三種“有初速度的雙棒”問題的歸類例析

劉萬強 肖夢軍

(湖北省松滋市第一中學)

有初速度的兩導體棒在電磁感應問題中,因安培力隨電流的變化而變化,運動情況較復雜,涉及電路、動力學、動量和能量多維度的知識綜合分析,能力要求高,試題的區(qū)分度好,成為命題者青睞的選題素材。本文把“有初速度的雙棒”問題分成三種情況,分別以電路、動力學、動量和能量四個角度進行歸類例析如下。

一、寬度恒定的導軌,一棒有初速度、一棒沒有初速度

【問題情境】如圖1所示,光滑平行金屬導軌,兩根完全相同的金屬棒ab、cd(質量m、電阻R、長度l)導軌電阻不計。整個裝置處在豎直向下的強度為B的勻強磁場中,t=0時給ab一個向右的速度v0,試分析兩桿的運動、動量和能量變化過程(假設導軌足夠長,兩桿始終不相撞)。

圖1

圖2

【典例1】兩根足夠長的固定的平行金屬導軌位于同一水平面內,兩導軌間的距離為L。導軌上放置兩根導體棒a和b,俯視圖如圖3所示。兩根導體棒的質量均為m,電阻均為R,回路中其余部分的電阻不計,在整個導軌平面內,有磁感應強度大小為B的豎直向上的勻強磁場。導體棒與導軌始終垂直接觸良好且均可沿導軌無摩擦地滑行,開始時,兩棒均靜止,間距為x0,現(xiàn)給導體棒a一水平向右的初速度v0,并開始計時,可得到如圖4所示的Δv-t圖像(Δv表示兩棒的相對速度,即Δv=va-vb。

圖3

圖4

(1)試證明：在0～t2時間內,回路產生的焦耳熱Q與磁感應強度B無關。

(2)求t1時刻棒b的加速度大小。

(3)求t2時刻兩棒之間的距離。

【解析】(1)t2時刻開始,兩棒速度相等,由動量守恒定律有2mv=mv0

所以在0～t2時間內,回路產生的焦耳熱Q與磁感應強度B無關。

此時棒b所受的安培力F=BIL

由牛頓第二定律得棒b的加速度大小

0～t2時間內,對棒b,由動量守恒有

而ΔΦ=BΔS=BL(x-x0)

二、寬度恒定的導軌,兩棒有相反初速度

【問題情境】如圖5所示,光滑平行金屬導軌,兩根完全相同的金屬棒ab、cd(質量m、電阻R、長度l)導軌電阻不計。整個裝置處在豎直向下的強度為B的勻強磁場中,t=0時分別給ab、cd一個向右、向左的速度v1和v2,且v1>v2,試分析兩桿的運動、動量和能量變化過程(假設導軌足夠長,兩桿始終不相撞)。

圖5

圖6

圖7

【典例2】如圖所示,在水平面上有兩條足夠長的平行導電導軌MN、PQ,導軌間距離L=1.0 m,勻強磁場垂直于導軌所在的平面(紙面)向里,磁感應強度的大小為B=1.0 T,兩根導體棒a、b放置在導軌上,并與導軌垂直,它們的質量均為m=1 kg,電阻均為R=0.5 Ω,兩導體棒與導軌接觸良好,與導軌間的動摩擦因數(shù)均為μ=0.2。t=0時,分別給兩導體棒平行導軌向左和向右的速度,已知導體棒a的速度v1=2 m/s,導體棒b的速度v2=4 m/s,重力加速度g=10 m/s2,導軌電阻可忽略,最大靜摩擦力略大于滑動摩擦力。

(1)求t=0時刻,導體棒a的加速度;

(2)求當導體棒a向左運動的速度為零時,導體棒b的速率;

(3)已知導體棒a向左運動的速度為零后,b向右運動s=0.35 m速度變?yōu)榱?求該過程經歷的時間t和導體棒b產生的焦耳熱。

【答案】(1)8 m/s2,方向水平向右 (2)2 m/s

(3)0.825 s,0.65 J

【解析】(1)t=0時刻,兩導體棒和導軌構成回路,回路中的總電動勢為

E=BL(v1+v2)=6 V

根據(jù)閉合電路歐姆定律可知回路中的電流為

對導體棒a,根據(jù)牛頓第二定律可得

BIL+μmg=ma

解得a=8 m/s2

t=0時刻,導體棒a的加速度大小為8 m/s2,方向水平向右。

(2)在導體棒a、b運動時,兩導體棒受到的摩擦力大小相等,方向相反,根據(jù)左手定則可知兩導體棒受到的安培力也等大反向,兩導體棒組成的系統(tǒng)合力為零,滿足動量守恒,以向右為正方向,當導體棒a向左運動的速度為零時,根據(jù)動量守恒可得mv2-mv1=mv3

解得導體棒b的速率為v3=2 m/s

(3)導體棒b的速率為v3=2 m/s時,回路的感應電動勢為E′=BLv3=2 V

導體棒a受到的安培力為

由題意最大靜摩擦力略大于滑動摩擦力,則有

fmax>μmg=2 N

可知導體棒a的速度為零后,不再運動,從導體棒a的速度為零至導體棒b的速度為零的過程,導體棒b受到的安培力沖量為

對導體棒b根據(jù)動量定理可得

解得t=0.825 s

解得Q=0.65 J

三、寬度不同的導軌,一棒有初速度、一棒沒有初速度

【問題情境】如圖8所示,光滑平行金屬導軌,左端導軌寬度為l,右端導軌寬度是左端寬度的一半,兩根完全相同的金屬棒ab、cd(質量m、電阻R、長度l)導軌電阻不計。整個裝置處在豎直向下的強度為B的勻強磁場中,t=0時給ab一個向右的速度v0,試分析兩桿的運動、動量和能量變化過程(假設導軌足夠長,兩桿始終不相撞,且始終在導軌上)。

圖8

圖9

圖10

(1)MN棒運動到導軌ab、ef的最右端時,MN棒的速度大小;

(2)回路中電流再次為零時,PQ棒最終產生的總熱量。

【解析】(1)MN棒從開始至運動到導軌ab、ef的最右端時,對于MN,根據(jù)動量定理有

-BI·2l·t=2mv1-2m·2v0

對于PQ,根據(jù)動量定理有BI·l·t=mv2-0

由于MN棒運動到導軌ab、ef的最右端時,回路中電流恰好為零,此時有v2=2v1

(2)當MN棒運動到導軌ab、ef的最右端時,系統(tǒng)產生的總熱量為

在這個過程中PQ棒產生的熱量為

當MN棒運動到cd、gh導軌上至電流再次為零時,MN、PQ棒的速度相等,根據(jù)動量守恒定律有mv1+mv2=2mv

此過程系統(tǒng)產生的熱量為

在這個過程中PQ棒產生的熱量為

PQ棒最終產生的總熱量為Q總=Q1+Q2

四、總結