初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的“滲透”

徐文文

［摘? 要］ 思想方法是隱藏在數(shù)學(xué)知識(shí)之后，在成百上千年的數(shù)學(xué)研究當(dāng)中逐步積淀下來的、能夠反映數(shù)學(xué)本質(zhì)以及數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展規(guī)律的精華. 當(dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)不能將教學(xué)重點(diǎn)放在數(shù)學(xué)思想方法的名稱上，而應(yīng)當(dāng)將重點(diǎn)放在學(xué)生對這些數(shù)學(xué)思想方法的感悟與體驗(yàn)上. 反映數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)最恰當(dāng)?shù)脑~匯是“滲透”. 數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)與落地，重在“體驗(yàn)”，因此真正的數(shù)學(xué)思想方法滲透過程，應(yīng)當(dāng)是學(xué)生在體驗(yàn)中運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的過程. 滲透不僅面向數(shù)學(xué)思想方法，還面向數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，因此滲透還可以成為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地的驅(qū)動(dòng)力.

［關(guān)鍵詞］ 初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)思想；數(shù)學(xué)方法；教學(xué)滲透

思想方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位毋庸置疑. 無論在怎樣的教學(xué)改革背景之下，實(shí)施初中數(shù)學(xué)教學(xué)就一定會(huì)重視數(shù)學(xué)思想方法的價(jià)值. 而且無論在怎樣的教學(xué)目標(biāo)之下，只要重視數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，就一定能實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo). 當(dāng)然，我們必須正視的現(xiàn)實(shí)是，當(dāng)教師帶著不同的教學(xué)理念去實(shí)施數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)時(shí)，其教學(xué)過程與教學(xué)結(jié)果都有所不同，且數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)有顯性和隱性之分，比如有教師在幻燈片或者學(xué)生的學(xué)習(xí)單上，給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)思想方法的名稱，以讓學(xué)生有明確的認(rèn)識(shí)與判斷，這就是顯性的數(shù)學(xué)思想方法教學(xué). 這樣的教學(xué)思路曾經(jīng)在第八輪課程改革之初成為一種教學(xué)潮流，原因是這樣的選擇可以與三維目標(biāo)中的“過程與方法”相匹配，可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的存在. 隨著對課程改革反思的不斷深入，人們發(fā)現(xiàn)，在這樣的教學(xué)思路之下，數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的效果值得商榷，從某種程度上來講，將教學(xué)重心放在數(shù)學(xué)思想方法的名稱上，有本末倒置之嫌.

思想方法原本就隱藏在數(shù)學(xué)知識(shí)之后，且是在成百上千年的數(shù)學(xué)研究當(dāng)中逐步積淀下來的、能夠反映數(shù)學(xué)本質(zhì)以及數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展規(guī)律的精華. 當(dāng)給這些具有高度概括性的思想冠以數(shù)學(xué)思想方法的名稱后，當(dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)顯然不能將教學(xué)重點(diǎn)放在數(shù)學(xué)思想方法的名稱上，而應(yīng)當(dāng)將教學(xué)重心放在學(xué)生對這些數(shù)學(xué)思想方法的感悟與體驗(yàn)上. 特別地，對初中生來說，只是機(jī)械地記住某一數(shù)學(xué)思想方法的名稱毫無意義，但如果能夠給他們提供一個(gè)切實(shí)體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法的空間，那么他們就能形成屬于自己的感悟與認(rèn)識(shí)，而這些認(rèn)識(shí)又可以遷移到新的學(xué)習(xí)或者生活情境當(dāng)中，從而體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用價(jià)值. 本著這樣的教學(xué)思路，筆者認(rèn)為，反映數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)最恰當(dāng)?shù)脑~匯，就是“滲透”.

下面以蘇科版“三角形的中位線”教學(xué)為例，談?wù)劰P者對數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)中的“滲透”的認(rèn)識(shí).

滲透——數(shù)學(xué)思想方法落地的恰當(dāng)比喻

初中數(shù)學(xué)教師在理解數(shù)學(xué)方法的時(shí)候，可以適當(dāng)?shù)赝貙捬芯糠秶?，比如從生活的角度去認(rèn)識(shí)“方法”的作用. 生活當(dāng)中的很多場合都需要運(yùn)用不同的方法，比如系鞋帶有系鞋帶的方法，做飯有做飯的方法等，這些方法的運(yùn)用者未必知道這些方法的名稱（很多時(shí)候生活中的一些具體方法也沒有確定的名稱），但是方法運(yùn)用者卻可以很熟練地完成這些動(dòng)作，這就是方法在起作用. 諸如這樣的例子舉不勝舉. 從這些例子當(dāng)中我們不難發(fā)現(xiàn)方法的價(jià)值體現(xiàn)在能幫助方法運(yùn)用者解決問題上. 同樣的道理，教師教學(xué)數(shù)學(xué)思想方法時(shí)，也應(yīng)當(dāng)追求學(xué)生的體驗(yàn)與運(yùn)用，而這樣的理解通過“滲透”一詞來解釋，可以發(fā)現(xiàn)其中存在著充分的合理性，所以“滲透”是數(shù)學(xué)思想方法落地的恰當(dāng)比喻.

有人說，如果將數(shù)學(xué)知識(shí)比喻成數(shù)學(xué)學(xué)科的血肉，那么數(shù)學(xué)思想方法就是數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂. 既然是靈魂，那就是一種無形的存在，同時(shí)又是不可或缺的存在. 人之所以能夠感受到靈魂的價(jià)值，在于人可以活著做很多有意義的事情；對數(shù)學(xué)學(xué)科而言，要讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)思想方法的價(jià)值，當(dāng)然就在于引導(dǎo)學(xué)生帶著數(shù)學(xué)思想方法去進(jìn)行新知識(shí)的學(xué)習(xí)，成功地解決具有挑戰(zhàn)性的問題等. 對初中生而言，這樣的數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，顯然不在于讓學(xué)生在學(xué)會(huì)新的知識(shí)或者解決新的問題之后，能夠宣稱自己運(yùn)用了某某數(shù)學(xué)思想方法，而在于學(xué)生有了這樣的經(jīng)歷之后，能夠感悟到自己對數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用.

這就是一個(gè)潤物無聲的過程. 舉一個(gè)簡單的例子，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中最常見的數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)形結(jié)合，很多代數(shù)與幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)與應(yīng)用中都有數(shù)形結(jié)合的身影. 尤其是當(dāng)數(shù)量關(guān)系比較抽象的時(shí)候，我們就可以借助圖形來使數(shù)量關(guān)系變得更加形象；而在描述圖形之間規(guī)律的時(shí)候，又常常會(huì)借助數(shù)量關(guān)系來進(jìn)行分析. 對初中生來說，這是一種司空見慣的學(xué)習(xí)思路，他們可能不知道數(shù)形結(jié)合這一概念，但這并不影響他們基于數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用去實(shí)現(xiàn)新知識(shí)的學(xué)習(xí)與新問題的解決. 在這樣的學(xué)習(xí)過程中，數(shù)形結(jié)合就是隱性的. 學(xué)生學(xué)到了相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，且伴隨著不同的數(shù)學(xué)概念以及規(guī)律，他們能夠?qū)⑦@些概念與規(guī)律納入原有的認(rèn)知體系當(dāng)中，從而在豐富自己數(shù)學(xué)認(rèn)知的同時(shí)，形成一定的問題解決能力. 在這種情形之下，學(xué)生完全不需要知道什么是數(shù)形結(jié)合——當(dāng)然相對于其他數(shù)學(xué)思想方法而言，數(shù)形結(jié)合的概念比較形象，學(xué)生也容易理解，因此即使采用顯性教學(xué)也無不可. 筆者在這里舉這個(gè)例子就是想強(qiáng)調(diào)——對于數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，重在滲透！潤物無聲的效果越好，數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的效果也就越好.

滲透——數(shù)學(xué)思想方法落地的案例分析

從上面的分析可以發(fā)現(xiàn)，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)與落地，重在“體驗(yàn)”，因此真正的數(shù)學(xué)思想方法的滲透過程，應(yīng)當(dāng)是學(xué)生在體驗(yàn)中運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的過程.

“三角形的中位線”在蘇科版教材當(dāng)中，被編排在了“中心對稱圖形”這一章，接在了平行四邊形之后. 教材設(shè)計(jì)這部分內(nèi)容，可以說是別具一格——其首先設(shè)計(jì)了一個(gè)建立在學(xué)生操作基礎(chǔ)上的問題：怎樣做才能將一張三角形紙片剪成兩個(gè)部分，并且使這兩部分可以拼成一個(gè)平行四邊形？

從學(xué)生的角度來看，這個(gè)問題涉及多個(gè)層面的內(nèi)容，比如學(xué)生是選擇動(dòng)手做還是動(dòng)腦思考——通常來說，抽象思維能力不夠的學(xué)生會(huì)選擇前者，也就是這部分學(xué)生會(huì)借助自己的動(dòng)作技能以及形象思維能力來解決這個(gè)問題；而抽象思維能力較強(qiáng)的學(xué)生，則會(huì)在大腦當(dāng)中通過想象建構(gòu)表象，然后對表象進(jìn)行加工，從而解決這個(gè)問題. 從教學(xué)效果的角度來看，教師教學(xué)時(shí)可以讓學(xué)生先動(dòng)手操作，然后進(jìn)行回想（冥想也行），這樣學(xué)生就可以在形成感性經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，讓自身的表象變得更加清晰.

在這個(gè)過程中，學(xué)生所感知到的學(xué)習(xí)過程，其實(shí)就是對三角形的加工——剪切與拼湊. 這個(gè)過程越豐富，學(xué)生就越能認(rèn)識(shí)到三角形的中位線與第三邊的長度關(guān)系，尤其是當(dāng)學(xué)生在大腦當(dāng)中實(shí)現(xiàn)如圖（教材里的圖形，此處略）所示的剪切與拼湊時(shí)，他們就更能發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)位置有其特殊性. 發(fā)現(xiàn)特殊性之后，其自然會(huì)進(jìn)入學(xué)生的注意范圍，學(xué)生就會(huì)開始尋求數(shù)量之間的關(guān)系. 這是一個(gè)自然切換的過程，切換的對象是原先加工的圖形與后來的數(shù)量關(guān)系，而準(zhǔn)確得出數(shù)量關(guān)系后，又可以反過來強(qiáng)化學(xué)生的學(xué)習(xí)成就感. 總體而言，這樣一個(gè)教學(xué)過程，符合初中生的學(xué)習(xí)規(guī)律. 有課程專家強(qiáng)調(diào)豐富知識(shí)的發(fā)生過程，原因也正在于此.

從數(shù)學(xué)思想方法的角度來看，上述教學(xué)過程涉及的數(shù)學(xué)思想方法有數(shù)形結(jié)合思想、直觀想象與邏輯推理思想等，下面具體闡述數(shù)形結(jié)合思想、直觀想象與邏輯推理思想.

（1）數(shù)形結(jié)合思想. 最開始，問題中的三角形紙片在學(xué)生眼里是一個(gè)具體的物體，而在學(xué)生的大腦當(dāng)中則是一個(gè)三角形. 當(dāng)學(xué)生的思維對象發(fā)生切換時(shí)，實(shí)際上就完成了數(shù)學(xué)抽象. 在這個(gè)過程中，學(xué)生需要面對的問題是：將分割的三角形的兩部分拼成平行四邊形，于是需要根據(jù)三角形的邊和平行四邊形的邊的關(guān)系（包括位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系），不斷地去試錯(cuò)，以最終實(shí)現(xiàn)問題的解決. 此時(shí)，數(shù)、形兩個(gè)對象交織在一起，形中的數(shù)量關(guān)系影響著學(xué)生的思維，因此學(xué)生能獲得一個(gè)相對完整的數(shù)形結(jié)合思想體驗(yàn)過程.

（2）直觀想象與邏輯推理思想. 學(xué)生大腦當(dāng)中加工的是一個(gè)圖形，這個(gè)圖形需要變形，變形后又必須達(dá)成新的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系. 可以說每一個(gè)學(xué)生在解決這個(gè)問題的時(shí)候，都希望自己能夠靈光一閃，從而解決問題. 學(xué)生有這種想法很正常，也值得鼓勵(lì)，因?yàn)檫@里既涉及幾何直觀、空間想象，又涉及邏輯推理，而這些既是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的組成要素，又是數(shù)學(xué)思想方法的充分體現(xiàn). 很多學(xué)生在解決問題的過程中，確實(shí)會(huì)出現(xiàn)靈光一現(xiàn)的情形，對于這種情形，我們很難做出解釋，通常會(huì)被認(rèn)為是頓悟的結(jié)果，對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法則更多的與幾何直觀相關(guān)；學(xué)生通過自身的幾何直觀與空間想象，可以減少試錯(cuò)的次數(shù)，同時(shí)能讓自己的判斷結(jié)果更接近正確結(jié)果；當(dāng)學(xué)生對自己的猜想結(jié)果有所肯定時(shí)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中形成的實(shí)證意識(shí)，會(huì)驅(qū)動(dòng)他們運(yùn)用邏輯推理去證明，于是相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法會(huì)得到體驗(yàn).

……

分析這些數(shù)學(xué)思想方法的出現(xiàn)，可以發(fā)現(xiàn)它們的共同特點(diǎn)在于，學(xué)生成功地體驗(yàn)了這些數(shù)學(xué)思想方法. 此時(shí)不需要學(xué)生說出這些方法的名稱，但是可以通過學(xué)習(xí)反思的策略，讓學(xué)生進(jìn)一步思考自己是如何解決問題的. 事實(shí)證明，這樣的反思還可以讓學(xué)生進(jìn)一步強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用過程中的體驗(yàn)，并且將這種體驗(yàn)上升為一種個(gè)性化的默會(huì)認(rèn)識(shí). 這種認(rèn)識(shí)會(huì)植根于學(xué)生的思維當(dāng)中，且可以有效遷移，從而成為解決新的數(shù)學(xué)問題的有效工具.

這是一個(gè)實(shí)實(shí)在在的滲透過程，伴隨著顯性知識(shí)的學(xué)習(xí)，隱性的數(shù)學(xué)思想方法滲透其中，這讓學(xué)生擁有了一個(gè)更加完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程.

滲透——驅(qū)動(dòng)核心素養(yǎng)落地的重要推力

完整是相對的，核心素養(yǎng)視角下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)追求的完整，還包括數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地. 當(dāng)前，關(guān)于在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)的研究文獻(xiàn)比較多，已經(jīng)形成的初步共識(shí)是核心素養(yǎng)的落地依賴具體的教學(xué)過程，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地則依賴具體的數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)過程.

從這一點(diǎn)可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)思想方法似乎存在相通之處. 應(yīng)當(dāng)說這一發(fā)現(xiàn)是符合規(guī)律的，核心素養(yǎng)與思想方法一樣，依賴知識(shí)發(fā)生的過程而存在，通常也不適宜作為直接教學(xué)的對象，因此，滲透其實(shí)不僅僅面向數(shù)學(xué)思想方法，其也面向數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，所以“滲透”也可以成為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地的驅(qū)動(dòng)力.

上面闡述的數(shù)形結(jié)合思想以及直觀想象與邏輯推理思想，其實(shí)都與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)密切相關(guān). 初中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)所強(qiáng)調(diào)的“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”，能將數(shù)形結(jié)合、直觀想象以及邏輯推理等容納進(jìn)去. 比如，數(shù)學(xué)的眼光從何而來？其實(shí)數(shù)形結(jié)合就可以幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)的眼光——現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)物經(jīng)過抽象可以變成形，描述這些形則需要數(shù)的關(guān)系，當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了這些過程后，數(shù)學(xué)眼光不就形成了嗎？同樣的道理，數(shù)學(xué)的思維和數(shù)學(xué)的語言也可以在這樣的過程中得到培養(yǎng).

總而言之，初中數(shù)學(xué)教師真正要做的是提煉出教材之中的思想與方法，通過對其深刻內(nèi)涵的挖掘，真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的目的［1］. 當(dāng)下，通過滲透的思路來實(shí)施數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，并促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地，是最為可行的.

參考文獻(xiàn)：

［1］李秀文. 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中思想與方法的滲透——評《數(shù)學(xué)教育研究方法論》［J］. 中國教育學(xué)刊，2021（12）：142.