數(shù)學(xué)可以畫嗎
——兼論“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)的方法論依據(jù)和目標(biāo)導(dǎo)向

文|陳 昱（特級教師） 何玉聰

“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)研究項(xiàng)目自2014 年由安徽省合肥市陳昱名師工作室作為研究主題正式推進(jìn)以來，不斷發(fā)展精進(jìn)，也遇到并逐步解決了諸多問題，其中比較普遍的質(zhì)疑是：數(shù)學(xué)是很抽象的，可以畫嗎？本文試圖從“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)的方法論依據(jù)和目標(biāo)導(dǎo)向兩個層面來回答這個問題。

一、數(shù)形結(jié)合思想是“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)的方法論依據(jù)

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，具有高度的抽象性、邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性和應(yīng)用的廣泛性；由皮亞杰認(rèn)知發(fā)展階段理論可知，小學(xué)生受其年齡和認(rèn)知發(fā)展水平的限制，抽象思維和邏輯思維能力尚在發(fā)展中，比較薄弱，常常在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時遇到困難。即小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)存在一對主要矛盾：一方面是小學(xué)生薄弱的抽象、邏輯思維能力，另一方面是數(shù)學(xué)學(xué)科高度的抽象性和邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)面臨著一個無法回避的核心問題：怎樣引導(dǎo)小學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)？

經(jīng)過長期的實(shí)踐探索，我們找到的解決路徑是回到數(shù)學(xué)的研究對象，研究“數(shù)”和“形”的相互關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，引導(dǎo)小學(xué)生用直觀之“形”表征抽象之“數(shù)”，或用精微之“數(shù)”闡明簡達(dá)之“形”，從而幫助他們理解數(shù)學(xué)概念、解決數(shù)學(xué)問題、發(fā)展數(shù)學(xué)思維等，實(shí)現(xiàn)由“數(shù)學(xué)畫”到“數(shù)學(xué)化”的自然而有效的過渡，讓小學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)有兩個最古老、最基本的研究對象：數(shù)與形。在一定條件下，數(shù)與形能夠互相轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合思想就是利用數(shù)與形之間這種對應(yīng)關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化來解決問題的思想方法。它的應(yīng)用一般有兩種情況：一種是借助數(shù)的程序性、可操作性和精確性來闡釋形的一些性質(zhì)；一種是借助形的幾何直觀性來闡釋一些概念或數(shù)之間的某種關(guān)系。即數(shù)形結(jié)合包括兩個方面：“以數(shù)解形”和“以形助數(shù)”，數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休”。在小學(xué)數(shù)學(xué)所有領(lǐng)域的學(xué)習(xí)中，數(shù)形結(jié)合思想都有著十分廣泛的應(yīng)用，主要涉及：利用“形”的直觀性作為工具輔助小學(xué)生理解并掌握知識和解決問題，運(yùn)用代數(shù)或算術(shù)方法解決幾何問題、幾何概念模型和統(tǒng)計(jì)圖表，在小學(xué)滲透數(shù)軸和平面直角坐標(biāo)系等。

數(shù)形結(jié)合思想從方法論角度為“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)提供理論依據(jù)，并突出畫數(shù)學(xué)的理論支撐更多源于數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，并非數(shù)學(xué)與美術(shù)的融合，雖然“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)也有跨學(xué)科融合。“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)通過“畫概念”“畫計(jì)算”“畫思路”“畫結(jié)構(gòu)”“畫繪本”五種課型的教學(xué)研究將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用到小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)、計(jì)算教學(xué)、問題解決教學(xué)、復(fù)習(xí)或預(yù)習(xí)教學(xué)、綜合實(shí)踐教學(xué)等多領(lǐng)域，并在大單元整體教學(xué)視角下分課型梳理出教學(xué)策略。

當(dāng)然，“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)也會應(yīng)用到數(shù)學(xué)多元表征理論，即：運(yùn)用兩種或以上的不同的表現(xiàn)形式對某一數(shù)學(xué)研究對象進(jìn)行言語視覺化呈現(xiàn)；“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)也會涉及圖示法，比如有學(xué)者認(rèn)為圖示法是利用幾何的點(diǎn)、線、面、體，不同色彩等要素將所研究對象的內(nèi)部特征、體系結(jié)構(gòu)、相互關(guān)系、對比情況等方面的內(nèi)容，繪制成清晰明了、通俗易懂的圖形，用來說明所要研究對象的量與量之間的對比關(guān)系的一種方法。如果我們仔細(xì)思考，可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)多元表征是從認(rèn)知心理學(xué)角度、圖示法是從教學(xué)法角度來分析的。筆者以為，正因?yàn)閿?shù)學(xué)具有這樣的數(shù)形結(jié)合思想，所以數(shù)學(xué)教學(xué)才可以廣泛應(yīng)用以圖像表征為主的多元表征和圖示法?？傊?，數(shù)形結(jié)合思想是“數(shù)學(xué)可以畫”的根本原因，也是“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)的方法論依據(jù)。

二、數(shù)學(xué)育人是“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)的目標(biāo)導(dǎo)向

立德樹人是教育的根本任務(wù)，以數(shù)學(xué)育人則是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的不懈追求，必然指向小學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育?！皵?shù)學(xué)畫”教學(xué)主要依靠學(xué)科內(nèi)部的數(shù)形關(guān)系，也高度重視數(shù)學(xué)學(xué)科特征之一即廣泛的應(yīng)用性，注重溝通數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，以“畫數(shù)學(xué)”為主要載體，聚焦小學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育，分課型、分階段地探索“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)的有效途徑與策略。

有了如上數(shù)學(xué)育人的目標(biāo)導(dǎo)向，針對“抽象的數(shù)學(xué)能畫嗎？”這個問題，“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)目前做得最多的一件事是“以形象表征抽象”。

（一）“以形象表征抽象”的重要性

數(shù)學(xué)知識因其抽象性而不易理解，數(shù)學(xué)思維因其內(nèi)隱性而不易把握，因此表征數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中就顯得尤為重要，基于表征數(shù)學(xué)進(jìn)而理解數(shù)學(xué)。可以說，沒有對數(shù)學(xué)的表征，就沒有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

關(guān)于表征，有兩種情況：

1.布魯納的表征模式

布魯納認(rèn)為兒童思維活動依賴外在刺激，且刺激的程度決定著兒童的心智成長。他用動作的、圖像的和符號的不同表征代表思維活動的三種程度，兒童以線性方式來獲得數(shù)學(xué)概念，他們順著動作表征發(fā)展到圖像表征，最終上升為抽象思考。處于動作表征階段的兒童思維需要借助實(shí)物的具體操作來完成；圖像表征是當(dāng)具體的實(shí)物消失后，兒童能夠根據(jù)具體實(shí)物的影像在其頭腦里制作心像來進(jìn)行的內(nèi)在思維活動；能抽象思考的兒童則可以對數(shù)學(xué)符號直接進(jìn)行思維操作。

此類表征模式強(qiáng)調(diào)學(xué)生的認(rèn)知水平及與之相配套的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理過程。例如，二年級學(xué)生學(xué)習(xí)兩位數(shù)加兩位數(shù)進(jìn)位加法時，對于筆算算法的掌握和算理的理解，不是一開始就面對豎式，而是先擺小棒、撥珠子等學(xué)具操作，屬于動作表征；再畫圖記錄這樣的操作，一般是教師利用板書或課件動態(tài)完成，化動為靜，類似于圖像表征，輔助理解操作；最后用豎式記錄計(jì)算的過程，圖式對應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解豎式筆算，輔助學(xué)生進(jìn)入符號表征，完成知識內(nèi)化；還可以由學(xué)生畫圖來探究或表征算理（見圖1、2）。在這個過程中，畫圖是動手操作與數(shù)學(xué)符號之間的橋梁，有助于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，也就是從“數(shù)學(xué)畫”到“數(shù)學(xué)化”。

圖1

圖2

這種情況下，“以形象表征抽象”更多是“經(jīng)形象到達(dá)抽象”。

2.萊什的表征模式

萊什修正了布魯納表征發(fā)展的線性方式，認(rèn)為不同表征是平面網(wǎng)狀式的互動發(fā)展，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有實(shí)際情境、圖像、操作、口語符號、文字符號等五種表征，提出在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上可以用加強(qiáng)廣度來提升深度（如圖3）。

圖3

這種表征模式特別強(qiáng)調(diào)表征形式的多元并存和相互轉(zhuǎn)換。類似于上文提到的“數(shù)學(xué)多元表征”，更多是從數(shù)學(xué)理解的視角來看，不承認(rèn)不同表征形式之間存在思維水平上的差異，認(rèn)為每一種表征形式都可以反映不同的思維水平，它們具有同等價(jià)值。比如《負(fù)數(shù)的認(rèn)識》這節(jié)課，就體現(xiàn)了萊什表征模式“強(qiáng)調(diào)各種表征之內(nèi)和表征之間的轉(zhuǎn)換”的特點(diǎn)。課堂上，學(xué)生說一說生活中的負(fù)數(shù)及其意義，再動作演示（向左走若為正、向右走則為負(fù)等）負(fù)數(shù)的意義，畫圖表示負(fù)數(shù)，寫一寫負(fù)數(shù)……不同表征之間靈活切換；其中畫圖是重點(diǎn)活動，同樣的數(shù)“-3”，不同學(xué)生呈現(xiàn)不同的畫法（如圖4），圖像表征之內(nèi)相互轉(zhuǎn)換。畫圖在此是多元表征中的一元，為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供腳手架，助其思維外顯，從而使學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生。

圖4

這種情況下，“以形象表征抽象”其實(shí)是“用形象理解抽象”。

（二）“以形象表征抽象”的可行性

數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)指向數(shù)學(xué)育人，指向培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。怎樣通過“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)培育小學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？一言以蔽之，還是“以形象表征抽象”。小學(xué)階段，常常需要從“形象”入手，經(jīng)“形象”過渡到“抽象”，不僅達(dá)到數(shù)學(xué)化目的，還會超越“抽象”，達(dá)成“育人”目標(biāo)。主要有以下幾點(diǎn)做法。

1.以“形象”順應(yīng)兒童心理

小學(xué)生處于以形象思維為主、由形象思維漸漸發(fā)展到抽象邏輯思維的階段，“數(shù)學(xué)畫”活動與小學(xué)生喜歡“形象”的天性吻合，可以很好地激發(fā)和保持小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。隨著年級的升高，“數(shù)學(xué)畫”活動的內(nèi)容、形式和教學(xué)策略也會相應(yīng)變化，簡單說，低年級聚焦“怎么畫”問題，重在畫法指導(dǎo)；中年級圍繞“怎么想”問題，偏向思維提升；高年級緊扣“怎么創(chuàng)”問題，側(cè)重創(chuàng)新能力培養(yǎng)?？v觀小學(xué)六年的“數(shù)學(xué)畫”學(xué)習(xí)，“畫圖”“思維”“創(chuàng)新”三個要素貫穿始終，只是不同學(xué)段側(cè)重點(diǎn)不一樣，在教學(xué)中教師需要明確“畫圖”只是一種手段，比“畫圖”更重要的是“思維”和“創(chuàng)新”，后者才是目的，是小學(xué)階段著重培育的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

2.以“形象”放慢學(xué)習(xí)過程

“畫數(shù)學(xué)”引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識形成或問題解決的過程，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的學(xué)習(xí)參與是一種“再創(chuàng)造”和“做數(shù)學(xué)”，必然需要更多的時間。當(dāng)我們從小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的整體視角審視“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)，既需要堅(jiān)持設(shè)計(jì)和實(shí)施放慢學(xué)習(xí)過程的“數(shù)學(xué)畫”活動，又需要合理規(guī)劃統(tǒng)籌安排“數(shù)學(xué)畫”活動的教學(xué)植入。概括地說，我們需要根據(jù)數(shù)學(xué)育人的目標(biāo)要求，整體地、科學(xué)地設(shè)計(jì)“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)，在這個意義上，“數(shù)學(xué)畫”學(xué)材的編著與使用應(yīng)運(yùn)而生。目前，學(xué)材2.0 版已經(jīng)投入使用，以人教版數(shù)學(xué)教科書單元編寫體系為綱，植入相應(yīng)的“數(shù)學(xué)畫”活動，整體規(guī)劃、全冊配套、螺旋設(shè)計(jì)，并在實(shí)施中不斷修訂?！皵?shù)學(xué)畫”學(xué)材著力保障課程實(shí)施的有效性，也確保在必要的時候放慢過程，以實(shí)現(xiàn)小學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育。

3.以“形象”整合多元表征

就“畫圖”本身而言，也可以培養(yǎng)學(xué)生的畫圖素養(yǎng)：主動畫圖、善于畫圖和不惟畫圖。在這個意義上說，畫圖既是手段也是目的。主動畫圖是學(xué)生最終擁有畫圖輔助學(xué)習(xí)的自覺性、主動性；善于畫圖指學(xué)生具備畫圖的能力，想畫圖時就能畫合適的圖；不惟畫圖則是指不能囿于畫圖這一種策略和能力。

“畫圖”本身既有作為名詞的“圖畫”意，也有作為動詞的“畫圖”意，所以“畫數(shù)學(xué)”是圖畫表征和動作表征的合一；不惟畫圖意味著多元表征、多樣方法、多維能力中不僅僅強(qiáng)調(diào)畫圖（圖像）這一元、一樣、一維，而是等量齊觀，具體問題各有側(cè)重，合適就好；不惟畫圖也意味著“數(shù)學(xué)畫”的畫圖從來不是孤立的，“數(shù)學(xué)畫”以畫圖為主要表征手段，融合其他表征形式，構(gòu)建多鏈接、多維度的網(wǎng)狀學(xué)習(xí)場域，最終指向育人目標(biāo)。比如，五年級有一節(jié)《圖形變變變》的專題練習(xí)課，從長方形活動框引入，經(jīng)歷“拉一拉、畫一畫、說一說、想一想、做一做、比一比”等多個關(guān)聯(lián)活動，既有學(xué)具操作、畫圖、測量、言語交流、符號記錄等多元表征，又有圍繞畫圖的“數(shù)學(xué)畫+”活動，比如基于畫圖的多次說圖、評圖活動。

從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育角度看，拋開針對“數(shù)學(xué)畫”作品的多樣活動不說，單就畫作本身而言，其所能承載的教育價(jià)值也是多方面的。比如圖5 是一幅“畫思路”的學(xué)生作品，不難看出其包含著如下核心素養(yǎng)的養(yǎng)成：數(shù)感，情境中數(shù)的理解、數(shù)量關(guān)系的直觀感悟和簡潔表達(dá)；量感，對線段長度的直觀感知；符號意識，運(yùn)用符號表達(dá)和分析數(shù)量關(guān)系；運(yùn)算能力，選擇合理簡潔的運(yùn)算策略解決問題；幾何直觀，溝通數(shù)形聯(lián)系，建立數(shù)學(xué)問題的直觀模型，利用圖形來表達(dá)和分析現(xiàn)實(shí)情境與數(shù)學(xué)問題，探索問題解決思路；推理意識，從已知條件出發(fā)，通過簡單的歸納或者類比，猜想或者發(fā)現(xiàn)初步的結(jié)論……

圖5

如何讓小學(xué)生學(xué)習(xí)抽象的數(shù)學(xué)？比如，如何讓他們理解點(diǎn)、線、面等抽象概念？筆者以為最好的方法不是讓學(xué)生直接討論“點(diǎn)無大小、線無粗細(xì)、面無厚薄”，那樣只會適得其反，越說越糊涂；我們的做法是，用形象表征抽象，用有限表征無限，在學(xué)生認(rèn)知能力范圍內(nèi)增進(jìn)理解、促進(jìn)成長，在畫數(shù)學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)，以數(shù)學(xué)育人。我們的實(shí)踐表明，數(shù)學(xué)是能夠畫的，也是應(yīng)該畫的。