構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的若干策略

張園

運(yùn)用對(duì)相關(guān)函數(shù)求導(dǎo)證明不等式是近年來(lái)高考命題的一類(lèi)熱點(diǎn)題型，由于涉及許多導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中的解題技法，降低了解題的成功率，我們有不少同學(xué)都望而卻步.此類(lèi)問(wèn)題的破題關(guān)鍵就是找一個(gè)與待證不等式緊密聯(lián)系的函數(shù)，然后運(yùn)用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的方法，研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值、值域等性質(zhì)，進(jìn)而達(dá)到證明不等式的目的.本文以近幾年高考題或模擬題為例，通過(guò)探索不同類(lèi)型不等式的證明，闡述構(gòu)造函數(shù)證明不等式的六種方法，供參考.

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)將待證的結(jié)論式變形整理，揭露了待證式的實(shí)質(zhì)，也就是需要證明不等式f（x）

點(diǎn)評(píng)：在充分挖掘題目?jī)?nèi)涵的基礎(chǔ)上，將待證的不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化、變形，使之等價(jià)變形為另一個(gè)大小關(guān)系證明的問(wèn)題，然后再通過(guò)建立新函數(shù)輕松地解決了問(wèn)題.

五、挖出同構(gòu)關(guān)系后構(gòu)造函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：由于待證的不等式比較復(fù)雜，在分析、化簡(jiǎn)、變形的基礎(chǔ)上，再經(jīng)過(guò)換元處理，成功的找到了同構(gòu)關(guān)系，然后通過(guò)設(shè)新函數(shù)，這樣，成功地解決問(wèn)題就是很容易了.

六、選擇關(guān)鍵部位構(gòu)造函數(shù)

例6 已知函數(shù)f（x）=1+lnxex，設(shè)g（x）=（x2+x）f′（x）（f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)），試證明，對(duì)于任意x>0，g（x）<1+1e2.

點(diǎn)評(píng)：在解題過(guò)程中，根據(jù)大小比較的需要，對(duì)表達(dá)式中的一部分采用構(gòu)造函數(shù)處理，也是一個(gè)重要的解題思路，這種求解方法的關(guān)鍵是精確替換，以起作用、易解決為替換原則.