霍普金森壓桿整形器模型

苗飛超, 張向榮, 李東偉, 江濤, 周霖

(1.安徽理工大學(xué) 化學(xué)工程學(xué)院, 安徽 淮南 232001; 2.北京理工大學(xué) 機(jī)電學(xué)院, 北京 100081;3.重慶紅宇精密工業(yè)集團(tuán)有限公司, 重慶 402760)

0 引言

霍普金森桿廣泛應(yīng)用于測(cè)試材料在高應(yīng)變率條件下的力學(xué)性能。當(dāng)采用霍普金森桿對(duì)試樣進(jìn)行測(cè)試時(shí),試樣應(yīng)處于應(yīng)力平衡和常應(yīng)變率狀態(tài)。然而,在采用傳統(tǒng)的霍普金森桿對(duì)炸藥材料進(jìn)行測(cè)試時(shí),試樣兩端很難達(dá)到應(yīng)力平衡[1]。這主要是因?yàn)檎ㄋ帉儆跍?zhǔn)脆性材料,其失效應(yīng)變很小,可能在材料失效時(shí)還未達(dá)到應(yīng)力平衡狀態(tài)。此外,常應(yīng)變率狀態(tài)要比動(dòng)態(tài)應(yīng)力平衡更難實(shí)現(xiàn)。采用霍普金森桿對(duì)炸藥材料進(jìn)行測(cè)試時(shí),斜坡型的入射波是合適的,因此需要對(duì)傳統(tǒng)的霍普金森桿產(chǎn)生的矩形波進(jìn)行整形。三桿技術(shù)[2]、異型子彈[3]和整形器[4]都可以對(duì)入射波波形進(jìn)行調(diào)整。在入射桿和子彈之間添加整形器是最簡(jiǎn)單、實(shí)用的入射波整形方法。整形器的塑性變形能夠增加入射波的應(yīng)力上升時(shí)間,有利于實(shí)現(xiàn)應(yīng)力平衡和常應(yīng)變率。

采用整形器調(diào)整入射波波形的試驗(yàn)方法已經(jīng)成功應(yīng)用于測(cè)試金屬、橡膠和混凝土等多種類型材料[5-7]。整形器不僅應(yīng)用于傳統(tǒng)的霍普金森壓桿(SHPB),還應(yīng)用于霍普金森拉桿[8]裝置,用來測(cè)試材料的動(dòng)態(tài)拉伸性能以及控制入射波卸載段的波形[9]。整形器的材料要根據(jù)待測(cè)試樣的力學(xué)性能選擇,銅具有優(yōu)良的延展性,是最常用的整形器材料[10]。在某些特殊情況下,還會(huì)采用兩種不同材料整形器組合形成的復(fù)合整形器[11]。整形器增加了入射波的上升時(shí)間,使得試樣兩端應(yīng)力平衡變得簡(jiǎn)單,然而實(shí)現(xiàn)常應(yīng)變率要相對(duì)困難。為實(shí)現(xiàn)常應(yīng)變率,需要合理設(shè)計(jì)試驗(yàn)條件如整形器材料和尺寸以及子彈的速度和長(zhǎng)度。LS-DYNA和Abaqus等商業(yè)軟件也被應(yīng)用于研究整形器對(duì)入射波波形的影響[12-14]。然而,采用數(shù)值模擬的方法進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí),需要知道待測(cè)試樣的力學(xué)性能,這正是需要試驗(yàn)測(cè)量的。因此,依然需要采用試錯(cuò)法對(duì)待測(cè)試樣進(jìn)行試驗(yàn),以確定合適的試驗(yàn)條件。

Nemat-Nasser等[15]基于一維應(yīng)力波理論首次建立了整形器理論模型,模型假設(shè)整形器是塑性不可壓縮的,在變形過程中處于應(yīng)力平衡狀態(tài),并采用冪律型響應(yīng)函數(shù)描述整形器的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,預(yù)測(cè)了整形器變形對(duì)入射波波形的影響,計(jì)算值與試驗(yàn)值吻合較好。Frew等[16]進(jìn)一步考慮了整形器的大變形和彈性卸載,使得模型可以預(yù)測(cè)更加真實(shí)試驗(yàn)條件下的入射波波形。但是,采用模型預(yù)測(cè)需要給定整形器卸載發(fā)生的階段。整形器在不同階段卸載,控制方程也有所不同。然而,在進(jìn)行計(jì)算之前并不知道整形器的卸載時(shí)間。因此,Nemat-Nasser模型和Frew模型擴(kuò)展到雙整形器時(shí),不能預(yù)測(cè)整形器卸載段的變形情況[17],也就得不到完整的入射波波形。在入射桿撞擊端粘貼整形器后,相同長(zhǎng)度的子彈產(chǎn)生的入射波長(zhǎng)度增加,粘貼在桿中部的應(yīng)變片記錄的入射波和反射波信號(hào)可能發(fā)生疊加。因此,預(yù)測(cè)完整的入射波波形可以避免信號(hào)疊加的發(fā)生,對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的有效性至關(guān)重要。

本文基于應(yīng)力波理論分析一維應(yīng)力波在子彈-整形器-入射桿中的傳播過程,充分利用波的疊加原理構(gòu)建整形器變形控制方程,據(jù)此建立能夠預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)完整入射波波形的整形器模型。采用T2純銅作為整形器材料,開展SHPB試驗(yàn)和整形器試驗(yàn),標(biāo)定T2純銅在一維應(yīng)力狀態(tài)下的本構(gòu)模型。通過對(duì)比模型預(yù)測(cè)值和試驗(yàn)值驗(yàn)證模型的可行性和預(yù)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性。

1 整形器模型

1.1 單整形器

采用Nemat-Nasser等[15]和Frew等[16-17]的假設(shè),認(rèn)為整形器是塑性不可壓縮的,并且在變形過程中處于應(yīng)力平衡狀態(tài),則有

(1)

(2)

式中:a0和a分別為整形器初始時(shí)刻和當(dāng)前時(shí)刻的橫截面積;eps(t)為工程應(yīng)變;σin、σst、σps分別為入射桿、子彈和整形器的應(yīng)力(壓正拉負(fù));A為霍普金森桿的橫截面積。整形器的應(yīng)力σps是工程應(yīng)變eps的函數(shù),因此式(1)和式(2)建立了σin和eps的關(guān)系。整形器的工程應(yīng)變率為

(3)

式中:h0為整形器初始厚度;v3和v4分別為子彈/整形器界面和整形器/入射桿界面質(zhì)點(diǎn)3和質(zhì)點(diǎn)4的速度(見圖1),可以通過對(duì)應(yīng)力波的傳播過程進(jìn)行分析得到,從而進(jìn)一步得到入射波σin。圖1中,1、2、3和4分別為子彈左側(cè)界面、入射桿右側(cè)界面、子彈/整形器界面和整形器/入射桿界面。

圖1 單整形器示意圖

1.2 波傳播過程分析

整形器的厚度遠(yuǎn)小于子彈和入射桿的長(zhǎng)度,而且銅的聲速較高,波在其中的傳播時(shí)間較短,可以認(rèn)為整形器兩端應(yīng)力平衡,因此應(yīng)力波在整形器中的具體傳播過程可以不用考慮[16]。子彈以速度v0撞擊粘貼在入射桿撞擊端的整形器上,產(chǎn)生幅值相同、方向相反的壓縮波,傳入子彈和入射桿中。傳入子彈中的壓縮波在子彈自由面處反射一個(gè)拉伸波,向子彈撞擊端傳播。由于整形器為彈塑性材料,而且在變形過程中其橫截面積逐漸變大,傳入子彈的壓縮波并非矩形波,進(jìn)而子彈撞擊端反射的拉伸波并不能將子彈中的應(yīng)力卸載至0 MPa。

圖2 應(yīng)力波在子彈-整形器-入射桿中的傳播過程示意圖

相鄰兩次反射的時(shí)間間隔τ=2Lst/cb,其中Lst為子彈長(zhǎng)度,cb為霍普金森桿的聲速。子彈和入射桿均為線彈性的,則在[nτ,(n+1)τ]時(shí)間段,對(duì)應(yīng)力和質(zhì)點(diǎn)速度增量應(yīng)用疊加原理,可得

(4)

(5)

(6)

(7)

動(dòng)態(tài)連續(xù)性條件[18]給出Δσ=±ρbcbΔv,ρb為霍普金森桿的密度,負(fù)號(hào)表示左行波,Δv為質(zhì)點(diǎn)速度增量。利用動(dòng)態(tài)連續(xù)性條件以及式(5),可以將式(6)和式(7)改寫為

(8)

(9)

至此已經(jīng)得到了v3和v4的表達(dá)式(式(8)和式(9)),將其代入式(3)中,就可以得到整形器應(yīng)變率

(10)

(11)

等號(hào)右側(cè)第2項(xiàng)可以按照式(11)格式展開如下:

(12)

然后,將式(12)代入式(11)中,得

(13)

重復(fù)以上兩個(gè)步驟,直至式(11)等號(hào)右側(cè)第2項(xiàng)消去,最終得到

(14)

最后,將式(14)、式(1)和式(2)代入式(10)中,得到整形器工程應(yīng)變的表達(dá)式:

(15)

式中:整形器應(yīng)力σps是整形器工程應(yīng)變eps函數(shù),則求解此常微分方程就可以得到eps。進(jìn)而可以根據(jù)式(1)和式(2)得到入射波波形σin(t)。

在以上入射波波形表達(dá)式的推導(dǎo)過程中只用到了應(yīng)力波基本原理。這些基本原理在一維應(yīng)力條件下普遍成立,不會(huì)因?yàn)檎纹魈幱诩虞d階段還是卸載階段而有所改變。因此,由式(15)、式(1)和式(2)可以計(jì)算得到包含加載段和卸載段的完整入射波,而不必像Nemat-Nasser等[15]和Frew等[16]的模型一樣對(duì)卸載段單獨(dú)處理,而且在不同階段卸載對(duì)應(yīng)不同的公式。在雙整形器和多整形器情況下,這種優(yōu)點(diǎn)體現(xiàn)得更加明顯。

1.3 雙整形器和多整形器

對(duì)脆性材料而言,合理地調(diào)整整形器尺寸和其他試驗(yàn)條件,可以使試樣處于應(yīng)力平衡和常應(yīng)變率狀態(tài)。但是,當(dāng)待測(cè)試樣為金屬材料時(shí)需要兩個(gè)整形器[19]。兩個(gè)整形器一般采用兩種不同的材料,其中一種材料強(qiáng)度較高如鋼,另一種材料強(qiáng)度相對(duì)較低如銅。兩個(gè)整形器用一個(gè)可以近似為剛體的高強(qiáng)度、高硬度的金屬圓片隔開。兩個(gè)整形器和金屬片的相對(duì)位置如圖3所示。圖3中,3、4、5和6分別為子彈/整形器1界面、整形器1/金屬圓片界面、金屬圓片/整形器2界面和整形器2/入射桿界面。

圖3 雙整形器示意圖

兩個(gè)整形器的工程應(yīng)變率表達(dá)式為

(16)

(17)

式中:上標(biāo)1和2表示整形器編號(hào);v5(t)和v6(t)分別為金屬圓片/整形器2界面和整形器2/入射桿界面的質(zhì)點(diǎn)速度。隔開兩個(gè)整形器的金屬圓片硬度高、強(qiáng)度高,可以將其作為剛體處理,則金屬圓片兩端質(zhì)點(diǎn)速度相同,即v4(t)=v5(t)。將此式代入式(16)和式(17)中,得

(18)

式中等號(hào)右側(cè)的質(zhì)點(diǎn)速度項(xiàng)可以按照1.1節(jié)的方法消去,消去此項(xiàng)后的表達(dá)式為

(19)

(20)

以上雙整形器的推導(dǎo)過程很容易擴(kuò)展到多個(gè)整形器的情形。類似于式(19)和式(20),多整形器的控制方程為

(21)

式中:M為整形器個(gè)數(shù)。為方便求解式(21),開發(fā)了多整形器(MPS)代碼。MPS采用輸入文件的形式,將桿件信息和整形器的材料特性輸入到文件中。

2 SHPB與整形器試驗(yàn)

為采用整形器模型對(duì)入射波波形進(jìn)行預(yù)測(cè),首先需要知道整形器的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。在一維應(yīng)力狀態(tài)下,可以采用簡(jiǎn)單的冪函數(shù)表達(dá)式

(22)

描述整形器的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。式中:εen為工程應(yīng)變;σ0、n和m均為待標(biāo)定參數(shù)。

為得到T2純銅的真應(yīng)力-工程應(yīng)變關(guān)系,對(duì)T2純銅樣品進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)SHPB試驗(yàn),并對(duì)不同尺寸的T2純銅進(jìn)行整形器試驗(yàn)。試驗(yàn)在重慶紅宇精密工業(yè)集團(tuán)有限公司動(dòng)態(tài)加載實(shí)驗(yàn)室完成。試驗(yàn)采用鋼桿對(duì)T2純銅進(jìn)行測(cè)試,使得T2純銅應(yīng)變盡可能大,進(jìn)而擴(kuò)展整形器的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的適用范圍,提高整形器的預(yù)測(cè)能力。SHPB的桿件材料參數(shù)如表1所示。SHPB試驗(yàn)采用的樣品尺寸分別為φ5.0 mm×2.5 mm和φ5.0 mm×5.0 mm,相應(yīng)的應(yīng)變率分別為5 000 s-1和3 500 s-1,試驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。

表1 桿件材料參數(shù)

圖4 T2純銅的真應(yīng)力-工程應(yīng)變關(guān)系

整形器試驗(yàn)給出每次試驗(yàn)整形器的峰值應(yīng)力和峰值應(yīng)變。由式(1)和式(2)可知,整形器中的峰值應(yīng)力可以由應(yīng)變片記錄的入射桿的峰值應(yīng)力計(jì)算。

整形器的峰值應(yīng)變則不能直接測(cè)量。但是整形器由峰值應(yīng)力減小到0 MPa的過程中,整形器彈性卸載,相應(yīng)的變形可以忽略。計(jì)算時(shí)取T2純銅的彈性模量為100 GPa,在試驗(yàn)的應(yīng)力范圍內(nèi)忽略彈性卸載變形導(dǎo)致的誤差小于2%。因此,在試驗(yàn)后回收整形器測(cè)量其尺寸就可以計(jì)算峰值應(yīng)變。每發(fā)試驗(yàn)可以得到1個(gè)試驗(yàn)點(diǎn),針對(duì)T2純銅進(jìn)行了多發(fā)試驗(yàn),試驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。

對(duì)圖4中T2純銅的SHPB和整形器試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行標(biāo)定,標(biāo)定的參數(shù)為σ0=435.6 MPa,n=0.113 8,m=3.447。參數(shù)標(biāo)定完畢后,可以采用模型對(duì)子彈撞擊整形器所產(chǎn)生的入射波進(jìn)行預(yù)測(cè)。圖5 計(jì)算了兩種不同工況下的入射波波形并與相應(yīng)試驗(yàn)波形進(jìn)行了對(duì)比。試驗(yàn)采用鋼桿,子彈長(zhǎng)度為200 mm。兩種工況下子彈速度和整形器尺寸分別為:工況1,子彈速度8.03 m/s,整形器尺寸φ3.0 mm×1.6 mm;工況2,子彈速度9.48 m/s,整形器尺寸φ5.0 mm×2.5 mm。由圖5可以看出,兩種工況條件下,模型預(yù)測(cè)的入射波峰值點(diǎn)和卸載點(diǎn)等特征點(diǎn)均與測(cè)量值的偏差較小,入射波波形與試驗(yàn)測(cè)量波形整體吻合較好,驗(yàn)證了整形器模型的可行性和整形器應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系參數(shù)標(biāo)定的準(zhǔn)確性。

圖5 兩種不同工況下MPS計(jì)算值與試驗(yàn)值對(duì)比

為了分析子彈撞擊過程中整形器的變形特性,圖6給出了工況1條件下200 mm鋼桿撞擊整形器時(shí),整形器兩個(gè)端面的質(zhì)點(diǎn)速度和工程應(yīng)變隨時(shí)間的變化情況。由圖6可見:子彈撞擊整形器后,v3>v4,故整形器開始發(fā)生壓縮變形,應(yīng)變?cè)黾拥耐瑫r(shí)應(yīng)力也在增加,波在子彈中傳播一個(gè)來回的時(shí)間τ=80 μs;當(dāng)t≈3τ時(shí),v3>v4整形器應(yīng)變開始減小,應(yīng)力開始逐漸卸載到0 MPa;從應(yīng)變最高點(diǎn)到整形器完全卸載,應(yīng)變變化為1.28%,表明以上采用回收整形器的應(yīng)變代替峰值應(yīng)變是可行的。

圖6 整形器變形程度隨時(shí)間的變化

此外,圖6也體現(xiàn)了建立整形器模型的必要性。若采用常規(guī)的SHPB,即沒有添加整形器,則由應(yīng)力波理論可知入射波的波長(zhǎng)應(yīng)為τ。添加整形器后,入射波波長(zhǎng)明顯增加。由τ=2Lst/cb可知,若子彈長(zhǎng)度Lst較大,則添加整形器后,粘貼在桿中部的應(yīng)變片記錄的入射波和反射波信號(hào)可能發(fā)生疊加。因此,預(yù)測(cè)完整的入射波波形可以避免信號(hào)疊加的發(fā)生,為整形器設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)。

為進(jìn)一步驗(yàn)證整形器模型的適用性,圖7采用MPS對(duì)Frew等[17]的銅/鋼雙整形器試驗(yàn)進(jìn)行了預(yù)測(cè),詳細(xì)的試驗(yàn)條件參見文獻(xiàn)[17]。圖7表明,MPS和Frew模型的計(jì)算值均與試驗(yàn)值吻合較好,但是Frew模型只能預(yù)測(cè)加載段,而MPS可以預(yù)測(cè)包含卸載段在內(nèi)的完整的入射波波形。由于Frew模型不能預(yù)測(cè)卸載段,文獻(xiàn)[17]中并未給出整形器材料的彈性模量。圖7計(jì)算時(shí)銅和鋼在卸載時(shí)的彈性模量分別為100 GPa和200 GPa。銅/鋼雙整形器在試驗(yàn)過程中的變形特性與單個(gè)整形器相比更加復(fù)雜。

圖7 雙整形器時(shí)MPS計(jì)算值與試驗(yàn)值[17]對(duì)比

圖8給出了在圖7(a)工況下兩個(gè)整形器端面的質(zhì)點(diǎn)速度隨時(shí)間的變化情況。質(zhì)點(diǎn)v4=v5速度(詳見1.2節(jié)),故圖8中v4和v5位于同一條曲線。結(jié)合式(16)和式(17)可知,整形器的應(yīng)變與兩端質(zhì)點(diǎn)速度所圍成的面積呈正比關(guān)系。銅的強(qiáng)度小于鋼,因此子彈撞擊整形器后,銅整形器開始產(chǎn)生塑性變形,而鋼整形器兩端的質(zhì)點(diǎn)速度相差極小,處于彈性變形階段。隨著應(yīng)力的不斷增加,在t=83 μs時(shí)鋼整形器開始發(fā)生塑性變形,此時(shí)銅整形器的工程應(yīng)變已經(jīng)達(dá)到了89%。此后,應(yīng)力增加的幅度開始減小(見圖7(a)),鋼整形器的應(yīng)變開始大幅增加,而銅整形器的應(yīng)變盡管也在增加,但是增加的幅值不超過2%。波在子彈中傳播一個(gè)來回后,即t>τ=123.2 μs時(shí)整形器仍處于加載階段,直至t=198.8 μs兩個(gè)整形器均開始卸載。當(dāng)應(yīng)力完全卸載后,銅和鋼整形器的工程應(yīng)變分別為89.5%和4.8%。通過以上分析可知,采用兩種不同材料作為整形器時(shí),入射波波形的初始階段主要由強(qiáng)度低的整形器控制,當(dāng)強(qiáng)度高的整形器開始發(fā)生塑性變形后,則由其控制入射波波形。

圖8 銅/鋼雙整形器端面質(zhì)點(diǎn)速度隨時(shí)間的變化

3 結(jié)論

1) 通過分析一維應(yīng)力波在子彈-整形器-入射桿中的傳播過程,發(fā)現(xiàn)充分利用波的疊加原理可以得到整形器加載-卸載的統(tǒng)一控制方程,據(jù)此建立了整形器模型,實(shí)現(xiàn)了整形器彈性加載-塑性加載-彈性卸載的自動(dòng)轉(zhuǎn)換,使模型具備預(yù)測(cè)包含卸載段在內(nèi)的完整的入射波波形的能力。

3) 采用整形器模型預(yù)測(cè)了單整形器和雙整形器試驗(yàn)的入射波波形,結(jié)果表明模型預(yù)測(cè)的入射波峰值點(diǎn)和卸載點(diǎn)等特征點(diǎn)均與試驗(yàn)值的偏差較小,入射波波形與試驗(yàn)測(cè)量波形整體吻合較好,驗(yàn)證了整形器模型的可行性和整形器應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系參數(shù)標(biāo)定的準(zhǔn)確性。