一致收斂二元函數(shù)列及函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的含參量積分性質(zhì)

費(fèi)時(shí)龍,任雅柔

(宿州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,安徽 宿州 234000)

數(shù)學(xué)分析中很多教材研究了含參量積分的連續(xù)性、可積性與可微性,給出了累次積分交換次序的條件[1-4]。隨后,函數(shù)列、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其極限性質(zhì)及多元函數(shù)的性質(zhì)受到部分學(xué)者的關(guān)注：費(fèi)時(shí)龍,洪佳音,朱少娟[5]研究了多元函數(shù)列的一致收斂性及其相關(guān)極限性質(zhì);王飛,費(fèi)時(shí)龍[6]討論了多元函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂及其性質(zhì);王素娟[7]利用幾何的方法,對(duì)二元函數(shù)可微的定義進(jìn)行了詳細(xì)的描述;趙艷輝[8]研究了積分一致絕對(duì)連續(xù)的函數(shù)列與一致收斂的函數(shù)列及一致可積函數(shù)列之間的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上通過(guò)二元函數(shù)列的性質(zhì)討論了一致收斂的極限函數(shù)及函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)的含參量積分的性質(zhì),研究了一致收斂的極限函數(shù)及函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)對(duì)應(yīng)的含參量積分的存在性、連續(xù)性、可微性與可積性。獲得了一致收斂意義下極限函數(shù)對(duì)應(yīng)的含參量積分與極限交換次序、求導(dǎo)交換次序及累次積分交換次序的條件,得到了一致收斂意義下含參量積分與無(wú)窮求和交換次序,含參量積分的求導(dǎo)與無(wú)窮求和交換次序的條件。

1 一致收斂二元函數(shù)列極限函數(shù)的含參量積分性質(zhì)

定義1.1[5]設(shè)fn(x,y)與f(x,y)在集合D?R2上有定義,若對(duì)任意給定的正數(shù)ε,總存在正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N及任意(x,y)∈D時(shí),都有|fn(x,y)-f(x,y)|<ε,則稱(chēng)二元函數(shù)列fn(x,y)在D上一致收斂于函數(shù)f(x,y)。

故對(duì)上述的分割T：

故對(duì)任意的x∈[a,b],f(x,y)在[c,d]上可積,對(duì)上述的ε>0,?N>0,s.t.n>N時(shí),有：

即：

注：定理1.2給出了極限函數(shù)含參量積分的存在性,得到了極限號(hào)與含參量積分交換次序的條件,下面討論極限函數(shù)含參量積分的連續(xù)性、可微性與可積性。

引理1.3[5](極限函數(shù)的連續(xù)性)設(shè)二元函數(shù)列fn(x,y)在二維平面區(qū)域D?R2上一致收斂于f(x,y),且對(duì)任意n,fn(x,y)在D上連續(xù),則f(x,y)在D上也連續(xù)。

引理1.8[5](極限函數(shù)的可積性)設(shè)二元函數(shù)列fn(x,y)在有界閉域D?R2上一致收斂于f(x,y)且對(duì)任意n,fn(x,y)在D上連續(xù),則f(x,y)在D上也可積。

2 一致收斂二元函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)的含參量積分性質(zhì)

注：定理2.2給出了和函數(shù)含參量積分的存在性,得到了無(wú)窮求和與含參量積分交換次序的條件,下面討論和函數(shù)含參量積分的連續(xù)性、可微性。

證明由條件及引理1.7顯然。

3 結(jié) 論

利用二元函數(shù)列的含參量積分性質(zhì)在一致收斂的條件下分別研究了其極限函數(shù)及函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)的含參量積分的性質(zhì),得到了含參量積分意義下極限與積分交換次序的條件,獲得了極限函數(shù)對(duì)應(yīng)的含參量積分的連續(xù)性、可微性及可積性。本文的結(jié)論和方法可以為多重積分的研究提供新的途徑。