數(shù)學抽象能力培養(yǎng)的嘗試與思考
——以《三角形的認識與分類》教學為例

文|程茂山

數(shù)學抽象是三大數(shù)學基本思想之一。抽象能力主要是指通過對現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學的研究對象，形成數(shù)學概念、性質(zhì)、法則和方法的能力。包括“感悟數(shù)學抽象對于數(shù)學產(chǎn)生與發(fā)展的作用，感悟用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界的意義，形成數(shù)學想象力，提高學習數(shù)學的興趣”。小學階段抽象能力包括數(shù)感、量感和符號意識?！俺橄竽芰Α笔浅踔须A段核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)，然而，抽象在數(shù)學知識和數(shù)學教學中無處不在，小學生在數(shù)學學習過程中，經(jīng)常經(jīng)歷概念、性質(zhì)的抽象過程，因此，有必要在小學數(shù)學教學中嘗試進行學生數(shù)學抽象能力的培養(yǎng)，這對于學生思維品質(zhì)的提升、數(shù)學眼光的形成都有著重要意義?，F(xiàn)以蘇教版教材中《三角形的認識與分類》教學為例，從一年級的《圖形的直觀認識》到四年級的《三角形的特征》及《三角形的分類》這一由淺入深的抽象和認知過程來談一談教學中學生數(shù)學抽象能力培養(yǎng)的做法和體會。

一、從體到面——直觀感知，建立表象

蘇教版教材中，對三角形的認識始于一年級下冊第二單元《認識圖形（二）》，包含在對長方形、正方形、三角形和圓的直觀認識之中。

片斷1：（認識圖形）

師：今天大家都帶來了一些積木（長方體、正方體、三棱柱、圓柱）。請拿出一個自己最喜歡的，向大家介紹一下它的名稱。

師：老師也帶來了一些圖形（邊說邊出示），你們認識嗎？（隨著學生的回答，把圖形貼在黑板上）

師：今天這節(jié)課，我們就來認識長方形、正方形、三角形和圓。其實，這些圖形就藏在同學們手中的積木上呢。你們仔細看一看、摸一摸、找一找。

（學生在積木上找出平面圖形，教師引導學生說一說是在哪塊積木的哪個面上找到的）

師：剛才分別從長方體、正方體、三棱柱、圓柱的面上找到了長方形、正方形、三角形和圓。如果它們能從積木上“走”下來跟大家見見面，該有多好啊! 你們有什么好辦法嗎？在小組內(nèi)商量商量。

（學生交流想法）

師：下面就請大家像老師這樣把這些圖形畫在紙上。

（教師出示學生畫出的圖形，引導學生說一說，各個圖形分別是用哪個積木的哪個面畫下來的）

（根據(jù)學生的回答，依次出示）（如下圖所示）

師：像這樣，把長方體的一個面畫下來，畫出的圖形是長方形；把正方體的一個面畫下來，畫出的圖形是正方形；把三棱柱的底面畫下來，畫出的圖形是三角形……

學生的任何認知活動都是基于已有經(jīng)驗的，可以是生活經(jīng)驗，也可以是知識經(jīng)驗。在認識圖形之前，學生的認知經(jīng)驗中是沒有抽象的平面圖形的。上述片斷中，教師借助學生已有經(jīng)驗組織教學，利用幾何體形狀的積木，引導學生經(jīng)歷“找”“畫”“說”的認知過程。學生通過“看一看、摸一摸、找一找”，在視覺和觸覺的作用下，形成對幾種平面圖形的充分感知；通過把幾何體的某個面描畫下來，經(jīng)歷了由幾何體上的面到平面圖形的抽象過程，由于是親自動手畫的，學生對圖形的形狀有著深刻的感悟；在“說一說”的過程中，學生表述“這個圖形（三角形）是用這塊積木（三棱柱）的底面畫下來的”等，有助于學生明晰幾何體上的面與平面圖形的對應關(guān)系，提升感性認識。

在學生經(jīng)歷“從體到面”的感性認識的基礎(chǔ)上，教師順其自然地揭示和明確了圖形的名稱。這一環(huán)節(jié)的學習過程中，學生經(jīng)歷了由幾何體到幾何體上的面，再到平面圖形的抽象過程。

二、從具體到一般——抽象特征，形成概念

片斷2：（三角形的特征）

課件出示一組圖形（如下圖）。

師：請同學們仔細觀察這些圖形，看看你有什么發(fā)現(xiàn)？再把這些圖形分分類，說說你是怎樣分的。

生1：我把這些圖形分為長方形、正方形、三角形三類，是根據(jù)形狀分的。

生2：我把長方形和正方形分為一類，把三角形分為一類，是根據(jù)邊數(shù)分的。

師：兩種分法都把三角形單獨作為一類，今天，我們就來研究三角形。仔細觀察這幾個三角形，比較一下，看看它們有什么不同點和相同點。（從課件中隱去長方形、正方形，只保留3 個三角形）

生1：不同點是形狀不同。

生2：還有大小不同。

生3：相同點是三角形都有3條邊、3 個角。

生4：每個三角形3 條線段是首尾相接地圍起來的。

師：其實，這些相同點就是三角形的特征。試著說一說，什么樣的圖形是三角形？

（依據(jù)學生的回答規(guī)范概念并板書：三條線段首尾相接圍成的圖形叫作三角形）

有了低年級對圖形的直觀認識作為認知經(jīng)驗，本節(jié)課教學就可以直接從平面圖形引入。這一教學片斷有三個環(huán)節(jié)：首先，引導學生對一些不同圖形進行分類。在此過程中，學生需要通過觀察與比較，按照一定的標準進行分類。學生的兩種分法都是合理的，而且都把三角形單獨作為一類，這一分類的過程也是對三角形特征初步感悟的過程，為下一步的學習做好了準備。其次，對一組三角形進行觀察比較，找出異同點。生1、生2 發(fā)現(xiàn)的“形狀”“大小”這些不同點都是三角形的非本質(zhì)屬性；其余學生分別從不同角度說出了相同點，“3 條邊”“3 個角”“3條線段首尾相接”這些都是所有三角形共同具有的本質(zhì)屬性。這一學習過程，實際上就是學生自主發(fā)現(xiàn)三角形特征的過程。最后，形成三角形的概念。在學生已經(jīng)明確三角形特征的基礎(chǔ)上，教師引導學生試著說一說，什么樣的圖形是三角形？學生經(jīng)歷了三角形特征及概念的抽象過程，在認識上從“具體”上升到“一般”，從“感性”上升到“理性”。

三、從總到分——分類認識，構(gòu)建結(jié)構(gòu)

片斷3：（三角形的分類）

課件出示一組圖形（如下圖）。

師：同學們仔細觀察這6 個三角形，說一說每個三角形的3個角分別是什么角。

師：你們能根據(jù)角的特點把這些三角形分分類嗎？想一想、分一分，然后同桌交流一下想法。

師：你是怎么分的？把想法向全班匯報一下。

生：我分成了三類：②號和④號這兩個三角形的3 個角都是銳角；①號和⑥號這兩個三角形中都有1 個直角、2 個銳角；③號和⑤號這兩個三角形中都有1 個鈍角、2 個銳角。

（根據(jù)學生的回答，揭示：3 個角都是銳角的三角形是銳角三角形；有1 個角是直角的三角形是直角三角形；有1 個角是鈍角的三角形是鈍角三角形）

師：把所有三角形看作一個整體，銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形都是這個整體的一部分。它們之間的關(guān)系可以用集合圖來表示，請試著填一下。

（學生填圖之后，教師引導學生進一步解讀圖意）（如下圖所示）

不同的三角形在解決問題中有著不同的應用價值，為了深入了解三角形，有必要對其進行分類研究。教師引導學生經(jīng)歷了“觀察比較—自主分類—匯報交流”的學習過程，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)學生的回答揭示三類三角形的名稱。最后，引導學生感悟三角形與三類具體三角形之間整體與部分的關(guān)系，嘗試填寫集合圖，并聯(lián)系此圖體會上述分類方法的合理性與嚴謹性，使學生對三角形的認識結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化。在后續(xù)的教學中還可以根據(jù)邊的特點對三角形進行分類，從另一個視角來進一步認識三角形。

【教學思考】

一、提供豐富的感知對象

從抽象的本質(zhì)內(nèi)涵看，要想進行抽象，首先必須要有豐富的、具體的感知對象，而且提供的感知對象應該具有全面性和差異性，這樣更有助于通過分析和比較舍棄事物的非本質(zhì)屬性，分離出本質(zhì)屬性。

如“片斷1”的教學中，由于學生對平面圖形的認知是由體到面的，所以，教師讓學生準備了若干個長方體、正方體、三棱柱、圓柱積木作為感知對象，引導學生從積木上感知平面圖形。再如“片斷2”的教學中，教師準備了若干個形狀、大小各不相同的長方形、正方形、三角形，學生先通過分類初步感悟三角形的特征，再通過對不同三角形（3 個三角形分別是銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形）的觀察與比較抽象出三角形的本質(zhì)特征。還可以看出，數(shù)學抽象是有層次性的，實物層面的抽象需要提供現(xiàn)實生活中的材料（如積木）；符號層面的抽象是建立在表象基礎(chǔ)上的，需要提供符號化的材料（如圖形）。

二、引導學生經(jīng)歷抽象過程

數(shù)學抽象是一種特殊的思維過程，抽象能力的培養(yǎng)需要學生經(jīng)歷具體的抽象過程。抽象的基本過程一般要經(jīng)歷四個階段：第一階段是感知與識別提供的數(shù)學對象；第二階段是把研究對象的本質(zhì)屬性從其所有屬性中分離出來；第三階段是確定本質(zhì)屬性；第四階段是把本質(zhì)屬性加以提煉和簡化。

如“片斷2”的教學中，教師首先引導學生觀察圖形（若干個長方形、正方形、三角形），并對圖形進行分類，通過這一環(huán)節(jié)，學生把三角形與長方形、正方形區(qū)別開來，對三角形有了初步感悟；接著，引導學生聚焦于對幾個三角形的研究，學生在觀察、比較的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)了幾個三角形的不同點和相同點，從而把三角形的本質(zhì)屬性分離出來；此后，啟發(fā)學生說一說什么樣的圖形是三角形，明確了三角形的本質(zhì)特征；最后，依據(jù)學生的回答規(guī)范三角形概念，實現(xiàn)三角形概念的提煉和簡化。整個學習過程基本對應了抽象過程的幾個階段，學生對三角形特征有了深刻的理解，同時數(shù)學抽象能力得到了培養(yǎng)。

三、對抽象出的結(jié)論進行分類與辨別，完善認知結(jié)構(gòu)

按照“垂直數(shù)學化”的理論，一個新的概念形成之后，便會按照其自身發(fā)展的內(nèi)在邏輯，對數(shù)學材料進行組織、整理和拓展，建立新的知識體系，形成某種系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的知識網(wǎng)絡。如從具體到一般抽象出三角形概念后，在“片斷3”的教學中，教師引導學生通過觀察和比較，把三角形按照“角”的情況分為三類，并揭示銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形三個概念，在此基礎(chǔ)上，引導學生填寫集合圖，感悟三角形與三類具體三角形之間整體與部分的關(guān)系以及三類三角形的并列關(guān)系，使學生形成對三角形的系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化認知。