2022年新高考卷解三角形試題的多解與拓展

楊沛娟　張宇

1.試題呈現(xiàn)

（2022年全國(guó)新高考Ⅰ卷）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B.

（1）若C=2π3，求B；

（2）求a2+b2c2的最小值.

2.解法分析

這是一道平面幾何與三角函數(shù)的綜合試題，在高考試題中屬于中檔題.求解時(shí)要求學(xué)生有較強(qiáng)的閱讀理解能力，基本的計(jì)算能力，還要有較強(qiáng)的邏輯思維能力，同時(shí)對(duì)學(xué)生的表達(dá)能力也提出了較高的要求.但求解過(guò)程容易出現(xiàn)多解，錯(cuò)解或漏解的情況.第（1）問(wèn)根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將cosA1+sinA=sin2B1+cos2B化成cosA+B=sinB，再結(jié)合0

3.解法探究

3.1 第（1）題解法

法1：（1）因?yàn)閏osA1+sinA=sin2B1+cos2B=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB，即sinB=cosAcosB－sinAsinB=cosA+B=－cosC=12，而0

評(píng)注：此解法用到了誘導(dǎo)公式及三角形的內(nèi)角和公式，思路清晰，解法自然.

4 試題拓展

以上分別列舉求解第（1）問(wèn)和第（2）問(wèn)的6種常見(jiàn)的方法，由于第（1）小問(wèn)和第（2）小問(wèn)相對(duì)獨(dú)立，因此，在理論上完成此題的解法很多.限于篇幅，不再例舉，留給讀者作為練習(xí).

5 教學(xué)建議

解三角形是近年高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)的試題，這部分內(nèi)容主要涉及到正弦定理，余弦定理，面積公式及射影定理等.因此教師在進(jìn)行這類問(wèn)題的教學(xué)或復(fù)習(xí)時(shí)，要加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)方面的練習(xí)，基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)了，解決此類問(wèn)題的時(shí)候，就能盡可能地避免解題過(guò)程中出現(xiàn)多解、錯(cuò)解或漏解的情況.

（本文系廣東教育學(xué)會(huì)教師繼續(xù)教育學(xué)會(huì)2020年度規(guī)劃課題《基于提升高中青年數(shù)學(xué)教師聽評(píng)課能力的實(shí)踐研究》（課題編號(hào)：2020gh070），廣東教育研究院規(guī)劃課題《基于STEM教育理念下圖形計(jì)算器在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐與研究》（課題編號(hào)：GDJY-2020-Ab-259），中山市市級(jí)科研立項(xiàng)一般課題《基于GeoGeBra在高中數(shù)學(xué)“可視化課堂導(dǎo)入”的實(shí)踐與探究》（課題編號(hào)：B2020196）三個(gè)基金項(xiàng)目的階段性成果.）