雙鏈超導(dǎo)量子電路中的拓?fù)浞瞧接构?jié)點(diǎn)*

關(guān)欣 陳剛

1) (太原學(xué)院材料與化學(xué)工程系,太原 030032)

2) (山西大學(xué)激光光譜研究所,量子光學(xué)與光量子器件國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,太原 030006)

3) (山西大學(xué)極端光學(xué)協(xié)同創(chuàng)新中心,太原 030006)

4) (鄭州大學(xué)物理學(xué)院,鄭州 450001)

拓?fù)錈o(wú)能隙系統(tǒng)作為不同量子相的連接,目前已經(jīng)成為備受關(guān)注的前沿科學(xué).超導(dǎo)量子電路作為一個(gè)重要的全固態(tài)量子器件是宏觀調(diào)控量子效應(yīng)的優(yōu)秀平臺(tái).本文在超導(dǎo)量子電路中構(gòu)建了雙鏈的Su-Schrieffer-Heeger(SSH)模型并發(fā)現(xiàn)了拓?fù)浞瞧接沟墓?jié)點(diǎn).首先設(shè)計(jì)了電容耦合的雙鏈transmon 比特,之后用兩個(gè)交流微波驅(qū)動(dòng)每一個(gè)transmon 比特,從而實(shí)現(xiàn)比特間耦合強(qiáng)度的獨(dú)立調(diào)控,最后通過(guò)選擇比特間合適的耦合參數(shù)實(shí)現(xiàn)交錯(cuò)的雙鏈SSH 模型.接下來(lái)探索了交錯(cuò)雙鏈SSH 模型的拓?fù)湫再|(zhì),首先計(jì)算了k 空間中雙鏈SSH 模型的本征能量,并發(fā)現(xiàn)了兩種類(lèi)型的相邊界.之后在參數(shù)空間中畫(huà)出了拓?fù)湎鄨D,發(fā)現(xiàn)了兩類(lèi)拓?fù)浣^緣相,其拓?fù)鋽?shù)分別為1 和—1,對(duì)應(yīng)有兩類(lèi)邊界態(tài).拓?fù)湎鄨D也進(jìn)一步給出了兩類(lèi)相邊界的分布以及它們兩側(cè)拓?fù)鋽?shù)的值.最后分析了兩類(lèi)相邊界的拓?fù)湫再|(zhì),發(fā)現(xiàn)其中一類(lèi)拓?fù)湎噙吔鐚?duì)應(yīng)的能帶有兩個(gè)拓?fù)浞瞧接沟墓?jié)點(diǎn).本文的工作為探索鏈條型物理系統(tǒng)、拓?fù)湮飸B(tài)以及節(jié)點(diǎn)型拓?fù)浒虢饘偬峁┝诵碌耐緩?

1 引言

近年來(lái),微納米技術(shù)的快速發(fā)展使得全固態(tài)量子器件超導(dǎo)量子電路成為了量子信息[19-22]、量子計(jì)算[23-26]以及量子模擬[27-34]的優(yōu)秀平臺(tái).相比于其他量子平臺(tái),超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)在擴(kuò)展性、集成性、調(diào)控性等方面都具有更大的優(yōu)勢(shì)[35-38].基于這些優(yōu)勢(shì),大量的量子模擬工作已經(jīng)在超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn),如多體局域化[28]、動(dòng)力學(xué)量子相變[27]、磁性物理[29,30]、量子行走[39]以及拓?fù)洳牧蟍31,32]等.最近,實(shí)驗(yàn)[40]上已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了由24 個(gè)最近鄰耦合的transmon 比特構(gòu)造的雙鏈結(jié)構(gòu),并模擬出了雙鏈玻色-哈伯德模型,進(jìn)一步探索了系統(tǒng)中單激發(fā)和雙激發(fā)的動(dòng)力學(xué)特性.同時(shí),實(shí)驗(yàn)[41,42]中實(shí)現(xiàn)了transmon 比特之間耦合強(qiáng)度的獨(dú)立可調(diào),并且模擬出了單鏈的Su-Schrieffer-Heeger (SSH)模型,進(jìn)一步觀測(cè)到了拓?fù)浞瞧接沟拇抛咏^緣體[31].因此,基于目前的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)狀,可以通過(guò)改變雙鏈transmon 比特間的耦合強(qiáng)度在超導(dǎo)量子電路中實(shí)現(xiàn)雙鏈SSH 模型.

基于以上的實(shí)驗(yàn)及理論工作,本文提出了利用transmon 比特實(shí)現(xiàn)耦合強(qiáng)度獨(dú)立可調(diào)的雙鏈SSH 模型的可行性實(shí)驗(yàn)方案,并在這一模型中發(fā)現(xiàn)了拓?fù)浞瞧接沟墓?jié)點(diǎn).本文首先設(shè)計(jì)了電容耦合的雙鏈transmon 比特,然后用兩個(gè)交流微波驅(qū)動(dòng)每一個(gè)transmon 比特,從而實(shí)現(xiàn)比特間耦合強(qiáng)度的獨(dú)立調(diào)控,最后通過(guò)改變比特間耦合參數(shù)實(shí)現(xiàn)交錯(cuò)耦合的雙鏈SSH 模型.接下來(lái)探索雙鏈SSH 模型的拓?fù)湫再|(zhì),首先計(jì)算k空間中雙鏈SSH 模型的本征能量,并發(fā)現(xiàn)了兩種類(lèi)型的相邊界.之后在參數(shù)空間中畫(huà)出拓?fù)湎鄨D,發(fā)現(xiàn)了兩類(lèi)拓?fù)浣^緣相,拓?fù)鋽?shù)分別為1 和—1,對(duì)應(yīng)有兩類(lèi)邊界態(tài).拓?fù)湎鄨D也進(jìn)一步給出了兩類(lèi)相邊界的分布以及它們兩側(cè)拓?fù)鋽?shù)的值.最后分析了兩類(lèi)相邊界的拓?fù)湫再|(zhì),將布洛赫態(tài)映射為k空間的矢量場(chǎng),發(fā)現(xiàn)第一類(lèi)相邊界對(duì)應(yīng)能帶的節(jié)點(diǎn)處,矢量場(chǎng)存在兩個(gè)扭結(jié).兩個(gè)節(jié)點(diǎn)有相反的拓?fù)浜煞謩e為1 和—1,并且受到平移和反轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性的保護(hù).另外,本文發(fā)現(xiàn)第二類(lèi)相邊界的能帶節(jié)點(diǎn)是拓?fù)淦接沟?本文的工作為探索鏈條型物理系統(tǒng)、拓?fù)湮飸B(tài)以及節(jié)點(diǎn)型拓?fù)浒虢饘偬峁┝诵碌耐緩?

2 理論模型

目前,雙鏈耦合的超導(dǎo)量子比特鏈已經(jīng)在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)[40].基于這一實(shí)驗(yàn),本文用transmon 比特設(shè)計(jì)了雙鏈的Su-Schrieffer-Heeger (SSH)模型.如圖1(a)所示,兩條比特鏈中所有最近鄰比特之間都通過(guò)電容進(jìn)行耦合,相應(yīng)的拉氏量表示為

圖1 雙鏈SSH 模型 (a) 兩條transmon 比特鏈分別標(biāo)記為A 和B.每個(gè)transmon 比特都與其最近鄰比特兩兩耦合.這里所有的耦合器均為電容. Q νj 表示的是第ν 條鏈上的第j 個(gè)比特. C νj 和分別是第ν 條鏈上,第j 個(gè)比特的有效電容和約瑟夫森能.Cνij 是耦合第ν 條鏈上,第i 和第j 個(gè)比特的電容. C ABj 表示A,B 兩條鏈上第j 個(gè)比特之間耦合的電容. φ νj 是第ν 條鏈上,第j 個(gè)比特的約瑟夫森結(jié)的相位.本文中transmon 比特的約瑟夫森結(jié)由超導(dǎo)量子干涉儀(SQUID)形成,是SQUID 中每個(gè)約瑟夫森結(jié)的能量.每個(gè)比特都受到兩個(gè)外加磁通的調(diào)制.(b) 雙鏈SSH 模型示意圖,圖中紅色和藍(lán)色的實(shí)心球表示SSH 模型中一個(gè)原胞的兩種比特Fig.1.Two-leg SSH model: (a) Two-leg (labeled respectively by A and B) superconducting circuits with transmon qubits.The qubits are coupled with their nearest-neighbor sites.All couplers are capacitors. C νj andare the effective capacitance and the Josephson energy of the qubit at the jth site on the ν th leg. C νij and C ABj are the capacitors to couple the qubits at the jth site on the ν th leg with its nearest-neighbor sites along each leg and between the legs,respectively. φ νj is the phase of the Josephson junction of the qubit at the jth site on the ν th leg.The Josephson junction of the transmon qubit is a superconducting quantum interference device(SQUID).is the Josephson energy of SQUID.Each qubit is modulate by two external magnetic fluxesand

式中,每條鏈上比特的位置用j標(biāo)記,不同的鏈用ν=A/B來(lái)標(biāo)記.第ν條鏈上,第j個(gè)比特的電容用Cνj來(lái)表示.第ν條鏈上,第j個(gè)比特的約瑟夫森能用表示.第ν條鏈上,第i和第j個(gè)比特之間耦合的電容用Cνij表示.A,B兩條鏈上第j個(gè)比特之間耦合的電容用CABj表示.第ν條鏈上,第j個(gè)比特中約瑟夫森結(jié)的相位用φνj表示,φ0=1/(2e)是其量子化單位.〈i,j〉是每條鏈上最近鄰比特的求和.如果選擇為正則坐標(biāo),相應(yīng)的正則動(dòng)量可以表示為

為了實(shí)現(xiàn)雙鏈SSH 模型,需要調(diào)節(jié)比特間的耦合強(qiáng)度,本文利用兩個(gè)交流微波對(duì)每個(gè)transmon比特進(jìn)行驅(qū)動(dòng).實(shí)驗(yàn)上可以通過(guò)磁通偏置線實(shí)現(xiàn)這種驅(qū)動(dòng)[41,42].如圖1(a)所示,將transmon 比特的約瑟夫森結(jié)替換成超導(dǎo)量子干涉儀(SQUID).將兩個(gè)獨(dú)立可控的交流磁通設(shè)置在SQUID 的回路中

3 拓?fù)湎鄨D

式中ε(k)=(εx,εy,εz) ,其中εx=(t1+t2)cos(k)+1,εy=(t1-t2)sin(k),εz=0 .是三維泡利算符.k空間中的能譜可以通過(guò)對(duì)角化哈密頓量(28)式得到:

討論 SPT多好發(fā)于30歲左右的年輕女性[4]。Papavramidis等[5]的一組大數(shù)據(jù)中97.8%的患者為女性，平均年齡為22歲。Yu等[6]報(bào)道中國(guó)人SPT患者男女比例為1∶8.37，平均年齡27歲，本組患者女性占85.19%，平均年齡為30歲，與文獻(xiàn)報(bào)道結(jié)果相符。

由(29)式可知,能譜的兩個(gè)能帶會(huì)在ε±=0時(shí)發(fā)生簡(jiǎn)并.當(dāng)ε±=0 時(shí)有:

其中kc是能帶簡(jiǎn)并點(diǎn)的波矢.通常情況下,參數(shù)空間中能帶簡(jiǎn)并點(diǎn)兩側(cè)的拓?fù)湫再|(zhì)會(huì)發(fā)生變化.由(30)式和(31)式可知,根據(jù)kc的不同取值,拓?fù)湎噙吔缈梢苑譃閮深?lèi).第一類(lèi)是當(dāng)kc/=0 時(shí),有t1=t2以 及 c os(kc)=-1/(2t2) .第二類(lèi)是當(dāng)kc=0 時(shí),即 s in(kc)=0 時(shí),有 c os(kc)=-1/(t1+t2) .那么,可以得到第一類(lèi)相邊界:

第一類(lèi)相邊界的能帶有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)±kc.第二類(lèi)相邊界的能帶有一個(gè)節(jié)點(diǎn)kc=π 或kc=0 .兩類(lèi)相邊界有兩個(gè)交點(diǎn),為t1=t2=±1/2 .本文將兩類(lèi)相邊界以及交點(diǎn)t1=t2=±1/2 上對(duì)應(yīng)的能帶圖畫(huà)在了圖2中,可以更直觀地看到第一類(lèi)相邊界對(duì)應(yīng)能帶的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)(圖2(a))以及第二類(lèi)相邊界對(duì)應(yīng)能帶的一個(gè)節(jié)點(diǎn)(圖2(b)).另外,第一類(lèi)相邊界能帶的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)在相邊界交點(diǎn)處相遇,變?yōu)橐粋€(gè)節(jié)點(diǎn)(圖2(c)).

圖2 雙 鏈SSH 模型的能譜圖 (a) t1=t2=1.5 ;(b) t1=-1.5 和t2=0.5 ;(c)t1=t2=-0.5Fig.2.Energy bands of SSH model: (a) t1=t2=1.5 ;(b) t1=-1.5 and t2=0.5 ;(c) t1=t2=-0.5 .

接下來(lái),進(jìn)一步探索相邊界兩側(cè)的拓?fù)湫再|(zhì).首先需要計(jì)算拓?fù)洳蛔兞?本文中,由于哈密頓量有PT 對(duì)稱(chēng)性,因此根據(jù)Altland-Zirnbauer拓?fù)浞诸?lèi)[44],能帶的拓?fù)洳蛔兞繛槔@數(shù):

根據(jù)拓?fù)洳蛔兞縉的分布,圖3 給出了參數(shù)空間中的相圖.圖中紅色實(shí)線標(biāo)記的是第一類(lèi)相邊界((32)式),發(fā)現(xiàn)相邊界兩側(cè)的拓?fù)洳蛔兞糠謩e為—1 和1.這表明第一類(lèi)相邊界的兩側(cè)區(qū)域中,能帶都是拓?fù)浞瞧接沟?并且兩側(cè)區(qū)域的拓?fù)洳蛔兞恐顬?.黑色實(shí)線標(biāo)記的是第二類(lèi)相邊界((33)式),邊界兩側(cè)的拓?fù)洳蛔兞糠謩e為0 和1 或0 和—1.這表明第二類(lèi)相邊界兩側(cè)中總有一側(cè)是拓?fù)淦接沟?另一側(cè)是拓?fù)浞瞧接沟?并且兩側(cè)區(qū)域的拓?fù)洳蛔兞恐顬?.

圖3 雙 鏈SSH 模型在參數(shù)空間 t1-t2 中的拓?fù)湎鄨D.深綠色的區(qū)域是拓?fù)鋽?shù) N =-1 的區(qū)域,淺咖色的區(qū)域是拓?fù)鋽?shù) N =1 的區(qū)域,淺綠色的區(qū)域是拓?fù)鋽?shù) N =0 的區(qū)域;紅色的線標(biāo)記的是第一類(lèi)相邊界,黑色的線標(biāo)記的是第二類(lèi)相邊界Fig.3.Topological phase diagram in the t1-t2 plane.The bottle green,light coffee color and pale green areas indicate the areas with N =-1,N =1 and N =0 respectively.N denotes the winding number.The red and black lines indicate the first and second phase boundaries respectively.

接下來(lái)進(jìn)一步討論開(kāi)邊界條件下相圖中不同區(qū)域的特性.根據(jù)體邊對(duì)應(yīng)原理[45,46],當(dāng)體態(tài)表現(xiàn)為拓?fù)浞瞧接箷r(shí),邊界態(tài)是沒(méi)有能隙的.因此,圖3中的拓?fù)浞瞧接箙^(qū)域在開(kāi)邊界條件下其能帶會(huì)出現(xiàn)準(zhǔn)0 能模.為了證明這點(diǎn),圖4 給出出了開(kāi)邊界條件下的能帶圖以及相應(yīng)的波函數(shù).圖4(a1)是N=1時(shí)對(duì)應(yīng)的能帶,可以看出,在能量0 點(diǎn)處出現(xiàn)了兩個(gè)簡(jiǎn)并的能隙閉合點(diǎn).相應(yīng)的波函數(shù)ψα(j)畫(huà)在圖4(b1)中,可以看出其呈指數(shù)地局域在系統(tǒng)的邊界上,這正是拓?fù)湎嘣陂_(kāi)邊界條件下的一個(gè)顯著特征.圖4(a2)和圖4(b2)是N=-1 時(shí)對(duì)應(yīng)的能帶及波函數(shù),它們與圖4(a1)和圖4(b1)有相同的特征.圖4(a3)和圖4(b3)是N=0,也就是拓?fù)淦接箷r(shí)對(duì)應(yīng)的能帶及波函數(shù),可以發(fā)現(xiàn)此時(shí)0 能簡(jiǎn)并消失,出現(xiàn)能隙,并且波函數(shù)沒(méi)有邊界局域的特征.

圖4 開(kāi)邊界能帶和邊界態(tài) (a1) t1=1.5 和 t2=0.5 ;(a2) t1=0.5 和 t2=1.5 ;(a3) t1=0.5 和 t2=0.3 .(b1 )—(b3 )是(a1)—(a3)中第20 個(gè)能帶的波函數(shù)Fig.4.Energy bands with open boundary condition with (a1 ) t1=1.5 and t2=0.5 ;(a2 ) t1=0.5 and t2=1.5 ;(a3 )t1=0.5 and t2=0.3 .The wave functions corresponding with the 20th energy bands of (a1 ),(a2 ),and (a3 ) are plotted in (b1 ),(b2),and (b3),respectively.

4 節(jié)點(diǎn)的拓?fù)涮匦?/h2>

由上文知,系統(tǒng)存在兩種類(lèi)型的相邊界.可以發(fā)現(xiàn),這兩類(lèi)相邊界最顯著的不同是,第一類(lèi)相邊界兩側(cè)的相區(qū)域都是拓?fù)浞瞧接沟那彝負(fù)鋽?shù)相差2;第二類(lèi)相邊界兩側(cè)的相區(qū)域總有一側(cè)是拓?fù)淦接沟?另一側(cè)拓?fù)浞瞧接骨覂蓚?cè)拓?fù)鋽?shù)相差1.那么這兩類(lèi)相邊界是否有不同的拓?fù)湫再|(zhì)呢? 本節(jié)將討論這個(gè)問(wèn)題.

由哈密頓量(29)知,ε在布洛赫球的x-y平面上的軌跡為一個(gè)正橢圓:

對(duì)于第3 節(jié)中拓?fù)鋽?shù)為1 和—1 的相區(qū)域,該橢圓運(yùn)動(dòng)軌跡的旋轉(zhuǎn)方向相反但均將原點(diǎn) (0,0) 包含在橢圓內(nèi)部(圖5(a)和圖5(b)).而對(duì)于拓?fù)鋽?shù)為0 的相區(qū)域,該橢圓始終沒(méi)有將原點(diǎn) (0,0) 包含在橢圓內(nèi)部(圖5(c)).布洛赫球上的原點(diǎn)正是上文中得到的能級(jí)簡(jiǎn)并點(diǎn).這與第3 節(jié)得到的結(jié)論是一致的.那么,當(dāng)參數(shù)取在相邊界上時(shí),橢圓軌跡會(huì)有怎樣的變化呢? 對(duì)于第一類(lèi)相邊界,參數(shù)滿足(30)式,橢圓軌跡方程(35)變?yōu)椴悸搴涨騲軸上的線段(圖5(d)):

圖5 不同參數(shù)下 ε 在布洛赫球的 x -y 平面上的軌跡 (a)拓?fù)鋽?shù) N =1 時(shí) ε 的軌跡,參數(shù)設(shè)定為 t1=1.5 和 t2=0.5 ;(b)拓?fù)鋽?shù) N =-1 時(shí) ε 的軌跡,參數(shù)設(shè)定為 t1=0.5和t2=1.5 ;(c)拓?fù)鋽?shù) N =0 時(shí) ε 的軌跡,參數(shù)設(shè)定為 t1=1 和t2=-0.7 ;(d)參數(shù)滿足第一類(lèi)相邊界 t1=t2 時(shí) ε 的軌跡,參數(shù)設(shè)定為 t1=t2=1 ;(e)參數(shù)滿足第二類(lèi)相邊界t1+t2=1 時(shí) ε 的軌跡,參數(shù)設(shè)定為t1=0.8 和 t2=0.2 ;(f)參數(shù)滿足第二類(lèi)相邊界 t1+t2=-1 時(shí) ε 的軌 跡,參 數(shù)設(shè)定為 t1=-1.3和t2=0.3 .圖中紅點(diǎn)表示原點(diǎn),箭頭表示軌跡的運(yùn)動(dòng)方向Fig.5.The curve of the vector ε in x -y plane of the Bloch sphere with (a) t1=1.5 and t2=0.5 ;(b) t1=0.5 and t2=1.5 ;(c) t1=1 and t2=-0.7 ;(d) t1=t2=1 ;(e) t1=0.8 and t2=0.2 ;(f) t1=-1.3 and t2=0.3 .The red points and arrows indicate the origin points and direction of the curve respectively.

顯然,這是一個(gè)以 (1,0) 為平衡位置,4|t1|為振幅的簡(jiǎn)諧振動(dòng).對(duì)于第二類(lèi)相邊界,參數(shù)滿足(31)式,橢圓軌跡(35)式仍為一個(gè)正橢圓(圖5(e),(f)):

該橢圓的半軸長(zhǎng)度分別為1和|2t1±1|,并且可以注意到,該橢圓會(huì)經(jīng)過(guò)原點(diǎn) (0,0) .至此可以看到,ε在這兩類(lèi)相邊界上有完全不同的運(yùn)動(dòng)軌跡.最重要的是,軌跡方程(36)在完成一個(gè)振動(dòng)周期后會(huì)經(jīng)過(guò)兩次原點(diǎn) (0,0),并且兩次運(yùn)動(dòng)軌跡的方向相反,而軌跡方程(37)在完成一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期后只經(jīng)過(guò)了一次原點(diǎn) (0,0) .從這里可以看出第一類(lèi)相邊界上的能帶是拓?fù)浞瞧接沟?而第二類(lèi)相邊界上的能帶是拓?fù)淦接沟?

接下來(lái),分析拓?fù)湎噙吔绲牧硪恍┩負(fù)涮匦?首先,在k空間定義一個(gè)三維的矢量場(chǎng)F(k) :

其中sgn(·)是符號(hào)函數(shù).可以看出,場(chǎng)F存在扭結(jié),扭結(jié)出現(xiàn)在kc=arccos(-1/2t1) 的位置,在第一布里淵區(qū) (-π,π] 中,kc有兩個(gè)取值.這兩個(gè)扭結(jié)正是第一類(lèi)相邊界的能帶簡(jiǎn)并點(diǎn).兩個(gè)扭結(jié)的拓?fù)浜煞謩e為1 和—1.為了直觀地看到場(chǎng)F的扭結(jié),圖6 給出了(40)式中自旋期待值隨k的變化.從這里也能夠判斷出,第一類(lèi)相邊界上的兩個(gè)能帶簡(jiǎn)并點(diǎn)(也稱(chēng)為節(jié)點(diǎn))是受到拓?fù)浔Ｗo(hù)的.

圖6 參數(shù)設(shè)定為 t1=t2=1 (第一類(lèi)相邊界上)時(shí)矢量F(k) 隨波矢k 的變化.圖中箭頭表示自旋的方向,kc 為能級(jí)簡(jiǎn)并點(diǎn)處的波矢Fig.6.The variation of the vector F (k) as k changes with t1=t2=1 .The arrows and kc indicate the direction of the spin and degenerate energy point respectively.

對(duì)于第二類(lèi)相邊界,即參數(shù)滿足|t1+t2|=1時(shí),場(chǎng)矢量F(k) 為

此時(shí)場(chǎng)矢量F與k無(wú)關(guān),也就是說(shuō)這時(shí)不存在扭結(jié).因此,這時(shí)的節(jié)點(diǎn)是拓?fù)淦接沟?

至此,了解到只有第一類(lèi)相邊界的能帶節(jié)點(diǎn)是受到拓?fù)浔Ｗo(hù)的,因此在這一節(jié)點(diǎn)處一定有其獨(dú)有的對(duì)稱(chēng)性.接下來(lái)討論這一問(wèn)題.當(dāng)系統(tǒng)處在第一類(lèi)相邊界時(shí),參數(shù)滿足t1=t2.這時(shí)系統(tǒng)不再是雙鏈SSH 模型,而變成了兩條完全相同的比特鏈.這時(shí)會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)雙鏈SSH 模型中沒(méi)有的對(duì)稱(chēng)性.這兩個(gè)對(duì)稱(chēng)性分別用一步平移算符和子格子反演算符來(lái)刻畫(huà).這兩個(gè)算符的作用分別為

由上文知,節(jié)點(diǎn)出現(xiàn)在波矢為kc的位置,對(duì)應(yīng)的能量簡(jiǎn)并本征態(tài)為

這些本征態(tài)滿足:

這說(shuō)明本文第一類(lèi)相邊界的節(jié)點(diǎn)受到一步平移對(duì)稱(chēng)性和子格子反演對(duì)稱(chēng)性的保護(hù).

5 結(jié)論

本文提出了利用transmon 比特實(shí)現(xiàn)耦合強(qiáng)度獨(dú)立可調(diào)的雙鏈SSH 模型的可行性實(shí)驗(yàn)方案,發(fā)現(xiàn)了拓?fù)浣^緣體和兩類(lèi)不同拓?fù)湫再|(zhì)的相邊界.構(gòu)建模型時(shí),本文首先設(shè)計(jì)了電容耦合的雙鏈transmon 比特,然后用兩個(gè)交流微波驅(qū)動(dòng)每一個(gè)transmon 比特,從而實(shí)現(xiàn)比特間耦合強(qiáng)度的獨(dú)立調(diào)控,最后通過(guò)改變比特間耦合參數(shù)實(shí)現(xiàn)交錯(cuò)的雙鏈SSH 模型.雙鏈SSH 模型是探索拓?fù)湮飸B(tài)的重要模型之一,本文提供了一種構(gòu)建雙鏈SSH 模型的新途徑.接下來(lái)探索了交錯(cuò)雙鏈SSH 模型的拓?fù)湫再|(zhì),首先計(jì)算了k空間中雙鏈SSH 模型的本征能量,并發(fā)現(xiàn)了兩種類(lèi)型的相邊界.之后在參數(shù)空間中畫(huà)出了拓?fù)湎鄨D,發(fā)現(xiàn)了兩類(lèi)拓?fù)浣^緣相,其拓?fù)鋽?shù)分別為1 和—1,對(duì)應(yīng)有兩類(lèi)邊界態(tài).拓?fù)湎鄨D也進(jìn)一步給出了兩類(lèi)相邊界的分布以及它們兩側(cè)拓?fù)鋽?shù)的值.最后分析了兩類(lèi)相邊界的拓?fù)湫再|(zhì).本文將布洛赫態(tài)映射為k空間的矢量場(chǎng),發(fā)現(xiàn)第一類(lèi)相邊界兩個(gè)能帶節(jié)點(diǎn)處的矢量場(chǎng)有兩個(gè)扭結(jié).兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的拓?fù)浜煞謩e為1 和—1,并且受到平移和反轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性的保護(hù).另外,本文發(fā)現(xiàn)第二類(lèi)相邊界的能帶節(jié)點(diǎn)處的矢量場(chǎng)不存在扭結(jié),節(jié)點(diǎn)是拓?fù)淦接沟?本文的結(jié)果填補(bǔ)了超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)雙鏈SSH 模型的空白,并為探索鏈條型物理系統(tǒng)、拓?fù)湮飸B(tài)以及節(jié)點(diǎn)型拓?fù)浒虢饘偬峁┝诵碌耐緩?