淺談交換積分次序

蘇曉海

（陜西理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，陜西 漢中 723001）

在任何一次《高等數(shù)學(xué)》的考試中，都至少必有一道題是關(guān)于交換積分次序的，因此掌握交換二重積分的積分次序就顯得非常必要。 本文我們通過幾個例子來談一談如何交換積分次序。

引理 設(shè)閉區(qū)域D 既是X-型，又是Y-型，即

D=｛（x，y）|a≤x≤b，φ1（x）≤y≤φ2（x）}，或D=｛（x，y）|c≤y≤d，ψ1（y）≤x≤ψ2（y）}，則

公式（1）叫做把二重積分化為先對y 后對x 的累次積分，而公式（1）叫做把二重積分化為先對x 后對y 的累次積分。

所謂的交換二重積分的積分次序就是：如果原來是先對y后對x 的累次積分， 那么把它化為先對x 后對y 的累次積分（如果原來是先對后對的累次積分，那么把它化為先對y 后對x的累次積分）。

大多數(shù)同學(xué)覺得交換二重積分的積分次序較難， 原因是沒有掌握好交換積分次序的主要方法和步驟。 下面我們就以把公式（1）轉(zhuǎn)化為公式（2）來介紹交換二重積分的積分次序的方法：

（1）在坐標(biāo)面上畫出四條曲線x=a，x=b，y=φ1（x），y=φ2（x），它們所圍成的閉區(qū)域就是積分區(qū)域（如圖1）。

（2）再把積分區(qū)域看成型，即D=｛（x，y）|c≤y≤d，ψ1（y）≤x≤ψ2（y）}。

（3）交換積分次序，得

以上三個步驟中，最關(guān)鍵的一步就是（1），很多同學(xué)不會交換積分次序其實最大的問題就是弄不清楚積分區(qū)域是怎樣的區(qū)域。 三個步驟中的第一步主要是畫四條曲線來確定積分區(qū)域，因此我們可以把這種交換積分次序的方法叫“四曲線法”。下面舉幾個具體例子。

（2）D 是Y-型區(qū)域：D={（x，y）|0≤y≤2，y2≤x≤2y}；

（3）交換積分次序，得

圖1

這道題由于對x 積分時， 被積函數(shù)e-x2的原函數(shù)不存在，所以沒辦法直接計算。 但是，如果先交換一下積分次序，問題就解決了。

解 （1）畫四條曲線：y=0，y=1，x=0 和x=2y，得積分區(qū)域D1（如圖2）；再畫四條曲線：y=1，y=3，x=0 和x=3-y，得積分區(qū)域D2（如圖2 中的陰影部分）；

（2）D=D1∪D2是X-型D={（x，y）|0≤x≤2，≤y≤3-x}；

（3）交換積分次序，得

圖2

[1]同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上下冊）.第五版.北京：高等教育出版社，2002

[2]王樹勛，田壤等.高數(shù)學(xué)（上下冊）.第三版.西北工業(yè)大學(xué)出版社，2012