主結(jié)構(gòu)阻尼對(duì)TMD最佳設(shè)計(jì)的影響研究

陳世錦，劉 洋

(廣州市城市規(guī)劃勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院,廣東 廣州 510060)

隨著建筑對(duì)造型的高要求、輕質(zhì)高強(qiáng)材料的應(yīng)用,結(jié)構(gòu)體系向著大懸挑、大跨度、更輕柔的方向發(fā)展,而結(jié)構(gòu)體系的振動(dòng)舒適度問題也愈加突出。優(yōu)化結(jié)構(gòu)體系本身難以改善振動(dòng)不滿足要求的問題時(shí),引入外部的振動(dòng)控制系統(tǒng)可成為解決振動(dòng)控制難題的一種方法,其中被動(dòng)控制系統(tǒng)因?yàn)榻?jīng)濟(jì)性良好而得到廣泛的應(yīng)用。本文針對(duì)被動(dòng)控制中的調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(TMD)系統(tǒng)的特性和設(shè)計(jì)進(jìn)行了討論研究,以便其在實(shí)際的工程中應(yīng)用。

1 調(diào)諧質(zhì)量阻尼器

1.1 無阻尼主結(jié)構(gòu)

調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(TMD)系統(tǒng)由主結(jié)構(gòu)以及附加的子結(jié)構(gòu)組成,子結(jié)構(gòu)由質(zhì)量塊、彈簧和阻尼器組成。通過調(diào)節(jié)質(zhì)量塊的質(zhì)量大小以及彈簧剛度可改變子結(jié)構(gòu)的自振頻率,從而使其與主結(jié)構(gòu)的基本頻率或者激勵(lì)頻率接近。在外荷載激勵(lì)作用下,主結(jié)構(gòu)振動(dòng)時(shí),子結(jié)構(gòu)會(huì)產(chǎn)生一個(gè)與主結(jié)構(gòu)振動(dòng)方向相反的慣性力并作用在主結(jié)構(gòu)上,使主結(jié)構(gòu)的振動(dòng)反應(yīng)衰減而受到控制,從而起到減振的作用。TMD的力學(xué)模型如圖1所示。

圖1中M為主結(jié)構(gòu)的質(zhì)量;C為主結(jié)構(gòu)的阻尼;K為主結(jié)構(gòu)的剛度;md為子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量;cd為子結(jié)構(gòu)的阻尼;kd為子結(jié)構(gòu)的剛度;x為主結(jié)構(gòu)的位移;xd為子結(jié)構(gòu)的位移,P(t)為外激勵(lì)荷載,簡(jiǎn)諧激勵(lì)時(shí)P(t)=p(t)sinω1t。當(dāng)不考慮主結(jié)構(gòu)的阻尼時(shí),根據(jù)力學(xué)平衡可得:

(1)

(2)

設(shè)定子結(jié)構(gòu)的阻尼比:

(3)

(4)

其中,A=(h2-f2)2,B=(2hf)2,C=[μf2h2-(h2-1)(2hf)2(h2-f2)]2,D=(2hf)2(h2-1+μh2)2。

1.2 有阻尼主結(jié)構(gòu)

當(dāng)主結(jié)構(gòu)有阻尼時(shí),同樣可以建立β的公式:

(5)

其中,A1=(h2-f2)2,B1=(2hf)2,C1=[μf2h2-(h2-1)(2hf)2(h2-f2)+4ξdξfh2]2,D1=[2ξdhf(h2-1+μh2)-2ξh(f2-h2)]2。相對(duì)于式(4),式(5)的分子不變,但分母出現(xiàn)了與主結(jié)構(gòu)阻尼ξ相關(guān)的修正項(xiàng)。

2 TMD的最佳設(shè)計(jì)

2.1 定點(diǎn)理論

定點(diǎn)理論廣泛用于減振器的最佳(最優(yōu))設(shè)計(jì)中,由Den Hartog等提出[2]。定點(diǎn)理論就是在含有阻尼的振動(dòng)系統(tǒng)頻率響應(yīng)曲線上,確定與阻尼比ξd無關(guān)的特殊點(diǎn),并利用其進(jìn)行減振器的設(shè)計(jì)。對(duì)于TMD,如圖2所示,當(dāng)質(zhì)量比μ一定時(shí),動(dòng)力放大系數(shù)β曲線均經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)P和Q,并與阻尼比ξd無關(guān)。

在含減振器的振動(dòng)系統(tǒng)中,以α表示含阻尼ξd的系數(shù),頻率傳遞函數(shù)(動(dòng)力放大系數(shù))可表示為[3]:

(6)

其中,A(ω),C(ω)和B(ω),D(ω)分別是不含和含α并以頻率ω為函數(shù)的系數(shù)項(xiàng)。為方便求解,可利用曲線經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)的特性,如利用α=0,α=1,α=∞等特殊點(diǎn)進(jìn)行求解。利用G(ω)α=∞=G(ω)α=任意值,可得式(7),進(jìn)一步可得到式(8):

(7)

(8)

這兩個(gè)定點(diǎn)P和Q隨著質(zhì)量比不斷變化,有著“此起彼伏”的規(guī)律,當(dāng)兩個(gè)定點(diǎn)的高度保持一致時(shí),就具備了這兩個(gè)定點(diǎn)是最大值的條件。

2.2 TMD的最佳設(shè)計(jì)

f=ωd/ω=1/(1+μ)

(9)

(10)

(11)

需要注意的是,以上的推導(dǎo)中,阻尼比ξd為式(3),若采用式(12),則可得最佳阻尼比以及動(dòng)力放大系數(shù)分別為式(13)和式(14)[4]。這兩種阻尼系數(shù)在工程實(shí)踐和文獻(xiàn)中均有使用,很容易混淆,需要特別注意。

(12)

(13)

(14)

由式(9)—式(11)可知,最優(yōu)解時(shí)的ξd,f,β均是質(zhì)量比μ的函數(shù),此時(shí)的減振效果由μ決定。式(11)所表示的關(guān)系曲線如圖3所示。

由圖3可知,最優(yōu)解時(shí)的動(dòng)力放大系數(shù)β隨著質(zhì)量比μ的增大而減小,且遞減的速率也越來越小。當(dāng)μ=1%時(shí),β=14.18;當(dāng)μ=5%時(shí),β=6.40;當(dāng)μ=10%時(shí),β=4.58。當(dāng)μ>1%時(shí),β的遞減速率明顯減小,當(dāng)μ>5%時(shí),β的遞減速率變化不大。μ取值過大會(huì)增加結(jié)構(gòu)體系的自重而影響承載力,且減振效率小,整體效益不高,因此工程中一般可取μ=1%～5%。圖4展示了在不同μ情況下,最優(yōu)解時(shí)的β隨著頻率比h的變化曲線,圖中同樣展示了β隨著μ變化而變化的趨勢(shì),此時(shí)P和Q點(diǎn)等高。

在給定了每個(gè)TMD的質(zhì)量md之后,即確定μ之后,利用最佳設(shè)計(jì)參數(shù)f和ξd值,可以得到阻尼器的最佳阻尼cd和最佳剛度kd:

cd=2ωdmdξd=2ωfμMξd

(15)

(16)

2.3 考慮主結(jié)構(gòu)阻尼后的TMD最佳設(shè)計(jì)

當(dāng)主結(jié)構(gòu)有阻尼時(shí),定點(diǎn)理論不再適用,像無阻尼結(jié)構(gòu)情況下的不變點(diǎn)P和Q不再存在,因此必須借助數(shù)值方法確定最佳值f和ξd。如式(5)所示,β的公式具有含結(jié)構(gòu)阻尼比ξ的修正項(xiàng),因此考慮了主結(jié)構(gòu)阻尼后,除非有經(jīng)驗(yàn)的擬合公式,進(jìn)行TMD的設(shè)計(jì)會(huì)比較麻煩,因?yàn)樾枨蠼夥蔷€性方程,要確定TMD的最優(yōu)參數(shù)變得更加困難?？紤]這個(gè)修正項(xiàng)的影響有多大,若其影響大則需要建立TMD最優(yōu)剛度和阻尼的經(jīng)驗(yàn)公式,反之可以按無阻尼主結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行設(shè)計(jì),此時(shí)也能取得不錯(cuò)的設(shè)計(jì)效果,提高設(shè)計(jì)的效率。根據(jù)式(4)和式(5),可得圖5所示的曲線。

由圖5可知,當(dāng)主結(jié)構(gòu)存在阻尼時(shí),動(dòng)力放大系數(shù)曲線的兩個(gè)峰值大小不一致,結(jié)構(gòu)阻尼比越大,差距越明顯,且由于結(jié)構(gòu)阻尼的存在,β的峰值比無阻尼時(shí)的大。因此,主結(jié)構(gòu)阻尼削弱了TMD的最大減振效果。一般樓板舒適度分析的結(jié)構(gòu)阻尼比取2%～5%[5],這個(gè)范圍內(nèi)主結(jié)構(gòu)有阻尼與無阻尼時(shí)β的差值如圖6所示,圖中以有阻尼的情況為基準(zhǔn)。

由6可知,按主結(jié)構(gòu)無阻尼最優(yōu)參數(shù)計(jì)算時(shí),隨著結(jié)構(gòu)阻尼的增大,誤差越來越大,但隨著質(zhì)量比的增大,誤差越來越小。也就是說,削弱作用隨著主結(jié)構(gòu)阻尼的增大而更明顯,但可以通過增大質(zhì)量比的方法來對(duì)沖這種削弱作用。從概念上理解,作為一個(gè)整體系統(tǒng),當(dāng)TMD質(zhì)量比較大時(shí),即主結(jié)構(gòu)的質(zhì)量相對(duì)于TMD顯得更小,此時(shí)主結(jié)構(gòu)本身的特性對(duì)整體系統(tǒng)的影響會(huì)比較小。當(dāng)質(zhì)量比μ=0.05時(shí),曲線隨著阻尼比ξ的變化較為平緩,此時(shí)無論是減振效果還是計(jì)算誤差都能得到比較好的控制。對(duì)于常規(guī)的混凝土樓蓋,阻尼比ξ=0.05,此時(shí)的誤差為28.60%,而當(dāng)質(zhì)量比μ=0.10時(shí),誤差可減小到18.15%。

由于鋼結(jié)構(gòu)的阻尼比相比混凝土結(jié)構(gòu)的小,采用最佳參數(shù)的近似計(jì)算法可以降低所帶來的誤差。一般而言,常規(guī)的混凝土結(jié)構(gòu)(樓蓋)基本能夠滿足規(guī)范對(duì)于舒適度的要求,而鋼結(jié)構(gòu)具有輕質(zhì)高強(qiáng)的特性,往往振動(dòng)比較厲害,采用傳統(tǒng)的加大截面等方式以滿足振動(dòng)的要求,經(jīng)濟(jì)性不高,采用TMD來控制振動(dòng)往往能取得不錯(cuò)的效益。

綜合圖3,圖6的結(jié)果,在主結(jié)構(gòu)的阻尼比ξ一定時(shí),為解決誤差比較大的問題,有兩種解決辦法,一是將子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量比取為5%～10%,此時(shí)能綜合減振效果與誤差大小,進(jìn)一步可以以最佳設(shè)計(jì)參數(shù)為基準(zhǔn)進(jìn)行小范圍變動(dòng)取值試算,取最優(yōu)結(jié)果;另外可利用定點(diǎn)理論得到的理論公式進(jìn)行修正,如文獻(xiàn)[1][6]分別給出了最小加速度準(zhǔn)則下和最小振幅下的經(jīng)驗(yàn)公式,但計(jì)算較為復(fù)雜。

3 實(shí)例研究

現(xiàn)以一單非封閉連廊為案例進(jìn)行驗(yàn)證。連廊兩端采用牛腿承接,主梁為焊接矩形鋼管1 500×800×25×40,次梁為H型截面500×250×16×20,采用150 mm厚鋼筋桁架樓板,混凝土強(qiáng)度為C30,結(jié)構(gòu)平面布置圖如圖7所示。恒荷載取1.5 kN/m2,欄桿恒載取為2 kN/m,有效均布活荷載0.35 kN/m2,采用SAP2000軟件進(jìn)行分析。計(jì)算分析模型如圖8所示,連廊設(shè)計(jì)滿足現(xiàn)有規(guī)范的要求,包括應(yīng)力比和剛度。

分析時(shí)采用不同的子結(jié)構(gòu)阻尼,質(zhì)量比μ=0.05。質(zhì)量源采用荷載模式,TMD的模擬采用Link單元并在自由端施加荷載模擬質(zhì)量。在連廊跨中施加的激勵(lì)為P(t)=100sinω1t(kN),ω1與結(jié)構(gòu)ω相等。TMD的設(shè)計(jì)采用上述最佳公式進(jìn)行計(jì)算,計(jì)算子結(jié)構(gòu)質(zhì)量時(shí)考慮了第一振型的參與系數(shù)。最終得到如圖9所示的結(jié)果。

需要注意的是,案例模擬的結(jié)果是在h=1.0的條件下得到的,并不是β曲線的峰值,而是圖5中的“谷”值。由圖9可知,兩曲線有一定差異,但均傾斜向下,結(jié)構(gòu)阻尼ξ對(duì)動(dòng)力放大系數(shù)β的影響規(guī)律是一致的,即隨著結(jié)構(gòu)阻尼的增大,最佳設(shè)計(jì)時(shí)的β減小,從而印證了理論分析得到的結(jié)論。理論與數(shù)值模擬的結(jié)果有差異,可能是理論推導(dǎo)過程中以單質(zhì)點(diǎn)體系為基礎(chǔ),而實(shí)例中的模型為多質(zhì)點(diǎn)體系,且數(shù)值模擬本身具有一定誤差。

基于以上的實(shí)例,為了方便工程設(shè)計(jì),可以基于主結(jié)構(gòu)無阻尼最佳設(shè)計(jì)的計(jì)算公式,在最佳參數(shù)附近取值,如取值±(5%～10%)范圍,通過試算的方法取得一個(gè)能綜合減振效果、結(jié)構(gòu)承載力以及經(jīng)濟(jì)性的參數(shù),提高設(shè)計(jì)效率。

4 結(jié)論

針對(duì)TMD系統(tǒng),基于理論推導(dǎo)和數(shù)值模擬,通過對(duì)比考慮主結(jié)構(gòu)阻尼與否情況下的動(dòng)力放大系數(shù)研究結(jié)構(gòu)阻尼的影響,并通過對(duì)比最佳設(shè)計(jì)下的設(shè)計(jì)參數(shù)取值研究結(jié)構(gòu)阻尼對(duì)最佳設(shè)計(jì)的影響,得到以下結(jié)論:

1)不考慮主結(jié)構(gòu)阻尼時(shí),最佳設(shè)計(jì)時(shí)的動(dòng)力放大系數(shù)β隨著質(zhì)量比μ的增大而減小,且遞減的速度也越來越小。綜合考慮減振效果以及對(duì)結(jié)構(gòu)承載力的影響,μ可取1%～5%。2)主結(jié)構(gòu)阻尼對(duì)TMD的減振效果具有削弱作用,隨著阻尼的增大而增大,但可以通過增大質(zhì)量比來對(duì)沖這種削弱作用。3)考慮了主結(jié)構(gòu)的阻尼后,最佳設(shè)計(jì)的定點(diǎn)理論不再適用,采用無阻尼主結(jié)構(gòu)的TMD最佳計(jì)算公式進(jìn)行設(shè)計(jì)有一定的誤差,μ越小越明顯。綜合考慮減振效果、對(duì)結(jié)構(gòu)承載力的影響以及誤差大小,最終建議取μ=5%～10%。為提高設(shè)計(jì)效益,可對(duì)理論公式進(jìn)行修正,目前已有經(jīng)驗(yàn)公式,但計(jì)算較為復(fù)雜。為方便工程使用,也可以主結(jié)構(gòu)無阻尼的最優(yōu)參數(shù)為基礎(chǔ)進(jìn)行小范圍變動(dòng)取值試算,取最優(yōu)結(jié)果。