高中數(shù)學(xué)教學(xué)中化歸思想的有效應(yīng)用

福建省閩侯縣第一中學(xué) 張 平

新課標強調(diào),數(shù)學(xué)思想是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的“四基”之一,是培育學(xué)生核心素養(yǎng)的重要依據(jù),也是增強解決數(shù)學(xué)問題能力的有效途徑,其中,化歸思想形式簡單、容易理解,具有重要的應(yīng)用價值.

1 化歸思想及其應(yīng)用價值分析

“化歸思想”是轉(zhuǎn)化思想與歸納思想的統(tǒng)稱,也是一種高效的數(shù)學(xué)解題思維方法.從數(shù)學(xué)教學(xué)實踐維度看,化歸思想的運用表現(xiàn)為“問題轉(zhuǎn)化與歸納”上,即針對一個難度較大的問題A,通過轉(zhuǎn)化為相對容易解決的問題B,在求出問題B的過程中掌握方法,形成經(jīng)驗,再還原到問題A的解決上.當然,從問題A到問題B的轉(zhuǎn)化過程,以及從問題B到問題A的還原過程,是可以經(jīng)歷多重步驟的,如圖1所示.

圖1 化歸思想應(yīng)用示意圖

數(shù)學(xué)化歸思想的應(yīng)用價值主要體現(xiàn)在三個方面.

1.1 從復(fù)雜到簡單的化歸

數(shù)學(xué)化歸思想最顯著的價值就是“化復(fù)雜為簡單”,其具體方法很多,如“抽象變具象”“個性變標準”“數(shù)變形或形變數(shù)”“高層次變低層次”等.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)用過程中,從復(fù)雜到簡單的化歸要保持靈活性原則,避免學(xué)生陷入思維定式,否則就違悖了化歸思想應(yīng)用的初衷.具體來說,可以將逆向思維、降階思維等滲透到“從復(fù)雜到簡單的化歸”中去.

例如,在一平面直角坐標系內(nèi)存在三條拋物線,y=x2+4ax-4a+3,y=x2+2ax-2a和y=x2+(a-1)+a2,其中至少有一條拋物線與x軸存在公共點,求實數(shù)a的取值范圍.

結(jié)合題意分析,“與x軸存在公共點”意味著三個方程的判別式至少有一個應(yīng)大于等于0.采用正向思維解答,需要分類判斷判別式大于等于0的情況,不難看出計算量很大;結(jié)合化歸思想與逆向思維分析,只需要考慮三條拋物線都和x軸不存在公共點的情況即可,即正確答案就是三個判別式“均小于0情況”的補集.

1.2 從隱含到已知的化歸

進入高中之后,數(shù)學(xué)課程所表現(xiàn)出的抽象性特點更強烈,在許多問題的解決上,僅從表面難以得到充足的條件與信息.化歸思想的應(yīng)用價值之一,則是體現(xiàn)在“從隱含到已知”的轉(zhuǎn)化上,本質(zhì)上來說,也是對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的訓(xùn)練,引導(dǎo)學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律,進一步發(fā)掘隱含條件,反客為主.

1.3 從特殊到一般的化歸

事實上,在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中,經(jīng)常會利用一些特殊情況來發(fā)現(xiàn)一般性結(jié)論,如在學(xué)習(xí)勾股定理時,“勾三股四弦五”就是直角三角形的“特殊三邊關(guān)系”,但通過這一特殊的數(shù)學(xué)現(xiàn)象可以推導(dǎo)出a2+b2=c2的一般性結(jié)論.從學(xué)生學(xué)習(xí)角度出發(fā),特殊性數(shù)學(xué)問題的解答往往相對比較容易,例如正弦、正切、余弦等的學(xué)習(xí)中,涉及特殊角(如30°,45°)時答案就很容易聯(lián)想到,當然也存在相反的情況,即特殊性問題難度較高、一般性問題相對容易,這就涉及到從特殊到一般的化歸操作.因此,采用化歸思想中“從特殊到一般”的方式,同樣可以起到降低難度、簡化過程的效果.

例如,人教A版高中數(shù)學(xué)必修一“指數(shù)函數(shù)的概念”學(xué)習(xí)完畢后,教材中提供了一系列利用指數(shù)函數(shù)比較大小的問題供學(xué)生練習(xí).類似“2 0212 022”和“2 0222 021”這樣的情況,直接計算困難很大,可以先將這種“特殊性問題”做一般化處理.將原問題轉(zhuǎn)化為nn+1和(n+1)n比較大小的問題,則:當n為1時,1<2;當n為2時,8<9;當n為3時,81>64,當n為4時,1 024>625;…….通過對一般化問題的窮舉,最終可以認為當n≥3時,nn+1>(n+1)n.將這一結(jié)論應(yīng)用于比較“2 0212 022”和“2 0222 021”大小的特殊情況下,從而判斷出2 0212 022>2 0222 021.

2 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中化歸思想的有效應(yīng)用

2.1 新課教學(xué)中化歸思想的應(yīng)用

基于前文對數(shù)學(xué)化歸思想價值的分析,不難看出其在高中數(shù)學(xué)新課教學(xué)中的重要應(yīng)用意義.一方面,高中數(shù)學(xué)教材在知識點的設(shè)置、分布上,采取的是分章節(jié)、單元的形式,這是國內(nèi)各個版本數(shù)學(xué)教材的共同點,其優(yōu)勢是突出知識主題,但無形中造成了知識點的“隔閡”與獨立.利用化歸思想有利于增強新舊知識的關(guān)聯(lián),例如在“一元二次方程”的教學(xué)活動中,利用化歸思想對一元二次問題進行降維,利用“十字相乘法”將其轉(zhuǎn)化成一元一次方程的形式.另一方面,在化歸思想的引導(dǎo)下,學(xué)生對新概念、新定理、新公式等的理解難度更小,例如在高中階段的重點知識模塊“函數(shù)”的教學(xué)過程中,可以采取“數(shù)變形”的化歸方法,將函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化成對應(yīng)的函數(shù)圖象.

2.2 習(xí)題教學(xué)中化歸思想的應(yīng)用

“習(xí)題教學(xué)”是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的常態(tài)化機制,既包括常規(guī)課程中穿插的習(xí)題講解環(huán)節(jié),又包括專門的“習(xí)題課”.在這樣的教學(xué)情境中,化歸思想的運用是非常普遍的,具體應(yīng)用方式如“變式訓(xùn)練”“一題多解”“數(shù)形轉(zhuǎn)化”等.值得注意的是,習(xí)題教學(xué)中應(yīng)用化歸思想的關(guān)鍵,在于引導(dǎo)學(xué)生自主探索,而不能教師簡單、粗暴地把思路交給學(xué)生.

例如,利用化歸思想展開變式訓(xùn)練,圖2為四面體ABCD,其中B,C,D三點位置的三個角之和分別為180°,證明AB=CD,AC=BD,AD=BC.

圖2

通過觀察,直接基于四面體證明的難度很大,利用化歸思想對立體圖降維,轉(zhuǎn)化為圖3的形式(從點A將四面體“剪開”),再通過變式將原問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題.變式之后得到的條件中,可知A1B=A2B,A1C=A3C,A2D=A3D,加上“三個角之和為180°”的原題條件,即新生成的圖形為平面三角形,證明過程就非常簡單了.

圖3

2.3 復(fù)習(xí)教學(xué)中化歸思想的應(yīng)用

復(fù)習(xí)課是高中數(shù)學(xué)的重要課型之一,它的主要價值體現(xiàn)在“知識梳理”,即將高中階段所學(xué)習(xí)的知識系統(tǒng)化、組織化,形成清晰的網(wǎng)絡(luò)框架.將化歸思想滲透其中,一方面有助于增強知識點之間的關(guān)聯(lián)、對比,避免學(xué)生在知識運用過程中產(chǎn)生混淆,以此更牢固地掌握數(shù)學(xué)知識本質(zhì).另一方面,化歸思想有助于增強學(xué)生數(shù)學(xué)知識的遷移能力,特別是在“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)問題上,借助化歸思想將碎片化、差異化的知識點轉(zhuǎn)化成“學(xué)習(xí)支架”.

以人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊第四章“數(shù)列”的復(fù)習(xí)課為例,整章復(fù)習(xí)內(nèi)容主要包括數(shù)列的概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列三部分.其中,后兩部分可以視為“數(shù)列的概念”在不同維度的發(fā)展,教師可以選擇兩種數(shù)列的共性要素即“通項公式”,按照化歸思想(由特殊到一般)梳理知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)(如圖4).

圖4 數(shù)列知識結(jié)構(gòu)圖

綜上所述,化歸思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用范圍,除了新課傳授、習(xí)題教學(xué)、課堂復(fù)習(xí)等場景中,還可以依據(jù)高中數(shù)學(xué)主要知識模塊(如函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等)展開專門訓(xùn)練.在這一過程中,教師要注重化歸思想運用的引導(dǎo),采取“自主、合作、探究”等學(xué)習(xí)方法,在觸類旁通、舉一反三的思維框架下突顯化歸思想的應(yīng)用價值,也能夠很好地避免學(xué)生陷入定式思維的局囿.