素養(yǎng)立意穩(wěn)中有變考教銜接助力改革

【摘 要】 ?2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷嚴(yán)格依據(jù)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，深化基礎(chǔ)性和綜合性考查，在試題變化上把握充分，在素養(yǎng)立意上體現(xiàn)充分，在考教銜接上助力充分，精選試題情境，助力高中育人方式改革.

【關(guān)鍵詞】 ?新課標(biāo)Ⅰ卷;試題變化;素養(yǎng)立意;考教銜接

2023年是八省市全面使用新教材后的新高考元年.2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷（以下簡稱“Ⅰ卷”）表達(dá)簡約，給人一種“春風(fēng)拂面”的舒適感和一種“似曾相識”的熟悉感.數(shù)學(xué)語言表達(dá)精煉，閱讀理解上通俗易懂；試題立意與設(shè)問十分“友好”；每道題入手容易，且都能拿到與自己水平相當(dāng)?shù)姆謹(jǐn)?shù)，給學(xué)生一種明顯的“獲得感”.通過比較研究2021年、2022年新課標(biāo)Ⅰ卷可以發(fā)現(xiàn)，2023年Ⅰ卷這種“簡約”“友好”和“獲得感”，主要?dú)w因于本文接下來要論述的“三個充分”.

1 ??試題變化把握充分

每年的高考試題設(shè)問或考點(diǎn)分布都有“變”與“不變”的部分.總結(jié)今年的Ⅰ卷，“不變”的部分往往讓考生能潛意識地接受，比如第1題考查的“集合的交集”，第2題考查的“復(fù)數(shù)的運(yùn)算”；基礎(chǔ)解答題中依然是考查“解三角形”，放在17題位置；第18題的立體幾何是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)情境，以正四棱柱為載體，第一問考查常規(guī)的“線線平行”，第二問還是考查二面角余弦等等.而“變”的部分，能反應(yīng)高考試題的變化趨勢，具體體現(xiàn)如下： 1.1 必備知識的分布調(diào)整

首先，2023年Ⅰ卷各大數(shù)學(xué)主題的分值權(quán)重分布穩(wěn)定.數(shù)學(xué)主題包括函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究活動四大主題，而對數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究活動的考查往往融合在其他三大主題當(dāng)中.統(tǒng)計各主題考查的知識點(diǎn)與分值，2023年函數(shù)主題部分考查分值為54分，與2021年一致，比2022年多5分；幾何與代數(shù)主題部分考查分值為69分，與2021年一致，比2022年少5分；概率與統(tǒng)計部分22分，與2021年、2022年一致，具體如下表：

1.2 破除函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的“最難”印象

我們慣性認(rèn)為函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是最難的壓軸題，也是大多學(xué)生很難突破的重點(diǎn)，從而備考復(fù)習(xí)時出現(xiàn)了兩種極端情形：要么會放棄該題型的復(fù)習(xí)，要么會花大量時間來講解訓(xùn)練.Ⅰ卷最讓人意外的是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題以中檔題形式位于第19題，突破了備考定勢與思維定勢.

例1 ?（2023年新課標(biāo)Ⅰ卷19題） 已知函數(shù)f（x）=a（ex+a）－x．

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）證明：當(dāng)a>0時，f（x）>2lna+ 3 2 ．

該題第（1）問先求導(dǎo)，再確定參數(shù)的“臨界點(diǎn)”分類討論a≤0與a>0兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解，第（2）問根據(jù)a>0的單調(diào)性情況將問題轉(zhuǎn)化為a2－lna－ 1 2 >0的恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)g（a）=a2－lna－ 1 2 （a>0），利用導(dǎo)數(shù)證得g（a）>0即可.

1.3 凸顯解析幾何與立體幾何的壓軸地位

2021年、2022年選擇題壓軸題型分別為立體幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，2021年、2022年填空題壓軸題型分別為數(shù)列、解析幾何，2021年、2022年解答題壓軸題型均為函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，然而2023年Ⅰ卷的選擇題、填空題、解答題的壓軸都以“幾何壓軸”的形式出現(xiàn)，規(guī)避了猜題、押題的“投機(jī)”行為.

例2 ?（2023年新課標(biāo)Ⅰ卷12題）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)的有

A.直徑為0.99 m的球體

B.所有棱長均為1.4 m的四面體

C.底面直徑為0.01 m，高為1.8 m的圓柱體

D.底面直徑為1.2 m，高為0.01 m的圓柱體

該題設(shè)計以數(shù)量關(guān)系來刻畫位置關(guān)系.在正方體內(nèi)放入其他幾何體，需要考慮正方體的面對角線、體對角線.A，B，C選項很容易從數(shù)量上進(jìn)行判斷，而D選項中正方體內(nèi)嵌入底面直徑或高超過棱長的圓柱體，要將圓柱體擺放為與體對角線垂直的狀態(tài)，需要很強(qiáng)的空間想象能力并進(jìn)行精妙的數(shù)據(jù)運(yùn)算.

例3 ?（2023年新課標(biāo)Ⅰ卷16題）已知雙曲線C： x2 a2 － y2 b2 =1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2．點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B在y軸上，F(xiàn)1A ⊥F1B ，F(xiàn)2A =－ 2 3 F2B ，則C的離心率為 ????．

該題可以利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到 AF1 ， AF2 ， BF1 ， BF2 關(guān)于m，a的表達(dá)式，根據(jù)垂直的條件得到m=a，接著利用余弦定理得到a，c的齊次方程；也可以設(shè)出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)法及坐標(biāo)運(yùn)算，得到點(diǎn)A，B的坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)A點(diǎn)在雙曲線上，可得到關(guān)于a，b，c的齊次方程.

例4 ?（2023年新課標(biāo)Ⅰ卷22題）在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到x軸的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn) 0， 1 2 ?的距離，記動點(diǎn)P的軌跡為W．

（1）求W的軌跡方程；

（2）已知矩形ABCD有三個頂點(diǎn)在W上，證明：矩形ABCD的周長大于3 3 ．

本題中拋物線方程不是標(biāo)準(zhǔn)方程，而是頂點(diǎn)不在原點(diǎn)的二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，同時最值求解的式子是關(guān)于兩個參數(shù)的含雙絕對值的結(jié)構(gòu)式 1+k2 ??2m－k + 1 k ?2m+ 1 k ??，需要考慮函數(shù)f（m）=|2m－k|+ 1 k |2m+ 1 k |（0 k 2 ???進(jìn)行分段討論．

1.4 鞏固概率與統(tǒng)計的“新主角”地位

概率統(tǒng)計專題的復(fù)習(xí)無固定“套路”可循.2021年位于18題位置，以“一帶一路”知識競賽為情境設(shè)置“求累計得分的分布列”“根據(jù)期望值做決策選擇答題順序”的問題形式；2022年位于20題位置，以“研究疾病與衛(wèi)生習(xí)慣關(guān)系”為情境設(shè)置“獨(dú)立性檢驗”“證明條件概率等式”“根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估值”等問題形式.2023年Ⅰ卷將概率統(tǒng)計與等比數(shù)列遞推公式融合在一起考查，載體與試題位置都類似于2019年全國Ⅰ卷理科第21題，屬于偏難題型，可以說直接承擔(dān)了“人才選拔”的功能，也表明了概率與統(tǒng)計情境與形式上的創(chuàng)新，逐漸成為了高考數(shù)學(xué)的“新主角”.

例5 ?（2023年新課標(biāo)Ⅰ卷21題）甲乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8，由抽簽確定第1次投籃的人選，第一次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．

（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第i次投籃的人是甲的概率；

（3）已知：若隨機(jī)變量Xi服從兩點(diǎn)分布，且P（Xi=1）=1－P（Xi=0）=q1，i=1，2，…，n，則E ∑ n i=1 Xi =∑ n i=1 qi．記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃次數(shù)為Y，求E（Y）．

該題首先需要思考第（1）問和第（2）問的關(guān)系，為什么第（1）問是“求第2次投籃的人是乙的概率”，而第（2）問卻是“求第i次投籃的人是甲的概率”？比如i=2時甲、乙投籃概率關(guān)系，從而需要建立“第i次投籃是甲的概率是pi，則第i次投籃的人是乙的概率是1－pi”的邏輯關(guān)系，再根據(jù)遞推關(guān)系，構(gòu)造等比數(shù)列模型；其次需要思考前一次甲、乙投籃都對后一次投籃產(chǎn)生影響；最后需要理解兩點(diǎn)分布的數(shù)學(xué)期望與甲投籃次數(shù)的數(shù)學(xué)期望滿足等式關(guān)系.

第（2）問解析：設(shè)pi表示第i次投籃是甲的概率，則第i+1次投籃是甲的概率pi+1= 3 5 pi+ 1 5 （1－pi），即pi+1= 2 5 pi+ 1 5 ．

構(gòu)造{pi+λ}為公比為 2 5 的等比數(shù)列，有pi+1+λ= 2 5 （pi+λ），解得λ=－ 1 3 ．由p1－ 1 3 = 1 6 ，可得：當(dāng)i≥2時，則pi－ 1 3 = 1 6 ??2 5 ?i－1，即pi= 1 3 + 1 6 ??2 5 ?i－1．又p1= 1 2 也滿足該式，故pi= 1 3 + 1 6 ??2 5 ?i－1．

第（3）問解析：設(shè)第i次投籃人是甲時，Xi=1；第i次投籃人是乙時，Xi=0，則Xi服從兩點(diǎn)分布，有P（Xi=1）=pi．從而

E（Y）=E（∑ n i=1 Xi）=∑ n i=1 pi=∑ n i=1 ??1 3 + 1 6 ??2 5 ?i－1 = 1 3 n+ 1 6 ∑ n i=1 ??2 5 ?i－1= 1 3 n+ 5 18 － 5 18 ??2 5 ?n．

1.5 強(qiáng)化數(shù)列的“計算”立意

近兩年以來，數(shù)列綜合應(yīng)用的計算要求越來越高，比如2021年考查“剪紙藝術(shù)中對折紙的種類及表面積問題”“遞推關(guān)系求通項求和問題”，2022年考查“消和式并累乘求通項問題與裂項相消求和后證明不等式問題”.同樣，2023年Ⅰ卷對等差數(shù)列的相關(guān)計算也提出了相當(dāng)高的要求，并且計算過程反套路.

例6 ?（2023年新課標(biāo)Ⅰ卷第20題）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，且d>1．令bn= n2+n an ，記Sn，Tn分別為數(shù)列{an}，{bn}的前n項和．

（1）若3a2=3a1+a3，S3+T3=21，求{an}的通項公式；

（2）若{bn}為等差數(shù)列，且S99－T99=99，求d．

該題命題意圖是研究兩個等差數(shù)列乘積，第（1）問需要在“S3+T3=21”的條件下通過例舉b1，b2，b3計算得到a1，a2，a3之間的關(guān)系，從而求得d；第（2）問借助{bn}為等差數(shù)列通過2b2=b1+b3計算得到a1與d的關(guān)系，再通過條件S99－T99=99分情況討論計算得出結(jié)果．

2 ??素養(yǎng)立意體現(xiàn)充分

高考命題體現(xiàn)的是“價值引領(lǐng)、素養(yǎng)立意、能力為重、知識為基”的變化趨勢，而“素養(yǎng)立意”在2023年Ⅰ卷中的體現(xiàn)是：在“重點(diǎn)考查邏輯推理素養(yǎng)、深化考查直觀想象素養(yǎng)、扎實考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)”[1]基礎(chǔ)上，還兼顧了充分考查數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、簡化考查數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).2.1 充分考查數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

例7 ?（2023年新課標(biāo)Ⅰ卷第11題）已知函數(shù)f（x）的定義域為 R ，f（xy）=y2f（x）+x2f（y），則

A．f（0）=0 ?B．f（1）=0

C．f（x）是偶函數(shù)

D．x=0為f（x）的極小值點(diǎn)

該題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，A，B，C可通過賦值得出，而D選項需要根據(jù)前面三個選項，通過抽象到具體構(gòu)造特殊函數(shù)

f（x）= x2ln|x|，x≠0，0，x=0.

2.2 簡化考查數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

模型是“數(shù)學(xué)的語言”，是描述世界的工具.模型在高考數(shù)學(xué)中包括了函數(shù)模型、幾何模型、不等式模型、概率模型等.2023年Ⅰ卷中選取科學(xué)情境“噪聲污染問題”，簡化地考查了函數(shù)模型選擇與應(yīng)用過程.

例8 ?（2023年新課標(biāo)Ⅰ卷第10題）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級Lp=20×lg p p0 ，其中參數(shù)p0（p0>0）是聽覺下限閾值，p是實際聲壓．下表為不同生源的聲壓級：

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10 m處測得實際聲壓分別為p1，p2，p3，則

A．p1≥p2 ????B．p2>10p3C．p3=100p0 D．p1≤100p2

該題聯(lián)系實際，注重應(yīng)用，利用對數(shù)函數(shù)研究噪聲聲壓水平，通過對聲壓級的研究，可以直接用原函數(shù)模型Lp=20×lg p p0 處理，也可以轉(zhuǎn)化為實際聲壓函數(shù)p=p0×10 Lp 20 處理，體現(xiàn)了模型選擇和應(yīng)用過程. 3 ??考教銜接助力充分

高考的核心功能之一就是“引導(dǎo)教學(xué)”，高考數(shù)學(xué)試題中呈現(xiàn)“考教銜接”的導(dǎo)向就是對“雙減”政策最好的呼應(yīng).教育部教育考試院在“高考命題實現(xiàn)由‘以綱定考到‘考教銜接的轉(zhuǎn)變中”指出，高考命題要嚴(yán)格依據(jù)高中課程標(biāo)準(zhǔn)，確保“內(nèi)容不超范圍，深度不超要求”，考查內(nèi)容限定在課程標(biāo)準(zhǔn)范圍之內(nèi)，考查難度限定在技能能力要求之內(nèi).2023年Ⅰ卷，很好地從這兩個方面作了呈現(xiàn).3.1 深度充分銜接課標(biāo) 例9 ?（2023年新課標(biāo)Ⅰ卷第9題）有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，則

A．x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，…，x6的平均數(shù)

B．x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，…，x6的中位數(shù)

C．x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于x1，x2，…，x6的標(biāo)準(zhǔn)差

D．x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差

該題考查了統(tǒng)計抽樣中樣本的基本數(shù)字特征，考查考生對樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、中位數(shù)、極差概念的理解和掌握，難度要求符合課標(biāo)要求，對接如下：

用樣本估計總體 能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)）；能用樣本估計總體的離散程度參數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差） 結(jié)合具體實例，理解

3.2 內(nèi)容充分回歸教材

“源于教材，但不拘泥于教材”是新高考的命題特點(diǎn)，那么可以從高考試題的顯性要素與隱性要素兩方面去建立與教材的對接點(diǎn)[2].比如，Ⅰ卷第3題含參數(shù)的向量的垂直關(guān)系，來源于必修二第60頁復(fù)習(xí)題參考題第6題；第10題噪聲污染問題來源于數(shù)學(xué)必修第一冊第141頁習(xí)題4.4中第10題“聲強(qiáng)”問題，具體內(nèi)容為：

教材對接 ?聲強(qiáng)級L1（單位：dB）由公式L1=10lg ?I 10－12 ?給出，其中I為聲強(qiáng)（單位：W/m2）.

（1）一般正常人聽覺能忍受的最高聲強(qiáng)為1W/m2，能聽到的最低聲強(qiáng)為10－12W/m2.求人聽覺的聲強(qiáng)級范圍.

（2）平時常人交談時的聲強(qiáng)約為10－6W/m2，求其聲強(qiáng)級.

鑒于此，2023年Ⅰ卷選擇題部分與教材的顯性鏈接可初步統(tǒng)計如下：

4 ??考教銜接背景下的備考策略

總的來說，2023年Ⅰ卷嚴(yán)格依據(jù)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，深化基礎(chǔ)性和綜合性考查，聚焦學(xué)科核心素養(yǎng)，體現(xiàn)“考教銜接”導(dǎo)向.“考”與“教”的銜接，并不是簡單的“以考定教”或者是“以教定考”，而是一定要明確“銜接什么”“怎么銜接”“銜接后如何教學(xué)”的問題.因此，高考與教學(xué)的銜接就需要研究“銜接”的標(biāo)準(zhǔn)是什么，相關(guān)的“銜接”機(jī)制如何建立.

4.1 歸納考點(diǎn)，對標(biāo)課標(biāo)

要及時準(zhǔn)確歸納每年高考考點(diǎn)，從“四翼”（怎么考）的角度，對標(biāo)課標(biāo)內(nèi)容范圍與能力要求，這樣教學(xué)才能實現(xiàn)“高考導(dǎo)向”，才能實現(xiàn)“引導(dǎo)中學(xué)依標(biāo)教學(xué)”的目標(biāo).

4.2 梳理教材，整合教材

復(fù)習(xí)備考中要思考如何通過對高考題和教材習(xí)題的比較、研究，建立高考試題與教材的對接點(diǎn). 比如靈活運(yùn)用顯性關(guān)聯(lián)和隱性關(guān)聯(lián)兩種方式，梳理試題材料呼應(yīng)教材的出處，梳理題干設(shè)問、答案設(shè)計與教材中的重點(diǎn)內(nèi)容建立知識鏈接等.同時，在梳理教材的基礎(chǔ)上，挖掘教材資源，進(jìn)行考點(diǎn)專題分類，提煉數(shù)學(xué)思想與通性通法，增強(qiáng)和教材的關(guān)聯(lián)度.

4.3 轉(zhuǎn)變方式，單元教學(xué)

因為教師往往對考試內(nèi)容變化敏感，即“考了什么沒考什么”“哪個主題考的多，哪個主題考的少”如數(shù)家珍，并且能夠積極主動調(diào)整復(fù)習(xí)方向，但教學(xué)方法的調(diào)整卻受諸多因素的影響而“一成不變”.所以高考數(shù)學(xué)內(nèi)容的變化對教學(xué)內(nèi)容范圍的影響迅速而深刻，但對教學(xué)方式方法的影響十分不明顯，很多高三的復(fù)習(xí)課堂現(xiàn)實情況往往是“不管你怎么考，我就是這樣教”.因此，在新課程、新課標(biāo)、新教材和新高考的背景下，要順應(yīng)高考命題“價值引領(lǐng)、素養(yǎng)立意、能力為重、知識為基”的變化趨勢，就必須變革課堂教學(xué)方式，實現(xiàn)真正意義上的由“解題”到“解決問題”的轉(zhuǎn)變；要實行大概念單元教學(xué)，落實必備知識，通過“情境創(chuàng)設(shè)—問題設(shè)計—探究活動”的教學(xué)過程，精心設(shè)計問題鏈，強(qiáng)調(diào)在深刻理解基礎(chǔ)之上的融會貫通、靈活運(yùn)用，讓學(xué)生掌握原理、內(nèi)化方法、舉一反三，引導(dǎo)學(xué)生主動探究，達(dá)到實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的目的.

參考文獻(xiàn)

［1］ ?教育部教育考試院.2023年高考數(shù)學(xué)全國卷試題評析[EB/OL]. （2023-06-07）[2023-06-08].https：//mp.weixin.qq.com/s/7SgNZ_RKg7V4FGJvbh_w9g.

［2］ ?周威.高考導(dǎo)向下的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教材回歸策略淺談[J].數(shù)學(xué)通訊，2020（20）：43-45.

作者簡介 ?周威（1985—），男，中學(xué)一級教師，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)碩士；湖北省恩施州教育科學(xué)研究院高中數(shù)學(xué)教研員，恩施州高中數(shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會秘書;研究方向為教育評估與高中數(shù)學(xué)教育；發(fā)表論文80余篇.