巧借特殊值法,妙解高考真題

張家港高級(jí)中學(xué) 黃 軼

特殊值法破解數(shù)學(xué)客觀題,有其特殊的優(yōu)勢(shì)與美妙的體驗(yàn),它是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等“四基”落實(shí)并上升到一定高度的特殊“產(chǎn)物”,是特殊與一般思維的升華．特別在解決一些函數(shù)或方程、數(shù)列、三角函數(shù)或不等式等的選擇題時(shí),利用特殊值法,解題過程簡(jiǎn)潔明了,很好地提升解題速度與解題效益．下面結(jié)合2022年高考數(shù)學(xué)真題中一些客觀題特殊值法的合理選用與巧妙應(yīng)用加以剖析．

1 巧判函數(shù)圖象

分析：解決此類題的常用思維就是先根據(jù)函數(shù)的解析式判定函數(shù)的奇偶性,再借助特殊值的選取合理排除錯(cuò)誤的選項(xiàng)．而此題兩次利用函數(shù)特殊值的選取,即可將不滿足函數(shù)值取值情況的圖象完美地排除,實(shí)現(xiàn)巧妙判定函數(shù)圖象的目的．

解析：選取特殊值x=1,可得f(1)=(31-3-1)·cos 1>0,由此排除選項(xiàng)C,D;

再選取特殊值x=-1,得f(-1)=(3-1-31)·cos(-1)<0,由此排除選項(xiàng)B.

故選擇答案:A．

點(diǎn)評(píng)：巧妙選取特殊值來判斷函數(shù)或方程所對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象問題,將特殊值所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值情況與點(diǎn)的位置特征加以聯(lián)系與對(duì)比,排除不合理的圖象選項(xiàng)．對(duì)于單選題,在利用特殊值法巧判函數(shù)或方程所對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象問題時(shí),經(jīng)常要多次利用特殊值的巧妙選取來合理排除,直到剩下最后一個(gè)正確答案為止．

2 判定函數(shù)關(guān)系式

A．f(-x)+f(x)=0 B．f(-x)-f(x)=0

分析：解決此類題的常用思維就是利用題設(shè)給出的函數(shù)關(guān)系式,結(jié)合選項(xiàng)中對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系式代入,通過指數(shù)運(yùn)算與變形來轉(zhuǎn)化與驗(yàn)證,進(jìn)而得以正確判定．而此題選取特殊值加以驗(yàn)證即可正確判定,從而減少數(shù)學(xué)運(yùn)算量,這也是一種不錯(cuò)的技巧方法．

故選擇答案:C．

點(diǎn)評(píng)：在判定一些復(fù)雜函數(shù)關(guān)系式的成立問題時(shí),為避免復(fù)雜的邏輯推理與繁雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算,經(jīng)常借助一些特殊值的選取,代入函數(shù)關(guān)系式加以化簡(jiǎn)與求值,可以很好地優(yōu)化解題過程,同時(shí)對(duì)于函數(shù)關(guān)系式的判定更加直接、有效．

3 求解相應(yīng)函數(shù)值

A．tan(α+β)=1 B．tan(α+β)=-1

C．tan(α-β)=1 D．tan(α-β)=-1

分析：解決此類題的常用思維就是利用三角恒等變換公式對(duì)題設(shè)的三角函數(shù)方程加以變形與轉(zhuǎn)化,進(jìn)而結(jié)合化簡(jiǎn)的結(jié)果來分析與求解對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值問題．而此題結(jié)合兩次特殊值的選取,即可合理排除不滿足條件的選取,簡(jiǎn)化公式變形與推理過程,優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算．

①

選取特殊值β=0,代入①式,得sinα+cosα=0,即tanα=-1;再將β=0分別代入四個(gè)選項(xiàng),由此可以排除選項(xiàng)A,C.

選取特殊值α=0,代入①式,可得sinβ-cosβ=0,即tanβ=1;再將α=0分別代入四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證,由此可以排除選項(xiàng)B.

故選擇答案:D．

點(diǎn)評(píng)：這里很好地通過三角函數(shù)關(guān)系式中角的變化以及對(duì)應(yīng)選項(xiàng)中的三角函數(shù)值不變的特征,利用兩次特殊值的選取,結(jié)合選項(xiàng)中的三角函數(shù)值進(jìn)行排除．借助特殊值法處理相關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí),有時(shí)一次特殊值的選取不能直接達(dá)到目的,可以進(jìn)行第二次特殊值的選取,直至剩下最后一個(gè)選項(xiàng)為止．

4 確定參數(shù)取值范圍

例4(2022年高考數(shù)學(xué)浙江卷·9)已知a,b∈R,若對(duì)任意x∈R,a|x-b|+|x-4|-|2x-5|≥0,則( ).

A．a(chǎn)≤1,b≥3 B．a(chǎn)≤1,b≤3

C．a(chǎn)≥1,b≥3 D．a(chǎn)≥1,b≤3

分析：解決此類題的常用思維就是絕對(duì)值不等式的函數(shù)圖象化處理思維、參數(shù)的分類討論思維等,過程復(fù)雜,討論繁多．而此題利用特殊值的選取,代入題設(shè)的絕對(duì)值不等式加以化簡(jiǎn),利用含參不等式恒成立的條件確定參數(shù)的取值情況,結(jié)合各選項(xiàng)中的參數(shù)取值范圍即可驗(yàn)證與確定．

解析：選取特殊值x=4,由a|x-b|+|x-4|-|2x-5|≥0,可得a|4-b|-3≥0.

顯然a≠0且b≠4,觀察各選項(xiàng)可知,只有a≥1,b≤3符合這個(gè)結(jié)論.

故選擇答案:D．

點(diǎn)評(píng)：借助含參絕對(duì)值不等式中特殊值的選取,簡(jiǎn)化不等式,減少變量,借助不等式恒成立等相關(guān)知識(shí)確定相關(guān)參數(shù)的取值情況,再結(jié)合選項(xiàng)合理驗(yàn)證．在具體借助特殊值法確定參數(shù)取值范圍的問題時(shí),經(jīng)常不能直接得到對(duì)應(yīng)參數(shù)的取值范圍,而是借助選項(xiàng)中參數(shù)不同取值范圍加以驗(yàn)證與判斷,合理排除,巧妙確定．

5 判斷不等式成立

例5(2022年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷·12)(多選題)對(duì)任意x,y,x2+y2-xy=1,則( ).

A．x+y≤1 B．x+y≥-2

C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1

分析：解決此類題的常用思維就是不等式思維、配方思維或換元思維等,利用條件中的二元方程,結(jié)合基本不等式、完全平方公式或三角換元等方法來處理,解題過程較為繁瑣．而此題利用特殊值法,根據(jù)滿足二元方程條件下的特殊值的兩次合理選取,即可正確排除對(duì)應(yīng)的選項(xiàng)來達(dá)到正確判斷的目的,簡(jiǎn)單快捷．

解析：選取特殊值x=y=1,其滿足方程x2+y2-xy=1,則有x+y=2≤1不成立,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

根據(jù)多選題“至少有兩個(gè)選項(xiàng)是正確”的特征,故選擇答案:BC．

點(diǎn)評(píng)：利用特殊值法破解一些數(shù)學(xué)的綜合與創(chuàng)新問題時(shí),有一定的“秒殺”效果,但要注意一般“可遇而不可求”,不具有可推廣性與普及性.如果一定要花大量時(shí)間去配湊特殊值,往往得不償失．這里借助二元方程的結(jié)構(gòu)特征,可以快速選取相應(yīng)的特殊值來驗(yàn)證,綜合多選題的特征,當(dāng)確定其中兩個(gè)選項(xiàng)為錯(cuò)誤時(shí),則另外兩個(gè)選項(xiàng)肯定是正確答案．

巧借特殊值法,可以在很大程度上簡(jiǎn)化繁雜的邏輯推理過程與復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算過程,但也不能盲目任意選取特殊值,要吻合數(shù)學(xué)問題中特殊與一般思維之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化,才能達(dá)到正確使用特殊值法的目的．巧妙借助特殊值法,能很好降低知識(shí)復(fù)雜層次,弱化基礎(chǔ)知識(shí)難度,強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法,優(yōu)化數(shù)學(xué)解題過程,提升數(shù)學(xué)解題效益,節(jié)省寶貴考試時(shí)間,真正達(dá)到“小題小做”“小題巧做”“小題快做”等良好解題效益．