超電阻對氣球模線性不穩(wěn)定性影響的理論研究*

劉泰齊 陳少永? 牟茂淋 唐昌建

1) (四川大學(xué)物理學(xué)院,成都 610065)

2) (四川大學(xué),高能量密度物理及技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,成都 610065)

在磁約束聚變等離子體中,本文將超電阻引入氣球模模型,采用解析理論的方法研究其對氣球模線性不穩(wěn)定性的影響.推導(dǎo)了包含超電阻、電阻和抗磁效應(yīng)的非理想氣球模本征方程,分析不同條件下超電阻對氣球模的作用.結(jié)果表明,超電阻會增強(qiáng)氣球模的不穩(wěn)定性,其物理機(jī)制是超電阻導(dǎo)致的電流擴(kuò)散效應(yīng)使得磁力線彎曲項(xiàng)對氣球模的穩(wěn)定作用減弱;超電阻與電阻對氣球模的去穩(wěn)效應(yīng)存在競爭關(guān)系,當(dāng)超電阻與電阻的比值較大時(shí),超電阻的作用占主導(dǎo),反則反之.超電阻的去穩(wěn)效應(yīng)隨著環(huán)向模數(shù)增加而增強(qiáng),當(dāng)環(huán)向模數(shù)大于某閾值時(shí),超電阻會使原本穩(wěn)定的氣球模變得不穩(wěn)定,且該閾值與超電阻和電阻的比值成反比.研究結(jié)果對未來聚變堆中低碰撞率邊緣等離子體中的輸運(yùn)改善和邊緣局域模控制具有重要參考價(jià)值.

1 引言

磁約束等離子體中磁流體不穩(wěn)定性會導(dǎo)致其約束性能變差,甚至可能演變成等離子體大破裂并導(dǎo)致放電終止,因此,環(huán)形裝置中磁流體不穩(wěn)定性的物理機(jī)制和穩(wěn)定性判據(jù)引起了研究者們的廣泛關(guān)注.氣球模的擾動主要集中在環(huán)形等離子體的壞曲率區(qū),即磁力線曲率方向與等離子體壓強(qiáng)梯度方向相同的區(qū)域,使得原本平滑的磁面在局部出現(xiàn)凸起或凹陷[1],采用磁流體動力學(xué)[2-5]、動理學(xué)理論等多種方法對氣球模的特性進(jìn)行了較多研究.

20 世紀(jì)70 年代以來,Lortz 等[6-8]通過計(jì)算磁剪切s與歸一化壓強(qiáng)梯度α的不穩(wěn)定邊界圖,提出了第一穩(wěn)定區(qū)、不穩(wěn)定區(qū)和第二穩(wěn)定區(qū).隨后的研究表明,電阻可使得氣球模的穩(wěn)定區(qū)減小,而抗磁效應(yīng)則對氣球模具有致穩(wěn)作用.在高約束模(H 模)邊緣等離子體的低碰撞率和高壓強(qiáng)梯度條件下,電阻和抗磁等非理想效應(yīng)對氣球模的作用更加明顯.此外,氣球模與剝離模耦合形成所謂剝離氣球模[9],并被廣泛應(yīng)用于邊緣局域模(ELM)的物理解釋,基于非理想剝離氣球模模型的非線性臺基模擬成功解釋了ELM 實(shí)驗(yàn).因此,探究各種非理想效應(yīng)對邊緣輸運(yùn)壘中氣球模的作用對未來聚變堆控制ELM 至關(guān)重要.

在上述非理想效應(yīng)中,由反常電子黏滯引起的超電阻效應(yīng)對氣球模的作用研究相對較少.超電阻產(chǎn)生的物理機(jī)制主要包括微尺度隨機(jī)磁場和撕裂模湍流兩方面,其作用將使得電流耗散且梯度變平緩[10,11].已有研究發(fā)現(xiàn)超電阻對氣球模有去穩(wěn)作用[12],但其作用機(jī)理還有較多不清楚的地方.另外,在ELM 非線性模擬中,超電阻效應(yīng)[9,13]會促進(jìn)磁重聯(lián)從而限制ELM 的徑向展寬,且可使非線性數(shù)值模擬更加穩(wěn)定[14].因此,有必要從理論上系統(tǒng)探究超電阻對氣球模的作用.

本文首先分析了超電阻對理想氣球模線性不穩(wěn)定性的影響,然后,研究了存在電阻時(shí)超電阻去穩(wěn)非理想氣球模的環(huán)向模數(shù)閾值,最后,在考慮抗磁效應(yīng)條件下,探討了超電阻與電阻比值(αH)對非理想氣球模線性不穩(wěn)定的影響.本文的內(nèi)容安排如下: 第2 節(jié)推導(dǎo)了包含超電阻的非理想氣球模本征方程;第3 節(jié)通過打靶法求解非理想氣球模本征方程的本征值,研究超電阻對氣球模不穩(wěn)定性的影響,并詳細(xì)分析了超電阻起作用的環(huán)向模數(shù)閾值(nth);第4 節(jié)對本文工作進(jìn)行總結(jié).

2 含超電阻的氣球模本征方程推導(dǎo)

聚變裝置中氣球模的計(jì)算通常采用大型磁流體初值代碼或數(shù)值計(jì)算上更簡單的本征值方法.本文旨在探究超電阻對氣球模的作用特性和其物理機(jī)制,因此選擇物理性質(zhì)更清晰且?guī)缀跞馕龅谋菊髦捣椒?由流體動量方程:

其中,ρ0為離子質(zhì)量密度,P為壓強(qiáng),J為等離子體電流.通過在方程兩端同時(shí)作用 (b·?×) 算子,可以得到渦量方程:

其中,渦量U≡b·?×V,B0為磁軸處的平衡磁場,b0=B0/B0為磁軸處磁場的單位矢量,J//為等離子體電流的平行分量,κ0=b0·?b0為平衡場的曲率.對系統(tǒng)速度取一階近似,即只考慮垂直方向上的E×B速度,則有V ≈VE=B×?φ/B2≈b0×為靜電勢.下標(biāo)0 表示平衡量,下標(biāo)//和⊥分別表示平行于磁場方向的分量和垂直于磁場方向的分量.

已知垂直方向上的E×B速度,所以壓強(qiáng)演化方程為

所以,隨時(shí)間的演化的擾動量渦量u1、壓強(qiáng)P1、磁通Ψ1,線性三場約化磁流體動力學(xué)方程如下:

三場模型已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于BOUT++代碼對邊緣局域模崩塌的非線性模擬[14-17]和對氣球模壓縮效應(yīng)的線性研究[15],因此,三場模型足以用來研究氣球模不穩(wěn)定性的線性特征.本文采用Miller的平衡模型[18,19],超電阻導(dǎo)致的電流擴(kuò)散可能會對平衡產(chǎn)生影響,但其作用時(shí)間尺度遠(yuǎn)大于氣球模不穩(wěn)定性增長的時(shí)間尺度,因此文中不考慮超電阻對平衡的影響.在柱坐標(biāo)系下,一個大環(huán)徑比、低比壓β和同心圓截面的軸對稱托卡馬克幾何位形x(r,θ,?)=[R,φ,Z]可表示為

q是安全因子,dlp是微分極向弧長,f(ψ)=RBφ,Bφ是環(huán)向磁場.

由(8)式可得,

將(17)式和(18)式代入(16)式,等式兩邊都有因子φ1,方便起見,后文用φ代替φ1,得

其中離子抗磁頻率ω?i=b0×?P0·k/(en0) ,δi=1/(en0),k⊥和k//分別表示垂直和平行波數(shù).通過標(biāo)準(zhǔn)氣球模轉(zhuǎn)換方法[1]可得:

把(15)式、(20)式和(21)式代入(19)式,可得非理想氣球模本征方程:

其中,f2(Θ) =1+Λ2,g(Θ)=-R(κn-κgΛ),磁剪切沿磁力線方向的積分Λ=?Ψ ·?(qΘ-ζ)/B=sΘ-αsin(Θ).

方程中,第1 項(xiàng)為對氣球模起穩(wěn)定作用的磁力線彎曲項(xiàng);第2 項(xiàng)為抗磁效應(yīng)項(xiàng),該項(xiàng)可以穩(wěn)定高n氣球模;第3 項(xiàng)為氣球模不穩(wěn)定性的驅(qū)動項(xiàng),該項(xiàng)中包含了正交和測地曲率,在Θ=π 時(shí)為好曲率,對氣球模起致穩(wěn)作用,在Θ=0 時(shí)為壞曲率,對氣球模起去穩(wěn)作用.可以看到,(22)式是一個二階的偏微分方程,由于Θ的取值范圍在負(fù)無窮到正無窮之間,且邊界條件需要滿足在Θ趨近于正負(fù)無窮時(shí),Φ的取值是零,因此該偏微分方程的邊界條件應(yīng)該為

因此可對(24)式進(jìn)行求解.結(jié)合本征方程(22)式和邊界條件(23)式,通過打靶法來求解包含超電阻的非理想氣球模本征方程,以研究超電阻對氣球模不穩(wěn)定性的作用.該模型雖然不能純解析地解決氣球模特征,但可以研究托卡馬克邊緣輸運(yùn)壘中的氣球模.

數(shù)值求解(24)式時(shí)選取一個與JET 裝置參數(shù)相近的平衡,大環(huán)半徑R=3.52 m ,小環(huán)半徑r=1.24 m,安全因子q=2.35 ,環(huán)向磁場為B=4.2 T,等離子體電流I=2.5 MA .由斯必澤模型可知,電阻與溫度的3/2 次方呈反比,目前等離子體被加熱的溫度為1 keV 量級,因此電阻可以達(dá)到 10-8量級,隨著裝置水平的發(fā)展,將來實(shí)驗(yàn)堆中托卡馬克溫度更高,達(dá)到10 keV 量級時(shí),電阻將達(dá)到10-9—10-10量級,超電阻數(shù)值也會更小.當(dāng)s=2.59,α=0.46,n=35,η=10-7,ηH=9×10-15時(shí),求 解(24)式可得歸一化增長率γ=0.03684,本征函數(shù)解如圖1 所示,由于本征函數(shù)關(guān)于Θ=0 對稱,所以圖1僅給出Θ為正時(shí)的本征函數(shù).

圖1 考慮超電阻的非理想氣球模本征方程函數(shù)解(R=3.52 m,r =1.24 m ,q =2.35 ,s=2.59 ,α=0.46 ,n=35,η =10-7 ,ηH=9×10-15)Fig.1.Eigen-functions of the ballooning model with hyperresistivity (R =3.52 m ,r =1.24 m ,q =2.35 ,s=2.59,α=0.46,n=35 ,η =10-7 ,ηH=9×10-15).

3 數(shù)值計(jì)算結(jié)果與分析

使用與圖1 相同的參數(shù),在不考慮抗磁效應(yīng)和電阻效應(yīng)情況下,超電阻不同時(shí)對氣球模歸一化線性增長率的影響如圖2 所示.由圖2 可知,超電阻對氣球模線性增長率的影響隨著環(huán)向模數(shù)n的增大而增強(qiáng),氣球模線性增長率隨著超電阻的增大而變大.因此,超電阻對氣球模不穩(wěn)定性有去穩(wěn)作用,且隨著環(huán)向模數(shù)增大而增強(qiáng).由本征方程式(22)可知,超電阻在第1 項(xiàng),即磁力線彎曲項(xiàng)中,且該項(xiàng)包含環(huán)向模數(shù).因?yàn)榇帕€彎曲項(xiàng)對氣球模起穩(wěn)定作用,且隨著超電阻的增大,磁力線彎曲項(xiàng)減小,所以此時(shí)氣球模的增長率增大.在低碰撞率的磁約束等離子體中,由于磁力線凍結(jié)在等離子體中,那么等離子體擾動會造成磁力線彎曲,然而彎曲磁力線需要對其做功,因此磁力線彎曲對氣球模不穩(wěn)定性具有抑制作用.但由于超電阻造成的電流擴(kuò)散效應(yīng),使得磁力線與等離子體具有相對運(yùn)動,進(jìn)而減弱磁力線彎曲項(xiàng)對氣球模的穩(wěn)定作用.對于高環(huán)向模數(shù)的氣球模,超電阻項(xiàng)更大,因此其對氣球模的去穩(wěn)作用更強(qiáng).

圖2 超電阻對理想氣球模線性增長率的影響,其中橫坐標(biāo) n 表示環(huán)向模數(shù),縱坐標(biāo)為歸一化氣球模線性增長率Fig.2.Effect of hyper-resistivity on the linear growth rate of ideal ballooning modes,where the x-coordinate represents the toroidal mode number,and the y-coordinate is the linear growth rate of ballooning modes.

同時(shí)考慮電阻和超電阻對氣球模的作用.先保持αH不變,改變電阻大小,分析氣球模線性增長率變化情況.由于超電阻和電阻對氣球模的作用機(jī)理和效果有相似之處,所以考慮存在電阻效應(yīng)時(shí),超電阻效應(yīng)對氣球模歸一化線性增長率的影響.由圖3 可以看出,當(dāng)超電阻為0 時(shí),氣球模線性增長率隨著環(huán)向模數(shù)增大而變大;且在環(huán)向模數(shù)相同時(shí),電阻越大,氣球模增長率也越大;在此條件下,加上超電阻后氣球模增長率會進(jìn)一步增大.加上超電阻使氣球模增長率變化的增大值在保持αH不變且增長率足夠大的情況下幾乎不變.這說明,αH對氣球模不穩(wěn)定特性起著關(guān)鍵作用.

圖3 不同電阻和超電阻條件下氣球模線性增長率隨環(huán)向模數(shù)的變化,其中超電阻和電阻的比值 αH=10-7 保持不變Fig.3.Linear growth rate of ballooning modes varies with toroidal mode number under different resistivity and hyperresistivity,the ratio of hyper-resistivity to resistivity remain unchanged,where αH=10-7 .

對比圖4 青色實(shí)線和紅色虛線可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)環(huán)向模數(shù)低于50 時(shí),考慮電阻時(shí)的氣球模線性增長率大于考慮超電阻時(shí)的氣球模線性增長率,當(dāng)環(huán)向模數(shù)高于50 時(shí),考慮超電阻的氣球模線性增長率大于考慮電阻的氣球模線性增長率.分析其他曲線,也有類似情況,對于在一定大小范圍內(nèi)的電阻和超電阻,環(huán)向模數(shù)較低時(shí),電阻對氣球模不穩(wěn)定性的影響比超電阻強(qiáng),但環(huán)向模數(shù)增大后,相同的超電阻對氣球模不穩(wěn)定性的影響會強(qiáng)于此電阻.由(22)式可以看出,超電阻項(xiàng)與環(huán)向模數(shù)n的4 次方成正比,而電阻項(xiàng)與n的平方成正比,因此,電阻在環(huán)向模數(shù)較低的時(shí)候?qū)馇蚰２环€(wěn)定性影響更強(qiáng),而超電阻在環(huán)向模數(shù)較大時(shí)對氣球模不穩(wěn)定性的影響會更強(qiáng).

圖4 保持超電阻大小不變(ηH=10-16),不同電阻條件下氣球模線性增長率隨環(huán)向模數(shù)的變化Fig.4.The linear growth rate of the ballooning mode varies with the toroidal mode number under different resistivity conditions,keeping the values of the hyper-resistivity unchanged,where ηH=10-16 .

通過文獻(xiàn)[14,20]可知超電阻與電阻比值參數(shù)范圍為 10-6—10-4,因此,選取一個較小的超電阻(ηH=10-16),保持其值不變,只改變電阻值,研究氣球模歸一化線性增長率變化情況.由圖4 分析可知,考慮電阻和超電阻的氣球模線性增長率(除青色外的其他實(shí)線)都比只考慮電阻的氣球模線性增長率(青色實(shí)線)高,加上超電阻后氣球模線性增長率也會增大,雖然加上的是固定值的超電阻,但增長率的增大值卻有明顯變化,確切來說,αH減小,增長率增大值也變小.

結(jié)果表明電阻和超電阻對氣球模不穩(wěn)定性均具有去穩(wěn)作用,且它們的作用效果相似.當(dāng)同時(shí)考慮電阻效應(yīng)和超電阻效應(yīng)的時(shí)候,它們對氣球模歸一化線性增長率的影響比單獨(dú)考慮電阻效應(yīng)或者超電阻效應(yīng)時(shí)大,但卻比兩者增長率的和小.這說明電阻和超電阻雖然都對氣球模不穩(wěn)定性有去穩(wěn)作用,但兩者之間存在競爭關(guān)系.在保持αH不變時(shí),不同電阻情況下,加上超電阻導(dǎo)致的氣球模線性增長率與不加超電阻時(shí)的差值在增長率足夠大時(shí)基本不變.而當(dāng)保持超電阻值不變時(shí),不同電阻情況下,加上超電阻導(dǎo)致的氣球模線性增長率與不加時(shí)的差值有明顯變化,由此分析,超電阻與電阻的相對大小決定超電阻對氣球模不穩(wěn)定性的去穩(wěn)效果強(qiáng)弱.

而且在考慮電阻效應(yīng)的情況下,當(dāng)環(huán)向模數(shù)較小時(shí),有無超電阻對氣球模歸一化線性增長率幾乎沒有影響,但隨著環(huán)向模數(shù)逐漸增大時(shí),超電阻才開始對氣球模歸一化線性增長率有影響.這說明在環(huán)向模數(shù)較低時(shí),超電阻效應(yīng)對氣球模不穩(wěn)定性的去穩(wěn)作用被電阻效應(yīng)掩蓋,進(jìn)一步表明電阻效應(yīng)與超電阻效應(yīng)之間具有競爭關(guān)系.

為了研究超電阻效應(yīng)與電阻效應(yīng)之間的競爭關(guān)系,保持電阻(η=1×10-8)不變,改變超電阻值,使αH改變,氣球模線性增長率隨環(huán)向模數(shù)變化如圖5 所示.可以看出,雖然在環(huán)向模數(shù)較低時(shí),超電阻對氣球模線性增長率沒有影響,但隨著環(huán)向模數(shù)增大,超電阻將使氣球模增長率變大,即超電阻對氣球模不穩(wěn)定性起作用存在一個環(huán)向模數(shù)閾值(nth).當(dāng)αH較大的時(shí)候,超電阻對氣球模歸一化線性增長率的影響在環(huán)向模數(shù)較低時(shí)就能顯現(xiàn);相反,當(dāng)αH很小時(shí),超電阻對低環(huán)向模數(shù)氣球模幾乎沒有作用,僅對高環(huán)向模數(shù)氣球模有較小的去穩(wěn)作用.這說明αH越大,超電阻對氣球模不穩(wěn)定性起作用的nth越小.

圖5 不同 αH 條件下,氣球模線性增長率隨環(huán)向模數(shù)的變化情況,其中電阻 η =10-8 保持不變Fig.5.The linear growth rate of the ballooning mode varies with the toroidal mode number under different ratio of the hyper-resistivity to the resistivity,where the value of resistivity is a constant.

超電阻對氣球模起作用的環(huán)向模數(shù)nth隨αH的變化關(guān)系如圖6 所示.考慮不同電阻情況下,每個αH都有一個對應(yīng)的環(huán)向模數(shù)nth與之對應(yīng),由模擬結(jié)果可以看出,αH越大,超電阻對氣球模歸一化線性增長率起作用的環(huán)向模數(shù)nth就越小,αH與nth之間呈現(xiàn)反比關(guān)系,αH越大,超電阻對氣球模線性不穩(wěn)定性起作用的閾值越小.改變電阻值,這個趨勢基本保持不變.

圖6 不同電阻條件下,超電阻對氣球模線性增長率起作用的環(huán)向模數(shù)閾值與超電阻和電阻比值之間的關(guān)系,橫坐標(biāo)為超電阻與電阻的比值 αH ,縱坐標(biāo)為環(huán)向模數(shù)閾值nthFig.6.The threshold value of toroidal mode number varies with the ratio of hyper-resistivity to resistivity when the hyper-resistivity plays a role in the linear growth rate of the ballooning mode by changing the resistivity values.The xcoordinate is the ratio of the hyper-resistivity to the resistivity,and the y-coordinate is the threshold value of toroidal mode number.

研究非理想氣球模時(shí),因壓強(qiáng)梯度產(chǎn)生的抗磁漂移不可或缺,所以為了契合實(shí)際,考慮抗磁效應(yīng),研究此時(shí)超電阻對氣球模線性增長率的影響.

同時(shí)考慮超電阻效應(yīng)和抗磁效應(yīng)后,探究此時(shí)超電阻對氣球模線性不穩(wěn)定性的影響如圖7 所示.結(jié)果表明加入抗磁效應(yīng)后,超電阻對氣球模線性增長率依然會隨著超電阻的變大而增大,在低環(huán)向模數(shù)至中環(huán)向模數(shù)時(shí),隨著環(huán)向模數(shù)增大,氣球模線性增長率也隨之變大,但與無抗磁效應(yīng)的情況相比,超電阻對氣球模線性增長率的作用明顯下降.在環(huán)向模數(shù)較高時(shí),氣球模線性增長率下降得尤為明顯,結(jié)果表明對于高n模,抗磁效應(yīng)對氣球模的穩(wěn)定作用更加明顯,這與文獻(xiàn)[14]模擬結(jié)果一致.由(22)式可知,抗磁效應(yīng)在高n模區(qū)間起穩(wěn)定作用,是因?yàn)榭勾牌浦苯幼饔迷诮粨Q模驅(qū)動項(xiàng)[21],從而使氣球模變得穩(wěn)定.

圖7 考慮抗磁效應(yīng)條件下,超電阻對氣球模線性增長率的影響Fig.7.Effect of hyper-resistivity on the linear growth rate of ideal ballooning modes with diamagnetic effect.

考慮抗磁效應(yīng)以后電阻和超電阻對氣球模增長率的影響如圖8 所示,由于抗磁效應(yīng)對氣球模的有穩(wěn)定作用,加入抗磁效應(yīng)后增長率整體有減小.圖中αH保持不變,考慮超電阻后氣球模增長率的增大值基本不變,這說明抗磁效應(yīng)作用下,依然滿足αH不變,氣球模線性增長率的增大值幾乎不變.總之,雖然逆磁效應(yīng)對高n模氣球模有穩(wěn)定作用,但其不改變電阻和超電阻對氣球模線性不穩(wěn)定性的作用規(guī)律.

圖8 同時(shí)考慮抗磁效應(yīng)、電阻和超電阻條件下,氣球模線性增長率隨環(huán)向模數(shù)的變化,其中 αH=10-7 保持不變Fig.8.With diamagnetic effect,the linear growth rate of ballooning modes varies with toroidal mode number under different resistivity and hyper-resistivity,keeping the ratio of hyper-resistivity to resistivity unchanged,where αH=10-7.

當(dāng)(ηH=10-16)保持不變,改變電阻值并且考慮抗磁效應(yīng),氣球的線性增長率如圖9 所示.由圖9可知,加入抗磁效應(yīng)后氣球模線性增長率減小;減小電阻,考慮超電阻和不考慮超電阻的氣球模線性增長率的增大值增大,說明考慮抗磁效應(yīng)時(shí),αH變大,氣球模線性增長率的增大值變大,即抗磁效應(yīng)不改變圖4 得出的結(jié)論.

圖9 同時(shí)考慮抗磁、電阻和超電阻效應(yīng)條件下,氣球模線性增長率隨環(huán)向模數(shù)的變化,其中超電阻大小(ηH=10-16)保持不變Fig.9.With diamagnetic effect,the linear growth rate of the ballooning mode varies with the toroidal mode number under different resistivity conditions,keeping the values of hyper-resistivity unchanged,where ηH=10-16 .

在圖10 中,黑色線條表示加入抗磁效應(yīng)的環(huán)向模數(shù)閾值與超電阻和電阻比值關(guān)系曲線,橙色線條表示沒有抗磁效應(yīng)的關(guān)系曲線,改變電阻大小,αH對氣球模起作用的閾值隨著比值的增大而增大,與不加抗磁效應(yīng)的橙色線條相比并無太大區(qū)別,說明抗磁效應(yīng)不影響超電阻起作用的閾值.從(22)式中可以得出,抗磁效應(yīng)對氣球模不穩(wěn)定性具有致穩(wěn)作用,但超電阻與電阻在磁力線彎曲項(xiàng),因此抗磁效應(yīng)對超電阻的閾值沒有影響.總之,抗磁效應(yīng)對氣球模有穩(wěn)定作用,但其對超電阻和電阻效應(yīng)在氣球模不穩(wěn)定性中的作用規(guī)律沒有影響.

圖10 考慮抗磁效應(yīng)時(shí),環(huán)向模數(shù)閾值隨超電阻與電阻比值的變化Fig.10.With diamagnetic effect,the threshold value of toroidal mode number varies with the ratio of hyper-resistivity to resistivity.

由于氣球模穩(wěn)定強(qiáng)烈依賴于磁剪切,因此,此處將探究不同磁剪切對氣球模線性增長率的影響,取參數(shù)α=0.46,n=50,η=10-8,ηH=1×10-15,結(jié)果如圖11 所示.模擬計(jì)算結(jié)果表明,磁剪切會影響超電阻對氣球模的作用.由圖11 可知,隨著磁剪切增大,氣球模線性增長率先快速增大,達(dá)到某值后又迅速減小,到達(dá)另一臨界值后又開始緩慢增大,呈現(xiàn)一個非線性的變化.當(dāng)磁剪切取值在0.1—0.2時(shí),理想氣球模處于第2 穩(wěn)定區(qū);隨著磁剪切增大,在 0.2—1.1 時(shí),理想氣球模處于不穩(wěn)定區(qū);磁剪切繼續(xù)增大,大于1.1 時(shí),理想氣球模處于第1 穩(wěn)定區(qū).當(dāng)氣球模處于第1 穩(wěn)定區(qū)時(shí),線性增長率隨磁剪切增大,表明磁剪切增強(qiáng)了超電阻的去穩(wěn)作用.由(22)式的磁力線彎曲項(xiàng)中的系數(shù),即(24)式中的磁力線彎曲因子表達(dá)式:可知,磁剪切相關(guān)的量f2(Θ)=1+[sΘ-αsin(Θ)]2出現(xiàn)在(25)式分母的第2 項(xiàng)和第3 項(xiàng),其中,超電阻與磁剪切均出現(xiàn)第3 項(xiàng)中,第3 項(xiàng)會隨著超電阻和磁剪切的增大而變大,進(jìn)而減小磁力線彎曲項(xiàng)的穩(wěn)定作用.上述結(jié)果表明,磁剪切會增強(qiáng)超電阻對氣球模的去穩(wěn)作用,其物理機(jī)制是磁剪切較大時(shí),超電阻導(dǎo)致的磁場擴(kuò)散效應(yīng)更強(qiáng),從而降低磁力線彎曲對氣球模的穩(wěn)定作用.

圖11 氣球模線性增長率隨磁剪切的變化關(guān)系(取參數(shù)α=0.46,n=50,η=10-8,ηH=1×10-15)Fig.11.Linear growth rate of ballooning modes varies with the growth of magnetic shear,with α=0.46,n=50,η=10-8,ηH=1×10-15.

不同磁剪切情況下,超電阻起作用的環(huán)向模數(shù)閾值與超電阻和電阻的比值的關(guān)系如圖12 所示.由圖12 可以看出,雖然磁剪切增大會減小閾值,但并不影響文中閾值與超電阻、電阻比值呈反比關(guān)系的結(jié)論.由(24)式可知,磁力線彎曲項(xiàng)中電阻與超電阻項(xiàng)對磁剪切的依賴不同,其中,超電阻項(xiàng)正比于f4(Θ) ,而電阻項(xiàng)與f2(Θ) 成正比,因此磁剪切改變了超電阻與電阻的競爭關(guān)系,使得超電阻的去穩(wěn)作用更強(qiáng),所以圖12 中呈現(xiàn)隨著磁剪切的增大,閾值減小.

圖12 不同磁剪切條件下,環(huán)向模數(shù)閾值隨超電阻與電阻比值的變化關(guān)系Fig.12.With different magnetic shear,the threshold value of toroidal mode number varies with the ratio of hyper-resistivity to resistivity.

4 結(jié)論

本文采用本征值方法研究了超電阻對氣球模線性不穩(wěn)定性的影響.首先,從線性三場約化磁流體動力學(xué)方程出發(fā),在磁場演化方程中加入超電阻項(xiàng),通過標(biāo)準(zhǔn)氣球模轉(zhuǎn)換方法推導(dǎo)出非理想氣球模的本征方程.然后,采用打靶法求解包含超電阻項(xiàng)的氣球模本征方程得到其線性增長率,分析了不同參數(shù)條件下超電阻對氣球模不穩(wěn)定性的作用.

數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明,在不考慮電阻效應(yīng)和抗磁效應(yīng)的情況下,超電阻對氣球模不穩(wěn)定性具有去穩(wěn)作用,其物理機(jī)制是超電阻導(dǎo)致的電流擴(kuò)散效應(yīng)使得磁力線彎曲項(xiàng)對氣球模的穩(wěn)定作用減弱,該去穩(wěn)作用隨環(huán)向模數(shù)變大而增強(qiáng).

考慮電阻效應(yīng)時(shí),電阻與超電阻對氣球模的作用有較多相似之處,電阻在環(huán)向模數(shù)較低時(shí)對氣球模不穩(wěn)定性影響更強(qiáng),而超電阻在環(huán)向模數(shù)較大時(shí)對氣球模不穩(wěn)定性的影響會更強(qiáng),且它們是競爭關(guān)系.從對氣球模的作用機(jī)理角度分析,電阻效應(yīng)和超電阻效應(yīng)都使得磁力線彎曲項(xiàng)對氣球模的穩(wěn)定作用減弱.但電阻和超電阻共同存在時(shí),氣球模歸一化線性增長率低于兩者單獨(dú)存在時(shí)氣球模線性增長率之和.因此,電阻效應(yīng)和超電阻效應(yīng)存在競爭關(guān)系,即考慮電阻效應(yīng)時(shí)超電阻效應(yīng)對氣球模的去穩(wěn)作用減弱了,反之亦然.

當(dāng)同時(shí)考慮電阻效應(yīng)和超電阻效應(yīng)時(shí),超電阻效應(yīng)對氣球模的去穩(wěn)作用存在一個環(huán)向模數(shù)閾值,即當(dāng)環(huán)向模數(shù)大于該閾值超電阻才會使氣球模變得不穩(wěn)定.詳細(xì)研究發(fā)現(xiàn)該閾值和超電阻與電阻的比值成反比,與其絕對值無關(guān).此外,計(jì)算結(jié)果表明抗磁效應(yīng)對非理想氣球模有穩(wěn)定作用,但其不改變本文得出的超電阻和電阻對非理想氣球模不穩(wěn)定性的作用規(guī)律.磁剪切卻改變了超電阻與電阻的競爭關(guān)系,使得超電阻的去穩(wěn)作用更強(qiáng).