不等式組整數(shù)解的求法及其應(yīng)用

曾啟凡

不等式組的整數(shù)解就是使不等式組成立的未知數(shù)的整數(shù)值.或者說，不等式組的解集中的整數(shù)就是不等式組的整數(shù)解.我們經(jīng)常會(huì)遇到求不等式組整數(shù)解的題目.下面就不等式組整數(shù)解的求法及其在解題中的應(yīng)用進(jìn)行分析.

一、不等式組整數(shù)解的求法

求不等式組的整數(shù)解的一般思路是先解不等式組，求出其解集，再?gòu)倪@個(gè)解集中找出相應(yīng)的整數(shù)解.為了簡(jiǎn)單、直觀還可以借助數(shù)軸來找整數(shù)解.

例1

分析：欲求整數(shù)解的和，就要求出它的整數(shù)解，而要求出整數(shù)解，就要先求出不等式組的解集.

解

評(píng)注：求不等式組的整數(shù)解時(shí)一定要看清不等號(hào)的形式，即要注意有沒有等號(hào)，還有不能遺漏了0.

二、利用整數(shù)解求字母系數(shù)的范圍

根據(jù)不等式組有整數(shù)解求字母系數(shù)的取值范圍，應(yīng)先把不等式組中的待定字母當(dāng)作已知數(shù)，用它的代數(shù)式表示出不等式組的解集，并根據(jù)已知不等式組特定整數(shù)解的情況，構(gòu)造關(guān)于待定字母的不等式或不等式組，即可確定字母系數(shù)的取值范圍.

例2

解析：

評(píng)注：這類問題一般是一個(gè)解集確定，另外一個(gè)解集不確定.我們可根據(jù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)確定具體的整數(shù)解，進(jìn)而明確另外一個(gè)不確定的解集的端點(diǎn)的位置，從而確定字母的取值范圍.特別要注意兩個(gè)端點(diǎn)的取舍.

三、利用整數(shù)解解答實(shí)際問題

利用不等式組的整數(shù)解解答實(shí)際問題，一般是先設(shè)出未知數(shù)，然后根據(jù)題意找出不等關(guān)系，列出不等式組，求出不等式組的解集，最后在其解集范圍內(nèi)結(jié)合實(shí)際意義取相應(yīng)的整數(shù)解.

例3某縣籌備20周年縣慶，園林部門決定利用現(xiàn)有的 3490 盆甲種花卉和 2950 盆乙種花卉搭配 A，B 兩種園藝造型共 50 個(gè)，擺放在迎賓大道兩側(cè).已知搭配一個(gè) A 種造型需甲種花卉80盆，乙種花卉40盆；搭配一個(gè) B 種造型需甲種花卉50盆，乙種花卉90盆．

（1）某校九年級(jí)（1）班課外活動(dòng)小組承接了這個(gè)園藝造型搭配方案的設(shè)計(jì)，問符合題意的搭配方案有幾種？請(qǐng)你幫助設(shè)計(jì)出來．

（2）若搭配一個(gè) A 種造型的成本是800元，搭配一個(gè) B 種造型的成本是960元，試說明（1）中哪種方案成本最低？最低成本是多少元？

分析：本題的不等關(guān)系比較隱晦，好像與不等式?jīng)]有什么關(guān)系，但仔細(xì)分析可知，不管如何搭配 A ，B 兩種園藝造型，其前提是需要的甲種花卉不能超過3490盆，乙種花卉不能超過2950盆，據(jù)此可列出不等式組，再取整數(shù)解即可.對(duì)于第二問，對(duì)設(shè)計(jì)出的方案逐個(gè)計(jì)算再比較大小，就一目了然了.

解：

（2）方法一：由于 B 種造型的造價(jià)成本高于 A 種造型成本．所以 B 種造型越少，成本越低，故應(yīng)選擇方案③ ， 成本最低，最低成本為：33×800+17×960=42720（元）.

評(píng)注：不論是統(tǒng)籌安排、最佳決策，還是最優(yōu)化問題等均涉及不等式，需要建立不等式求解.解答此類問題的關(guān)鍵，就是要從問題中找出不等關(guān)系，根據(jù)不等關(guān)系列出不等式，再根據(jù)未知數(shù)或者有關(guān)量的限制條件找出符合實(shí)際意義的解.

上期《<二元一次方程組>鞏固練習(xí)》參考答案