如何求分式方程中參數(shù)的值

葉春甜

在學(xué)習(xí)分式方程時(shí)，我們會(huì)遇到分子含有參數(shù)，要求分式方程中參數(shù)的值的問題.解答這類問題的基本思路是把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.但在解答過程中，若對(duì)含參數(shù)分式方程的解的情況分析不當(dāng)，極易導(dǎo)致錯(cuò)誤.對(duì)此，筆者針對(duì)如下幾種情況，探討了如何求分式方程中參數(shù)的值.

一、已知分式方程有增根，求參數(shù)的值

分式方程出現(xiàn)增根的原因是在去分母的過程中，方程兩邊同時(shí)乘以了一個(gè)可能使最簡公分母為0的整式，致使未知數(shù)的取值范圍發(fā)生了變化.因此，在求分式方程中參數(shù)的值時(shí)，若已知分式方程有增根，同學(xué)們要注意如下兩點(diǎn)：一是準(zhǔn)確去分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；二是令最簡公分母為零，求出其增根，再把增根代入所得的整式方程中，求出參數(shù)的值.

例1

解：

評(píng)注：分式方程的增根，既是分式方程去分母后所得整式方程的根，也是使分式方程最簡公分母為零的未知數(shù)的值.所以，令分式方程最簡公分母為零，是破解分式方程有增根問題的重要突破口.

二、已知分式方程無解，求參數(shù)的值

分式方程無解主要包括兩種情況：一是原分式方程去分母整理后得到的整式方程沒有解，故而原分式方程無解；二是原分式方程去分母整理后所得到的整式方程有解，但該解為原分式方程的增根，從而導(dǎo)致原分式方程無解.所以，在求分式方程參數(shù)的值時(shí)，若已知分式方程無解，同學(xué)們要注意對(duì)整式方程無解、整式方程有解但該解為原分式方程的增根這兩種情況進(jìn)行分類討論.

例2

解：

評(píng)注：在解答分式方程無解問題時(shí)，若分式方程去分母后所得的整式方程可以化為 ax = b（b ≠0）的形式時(shí)，要注意分 a =0和 a ≠0兩種情況進(jìn)行討論.當(dāng) a =0時(shí)，整式方程無解，此時(shí)原分式方程也無解；當(dāng) a≠0時(shí)，整式方程有解 x= ，此解為原分式方程的增根，此時(shí)原分式方程無解.

三、已知分式方程有解，求參數(shù)的值

分式方程有解主要指分式方程的解是正數(shù)、負(fù)數(shù)、非正數(shù)、非負(fù)數(shù)等.在求分式方程中參數(shù)的值時(shí)，若已知分式方程有解，同學(xué)們要注意如下兩點(diǎn)：一是認(rèn)真審讀題目，弄清題設(shè)中解的情況，即明確該解是正數(shù)，還是負(fù)數(shù)等；二是參數(shù)的取值要使分式有意義，即分式方程的分母不能為零.

例3

評(píng)注：求分式方程參數(shù)的取值范圍，一般先去分母，化分式方程為整式方程；然后用含參數(shù)的代數(shù)式把分式方程的解表示出來，再由分式方程中解的條件（正數(shù)、負(fù)數(shù)等），將其轉(zhuǎn)化為不等式問題.在這一過程中，同學(xué)們特別要注意分式方程有解的隱含條件：分母不能為零.

總之，分式方程中參數(shù)的值或取值范圍與分式方程的增根、無解、有解息息相關(guān).在平時(shí)做題時(shí)，同學(xué)們要仔細(xì)審題，把握已知條件，尤其是隱含條件，并注意結(jié)合具體情況展開分類討論，及時(shí)檢驗(yàn)和修正，從而規(guī)避漏解、多解以及錯(cuò)解，提高解題的準(zhǔn)確性.