δy，則

式中，δy′為細(xì)光束場(chǎng)曲的大小，ω為視場(chǎng)角，式（25）和式（26）中的第三項(xiàng)表示場(chǎng)曲和像散的大小。

將式（25）和式（26）中的場(chǎng)曲項(xiàng)代入式（29）得到場(chǎng)曲和像散引起的星點(diǎn)橫向偏移為

將式（30）、式（31）中的場(chǎng)曲項(xiàng)代入到式（21）、式（22）中得到細(xì)光束場(chǎng)曲對(duì)方位角α和俯仰角β的影響，即

將式（30）、式（31）中的像散項(xiàng)代入到式（21）、式（22）中得到像散對(duì)方位角α和俯仰角β的影響，即

最后將式（32）～式（35）分別代入式（23）和式（24）中可計(jì)算得到場(chǎng)曲和像散對(duì)星間角距的影響。

3）畸變的影響

畸變是主光線的像差，根據(jù)式（25）第四項(xiàng)得到畸變的橫向偏移量，將其代入到式（21）、（22）中得到畸變對(duì)方位角α和俯仰角β的影響，即

最后將式（36）和式（37）分別代入式（23）和式（24）中可計(jì)算得到畸變對(duì)星間角距的影響。

3 像差對(duì)星間角距影響的實(shí)例分析

3.1 投影光學(xué)系統(tǒng)像差

本文以球幕投影的星模擬器平臺(tái)為例，其投影光學(xué)系統(tǒng)參數(shù)如表1 所示，光路如圖9 所示，投影系統(tǒng)焦距為52.8 mm，投射距離12 m。

表1 投影系統(tǒng)的技術(shù)指標(biāo)Table 1 Technical indicators of projection system

圖9 焦距為52.8 mm 光學(xué)系統(tǒng)Fig.9 Optical system with focal length of 52.8 mm

該投影系統(tǒng)MTF 如圖10 所示，從圖中可以看出，MTF 曲線均平滑過(guò)渡，在高頻93 lp/mm 時(shí)，全視場(chǎng)MTF 均大于0.48。不同視場(chǎng)彗差大小可通過(guò)彗差和數(shù)計(jì)算得到，計(jì)算得到不同視場(chǎng)彗差大小如表2 所示。

圖10 光學(xué)系統(tǒng)MTF 曲線Fig.10 MTF curve of optical system

表2 各視場(chǎng)彗差和數(shù)及彗差大小Table 2 Coma sum and coma size of each field of view

光學(xué)系統(tǒng)場(chǎng)曲、像散和畸變曲線如圖11 和圖12 所示，從圖中可以看出，該投影系統(tǒng)為負(fù)畸變，畸變大小為?0.5%。

圖11 場(chǎng)曲和像散曲線Fig.11 Field & Astigmatism curve

圖12 畸變曲線Fig.12 Distortion curve

3.2 結(jié)果仿真

軟件生成部分星圖如圖13 所示，該星圖中各星點(diǎn)的理論方位角和俯仰角如表3 所示。將該星圖中各星點(diǎn)的方位角和俯仰角及其所在視場(chǎng)的像差代入式（27）～式（37）中，計(jì)算得到不同像差影響下的各星點(diǎn)的方位角和俯仰角，最后通過(guò)式（23）和式（24）計(jì)算的到像差對(duì)星間角距影響的誤差，計(jì)算結(jié)果如圖14 所示。

表3 各星點(diǎn)位置Table 3 Positions of stars

圖13 軟件生成的部分星圖Fig.13 Partial star map generated by software

圖14 像差對(duì)星間角距影響Fig.14 Aberration effect on inter satellite angular distance

由圖14 可以看出，彗差對(duì)星間角距影響最大為?10.04″，場(chǎng)曲對(duì)星間角距最大影響為?13.07″，像散對(duì)星間角距影響最大為?2.92″，畸變對(duì)星間角距最大影響為34.78″，考慮到各像差對(duì)星間角距的補(bǔ)償性，得到像差對(duì)星間角距影響的總誤差最大為16.53″。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與分析

4.1 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

球幕投影的星模擬器實(shí)物圖如圖15 所示，軟件生成的星圖經(jīng)過(guò)光學(xué)系統(tǒng)投射到球幕上，通過(guò)調(diào)整經(jīng)緯儀高度，使其與中央星點(diǎn)處于同一高度和水平，觀測(cè)是否能看到全視場(chǎng)內(nèi)所有星點(diǎn)，采用經(jīng)緯儀測(cè)量球幕上顯示的所有待測(cè)星點(diǎn)的方位角和俯仰角，如圖16 所示，通過(guò)測(cè)量得到各星點(diǎn)的方位角和俯仰角如表4 所示。

圖15 平臺(tái)實(shí)物圖Fig.15 Physical drawing of platform

圖16 投射星點(diǎn)測(cè)試實(shí)物圖Fig.16 Projection star point test object

表4 各星點(diǎn)實(shí)測(cè)位置Table 4 Measured position of each star point

通過(guò)表4 中測(cè)量的方位角和俯仰角計(jì)算得到各星之間的星間角距誤差如圖17 所示，從圖中可以看出，實(shí)際測(cè)試所得的星間角距誤差最大為27.56″，而經(jīng)緯儀的固有誤差為0.5″，因此，經(jīng)緯儀固有誤差的影響可忽略不計(jì)。

圖17 星間角距誤差實(shí)測(cè)值Fig.17 Measured value of inter satellite angular distance error

4.2 誤差修正

在星間角距誤差修正過(guò)程中，首先對(duì)視場(chǎng)分辨率大小的區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格分區(qū)，本文將水平方向分了6 個(gè)區(qū)域，將垂直方向分了6 個(gè)區(qū)域，根據(jù)像差大小與所建立的星間角距數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行多項(xiàng)式曲線擬合，如圖18所示。其中，水平灰色區(qū)域帶里面星點(diǎn)的俯仰角按照水平X坐標(biāo)和垂直修正量進(jìn)行擬合，垂直灰色區(qū)域帶中的星點(diǎn)的方位角按照垂直Y坐標(biāo)和水平修正量進(jìn)行擬合。對(duì)于交叉區(qū)域來(lái)說(shuō)方位角和俯仰角就都進(jìn)行了擬合，然后以同樣的方法對(duì)其他區(qū)域進(jìn)行擬合，從而完成整個(gè)區(qū)域方位角和俯仰角的擬合。

圖18 擬合示意圖Fig.18 Fitting diagram

結(jié)合所建立的星間角距數(shù)學(xué)模型，針對(duì)各星點(diǎn)的方位角和俯仰角進(jìn)行曲線擬合，得到各星點(diǎn)位置誤差擬合曲線如圖19 所示。其中，像差x向?qū)Ψ轿唤怯绊懙臄M合曲線方程為

圖19 像差對(duì)方位角影響的擬合曲線Fig.19 Fitting curve of coma effect on azimuth

像差y向?qū)Ω┭鼋堑臄M合曲線方程為

根據(jù)式（38）和式（39）可得到星點(diǎn)位置誤差與方位角和俯仰角的關(guān)系，代入下式中計(jì)算得到修正后方位角和俯仰角的大小。

式中，Δx和Δy可從擬合曲線中得到，a和b是星點(diǎn)的理論位置，f是焦距，αi和βi是測(cè)量得到的方位角和俯仰角，s為像素大小，α0i為各星點(diǎn)與中央星點(diǎn)的方位角。修正后各星點(diǎn)方位角和俯仰角如表5 所示，修正后星間角距誤差如圖20 所示，結(jié)果表明，修正后星間角距最大誤差為16.96″，相對(duì)于修正前（27.56″）減小了10.60″。

表5 修正后各星點(diǎn)位置Table 5 Position of star points after correction

圖20 修正后星間角距誤差Fig.20 Corrected inter satellite angular distance error

5 結(jié)論

針對(duì)經(jīng)典星間角距數(shù)學(xué)公式?jīng)]有考慮像差影響的問(wèn)題，提出了一種基于光學(xué)系統(tǒng)像差影響的星間角距修正方法，建立了相應(yīng)的星間角距數(shù)學(xué)模型。以球幕投影的星模擬器平臺(tái)為例，分析了不同像差對(duì)星點(diǎn)位置的影響，通過(guò)對(duì)該實(shí)例中各星點(diǎn)之間的星角距進(jìn)行測(cè)量，結(jié)合所建立的星間角距數(shù)學(xué)模型，完成星間角距的修正，從而有效地提高了星模擬器的仿真精度。