破解利器“三板斧”,參數(shù)方程最優(yōu)越

江蘇省高郵市第一中學(xué) 朱 燕

源于高中數(shù)學(xué)教材的數(shù)學(xué)思想方法與技巧策略是課堂教學(xué)與學(xué)習(xí)的關(guān)鍵,合理對比不同的數(shù)學(xué)思想方法與技巧策略之間的優(yōu)劣,正確區(qū)別并應(yīng)用優(yōu)越的技巧方法來破解問題,可以很大程度上減少數(shù)學(xué)運算,優(yōu)化解題過程,提升解題效益.

1 源于教材

(1)它到直線l的距離最小?最小距離是多少?

(2)它到直線l的距離最大?最大距離是多少?

解決此類涉及橢圓上的點到與橢圓相離的直線(直線與橢圓無公共點)的距離的最小距離與最大距離問題,常用的解法有切線平移法——數(shù)形結(jié)合、判別式法——代數(shù)方程、三角換元法——參數(shù)方程等技巧與方法.

2 習(xí)題破解

方法1：切線平移法——數(shù)形結(jié)合.

解析：由直線l的方程與橢圓的方程可知,直線l與橢圓無公共點.設(shè)直線m平行于直線l,則直線m的方程可以寫成4x-5y+t=0.

25x2+8tx+t2-225=0.

由判別式Δ=0,得64t2-4×25(t2-225)=0,解得t1=25或t2=-25.

數(shù)形結(jié)合,由圖1可知,當(dāng)t=25時,直線4x-5y+25=0與橢圓的公共點到直線l的距離最小,且最小距離為

圖1

當(dāng)t=-25時,直線4x-5y-25=0與橢圓的公共點到直線l的距離最大,且最大距離為

解后反思：切線平移法的本質(zhì)就是利用直線平移確定直線與曲線相切的位置,將橢圓上的點到直線的距離的最小值(或最大值)轉(zhuǎn)化為兩平行線間的距離問題來分析與求解.利用兩直線平行的性質(zhì)合理設(shè)置平行線方程,并通過直線與橢圓的方程聯(lián)立,借助判別式為零來確定對應(yīng)的參數(shù)值.數(shù)形結(jié)合分別求出不同場景下的參數(shù)值以及對應(yīng)的最值關(guān)系是破解問題的關(guān)鍵.

方法2：判別式法——代數(shù)方程.

因此,問題轉(zhuǎn)化為求代數(shù)式4x-5y的最小(大)值問題.

因為以上關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根,所以Δ= 64t2-4×25(t2-225)≥0,解得-25≤t≤25.

解后反思：判別式法的本質(zhì)就是將(解析)幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,通過整體化思維,引入?yún)?shù)并轉(zhuǎn)化對應(yīng)的直線與橢圓的方程之間的關(guān)系;利用函數(shù)與方程思想,結(jié)合代數(shù)方程的構(gòu)建,借助一元二次方程有實數(shù)根來合理構(gòu)建對應(yīng)的不等式達(dá)到確定對應(yīng)參數(shù)取值范圍的目的,結(jié)合參數(shù)的端點取值情況來確定對應(yīng)的最值.

方法3：三角換元法——參數(shù)方程.

解后反思：三角換元法的本質(zhì)就是依據(jù)曲線的參數(shù)方程的等價轉(zhuǎn)化,合理進(jìn)行三角換元并變形,將平面解析幾何問題并轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的三角函數(shù)問題;結(jié)合橢圓上的點到直線距離的確定,借助三角函數(shù)中的三角恒等變換公式,特別是輔助角公式的應(yīng)用,為利用三角函數(shù)的有界性來確定最值問題提供條件.借助平面解析幾何中圓錐曲線參數(shù)方程的三角換元,利用參數(shù)方程來處理此類問題,更加簡捷有效.

3 鏈接高考

涉及橢圓上的點到其他點、直線等的距離的最值問題,也是高考中常見的一類熱點問題.借助橢圓參數(shù)方程的構(gòu)建與轉(zhuǎn)化,將平面解析幾何問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的三角函數(shù)問題,結(jié)合三角函數(shù)來分析與處理,簡單快捷.

A.13 B.12 C.9 D.6

參考答案:C.

參考答案為:A.

高考真題4(2023年高考數(shù)學(xué)全國乙卷文科·11)已知實數(shù)x,y滿足x2+y2-4x-2y-4=0,則x-y的最大值是( ).

解析：由x2+y2-4x-2y-4=0,配方可得

(x-2)2+(y-1)2=9.

總評：引入圓的參數(shù)方程進(jìn)行三角換元,構(gòu)建對應(yīng)的三角函數(shù)關(guān)系式,利用三角函數(shù)的有界性來確定對應(yīng)的最值問題.參數(shù)方程背景下的三角換元法處理是破解圓錐曲線問題中比較常用的一類技巧方法,特別是將最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的相關(guān)問題來處理,更加有效.

4 教學(xué)啟示

4.1 方法總結(jié),技巧歸納

解決一些涉及圓錐曲線上的點所對應(yīng)的代數(shù)關(guān)系式的最值或取值范圍問題,常見的呈現(xiàn)方式有線段的長度、點到直線的距離、直接代數(shù)關(guān)系式等,常見的破解方法有切線平移法——數(shù)形結(jié)合、判別式法——代數(shù)方程、三角換元法——參數(shù)方程等.

特別地,可以巧妙引入圓錐曲線的參數(shù)方程,利用參數(shù)方程表示有時比用普通方程更簡捷方便,巧妙將(解析)幾何問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題,借助三角函數(shù)知識,靈活求解相應(yīng)的最值或取值范圍等問題.

4.2 回歸教材,挖掘內(nèi)涵

高中數(shù)學(xué)教材中的例(習(xí))題等,都是幾代教育與教研工作者在不同時代、不同崗位下智慧與教研的精華沉淀與傳承積累,具有良好的典型示范與引領(lǐng)作用.借助教材例(習(xí))題,充分挖掘基礎(chǔ)知識、基本內(nèi)涵,剖析知識的展示、應(yīng)用以及思維方法的技巧與綜合,延續(xù)良好的傳承與發(fā)展.

在平時數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)過程中,不要脫離高中數(shù)學(xué)教材,應(yīng)以教材為藍(lán)本,以本為本,全面吃準(zhǔn)吃透教材中的例(習(xí))題、探究、思考、閱讀等各方面的內(nèi)容,合理挖掘本源,為知識的理解與掌握、能力的鞏固與提升提供強(qiáng)有力的基礎(chǔ)與動力.