數(shù)控機(jī)床幾何誤差的雅克比旋量建模

陳 坤, 劉 順, 金 隼

(上海交通大學(xué) 上海市復(fù)雜薄板結(jié)構(gòu)數(shù)字化制造重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200240,E-mail: scu90ck@163.com)

提高機(jī)床精度是高端數(shù)控機(jī)床產(chǎn)品研發(fā)的目標(biāo),也是我國機(jī)床行業(yè)亟需加快突破的核心技術(shù)挑戰(zhàn)之一。幾何誤差和熱誤差是導(dǎo)致機(jī)床精度損失的最重要因素[1-2],由于幾何誤差具有重復(fù)性、可測量性和穩(wěn)定性[3],因此減小幾何誤差是提高機(jī)床精度最經(jīng)濟(jì)有效的方法之一。機(jī)床幾何誤差是指機(jī)床設(shè)計(jì)、制造導(dǎo)致的機(jī)床中各組成環(huán)節(jié)或部件的實(shí)際幾何參數(shù)和位置相對于理想值發(fā)生偏離的誤差,以五軸數(shù)控機(jī)床為例,其幾何誤差包含有位置度、直線度、角度等41項(xiàng),其產(chǎn)生、傳遞和作用機(jī)理復(fù)雜。機(jī)床幾何誤差正向設(shè)計(jì)時依據(jù)機(jī)床檢測標(biāo)準(zhǔn)和工程經(jīng)驗(yàn)對各軸精度進(jìn)行“靠近式”設(shè)計(jì),零件制造裝配后,對機(jī)床幾何誤差進(jìn)行檢測,對超差部分進(jìn)行“修配”,使其精度達(dá)到檢測要求。這種依靠經(jīng)驗(yàn)式的設(shè)計(jì)與裝配,由于缺乏零部件誤差與機(jī)床幾何誤差映射關(guān)系的理論指導(dǎo),無法對幾何誤差進(jìn)行源頭追溯與量化處理,前期設(shè)計(jì)時對公差賦值科學(xué)性不強(qiáng),導(dǎo)致修配的工作量大,裝配周期長。

目前以國標(biāo)為設(shè)計(jì)準(zhǔn)則的機(jī)床設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn),僅僅規(guī)定了機(jī)床幾何誤差的檢測標(biāo)準(zhǔn),并未對幾何誤差的設(shè)計(jì)做出指導(dǎo)。為了對機(jī)床幾何誤差進(jìn)行優(yōu)化,必須要建立幾何誤差的參數(shù)化模型,建立幾何誤差與零部件誤差的關(guān)聯(lián)關(guān)系,通過建立幾何誤差的約束方程,獲得幾何誤差的變動范圍。雅可比旋量模型綜合運(yùn)用了適合公差傳遞的雅克比矩陣及適合公差表達(dá)的旋量模型,能夠?qū)θS空間內(nèi)的公差傳遞進(jìn)行表達(dá)與求解。陳華[4]利用雅克比旋量模型進(jìn)行發(fā)動機(jī)裝配過程的優(yōu)化,提高了發(fā)動機(jī)裝配精度與效率;丁司懿[5]針對航空發(fā)動機(jī)多級轉(zhuǎn)子堆疊裝配的特點(diǎn),基于雅可比旋量模型提出了主副基準(zhǔn)的概念,并提出了轉(zhuǎn)子堆疊的優(yōu)化裝配方法;杜正春等[6]將此模型應(yīng)用在機(jī)床裝配中,用于確定機(jī)械零件中的關(guān)鍵誤差如何影響和累積到綜合誤差,并對相關(guān)特征進(jìn)行了敏感性分析。黃杰等[7]針對機(jī)床制造和裝配過程中產(chǎn)生的幾何誤差, 提出了基于旋量理論的數(shù)控機(jī)床幾何誤差分離與補(bǔ)償方法。以上這些研究說明了利用雅克比旋量模型進(jìn)行公差分析的適用性和有效性。

本文針對數(shù)控機(jī)床幾何誤差設(shè)計(jì)缺乏理論指導(dǎo),無法建立幾何誤差與機(jī)床零部件誤差映射關(guān)系的現(xiàn)狀,建立了基于雅克比旋量模型的數(shù)控機(jī)床幾何誤差的參數(shù)化模型,對幾何誤差的影響因素進(jìn)行分析溯源,為機(jī)床幾何誤差設(shè)計(jì)與調(diào)整提供了理論指導(dǎo)。

1 雅克比旋量模型

雅克比矩陣來源于機(jī)器人運(yùn)動學(xué),用于機(jī)器人各關(guān)節(jié)位姿與速度、加速度等參數(shù)的傳遞與計(jì)算,Laperrière和Lafond[8-9]將公差特征中的傳遞路徑視為虛擬關(guān)節(jié),將雅可比矩陣引入到裝配體的公差傳遞中,這樣可以用來計(jì)算功能要求在公差域中的變動,其矩陣表達(dá)式為:

(1)

(2)

其中:dxin=dxn-dxi,dyin=dyn-dyi,dzin=dzn-dzi。

▲圖1 旋量模型示意圖

旋量理論(Torsor Theory)最初是被用來描述物體的位姿變換,物體的任意位姿變動都可以分解為一個繞某一直線的平動和繞該直線的轉(zhuǎn)動,因此這種運(yùn)動又被稱為螺旋運(yùn)動[10]。后來Clément[11-13]將該理論應(yīng)用到公差模型的表達(dá)中,用一組沿著坐標(biāo)軸移動的矢量ε和一組繞著坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動的矢量ρ以對特征在公差域內(nèi)的變動進(jìn)行表達(dá),如圖1所示。

S0為特征理論值,S1為特征在公差范圍內(nèi)的變動值,那么變動值S1相對理論值S0的波動范圍為T,變動后的特征S1相對變動前的特征S0的旋量表達(dá)為:

(3)

式中:α、β與γ是繞坐標(biāo)軸的三個轉(zhuǎn)動矢量,u、v和w為沿著坐標(biāo)軸移動的三個移動矢量。此旋量表達(dá)了特征在公差域內(nèi)的波動范圍,只要對旋量內(nèi)的變動矢量加以限制,即是對特征公差加以限制,這樣就建立了旋量內(nèi)矢量波動范圍與特征公差波動范圍的關(guān)聯(lián)性。

雅克比旋量模型是由Desrochers等[14]提出的,該模型將適用于公差傳遞的雅可比矩陣模型與適合公差表達(dá)的旋量模型相結(jié)合,非常適合域三維公差分析與求解,近些年也受到研究者的廣泛關(guān)注。其模型表達(dá)為:

(4)

式中:方程左邊為功能需求特征的旋量表達(dá),方程右邊為功能特征的雅可比矩陣與功能特征的旋量表達(dá)。

2 數(shù)控機(jī)床幾何誤差的雅克比旋量建模

以五軸機(jī)床為例,其每個軸有幾何誤差6項(xiàng),三個移動軸之間有垂直度誤差3項(xiàng),加上每個回轉(zhuǎn)軸垂直度誤差2項(xiàng)、位置度誤差2項(xiàng),共計(jì)41項(xiàng)幾何誤差。

2.1 運(yùn)動軸軸內(nèi)幾何誤差的建模

根據(jù)ISO 230-1[15]對幾何誤差給出的定義,以Z軸為例,直線軸的6項(xiàng)誤差分別是εzz-Z軸的定位誤差,εyz-Y軸方向上的直線度誤差,εxz-X軸方向上的直線度誤差,δzz-繞Z軸回轉(zhuǎn)的角度誤差(滾轉(zhuǎn)誤差),δyz-繞Y軸回轉(zhuǎn)的角度誤差(俯仰誤差),δxz-繞X軸回轉(zhuǎn)的角度誤差(偏擺誤差)。在J-T模型中,解決的是尺寸鏈中功能需求特征在基準(zhǔn)坐標(biāo)系下的位姿變動。機(jī)床床身工作臺簡圖如圖2所示。

▲圖2 數(shù)控機(jī)床X軸示意圖

工作臺運(yùn)動方向?yàn)閆方向,根據(jù)運(yùn)動J-T模型的求解流程,功能需求為上方工作臺相對床身坐標(biāo)系的位姿變動,其表達(dá)為

(5)

2.2 運(yùn)動軸軸間幾何誤差的建模

▲圖3 J-T模型下垂直度幾何誤差的對應(yīng)

對于軸間的幾何誤差,以X軸與Y軸間的軸間誤差Sxy為例進(jìn)行討論,如圖3所示。

機(jī)床X軸與Y軸均固定在基座上,機(jī)床的X軸運(yùn)動依靠X軸滑塊在X軸導(dǎo)軌上的滑動,機(jī)床Y軸運(yùn)動依靠Y軸滑塊在Y軸導(dǎo)軌上的滑動,X軸導(dǎo)軌滑塊及其上的附屬部件形成X軸的六項(xiàng)幾何誤差,Y軸導(dǎo)軌滑塊及其上的附屬部件形成Y軸的六項(xiàng)幾何誤差。

以X軸導(dǎo)軌為基準(zhǔn),Y軸導(dǎo)軌相對X軸導(dǎo)軌的位姿變動構(gòu)成了Y軸相對于X軸的幾何誤差,根據(jù)J-T模型的求解流程,功能需求為Y軸導(dǎo)軌相對于X軸導(dǎo)軌坐標(biāo)系的位姿變動,其表達(dá)為

(6)

▲圖4 J-T模型下X與Y軸垂直度幾何誤差的對應(yīng)

根據(jù)X軸與Y軸之間垂直度的定義,以X軸為基準(zhǔn),Y軸與X軸之間實(shí)際角度與直角的差異,反映在J-T模型中,即是Y軸導(dǎo)軌相對X軸導(dǎo)軌的繞Z軸旋轉(zhuǎn),即對應(yīng)上式γ角,如圖4所示。

由圖4示可以看出,Y軸導(dǎo)軌相對X軸導(dǎo)軌的γ轉(zhuǎn)角即是X軸與Y軸間的垂直度誤差,只需建立二軸的J-T模型獲取Y軸導(dǎo)軌相對于X軸導(dǎo)軌坐標(biāo)系的位姿變動,就可以對Sxy的波動范圍進(jìn)行表達(dá)。同理,對于Y軸與Z軸間的垂直度誤差Syz,只需建立Y軸與Z軸的J-T模型獲取Z軸導(dǎo)軌相對于Y軸導(dǎo)軌坐標(biāo)系的位姿變動中的α轉(zhuǎn)角波動范圍;對于X軸與Z軸間的垂直度誤差Sxz,只需建立X軸與Z軸的J-T模型獲取Z軸導(dǎo)軌相對于X軸導(dǎo)軌坐標(biāo)系的位姿變動中的β轉(zhuǎn)角波動范圍,即可實(shí)現(xiàn)直線軸三個垂直度誤差的對應(yīng)。

由此可見,通過遴選基準(zhǔn)坐標(biāo)與目標(biāo)點(diǎn),基于雅可比旋量模型建立其描述方程,可以構(gòu)造所有幾何誤差的參數(shù)化表達(dá)。通過雅克比旋量模型進(jìn)行機(jī)床幾何誤差參數(shù)化表達(dá)的關(guān)鍵在于確定基準(zhǔn)坐標(biāo)系與特征需求。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本節(jié)以某公司某型號數(shù)控機(jī)床的εxz(Z軸方向上的X向直線度誤差)為例,對本文提出的基于雅克比旋量模型的幾何誤差參數(shù)化表達(dá)方法的有效性進(jìn)行說明,同時對其表達(dá)的精確性進(jìn)行驗(yàn)證。仍以圖2所示的臥式機(jī)床Z軸裝配體為例進(jìn)行說明,機(jī)床Z軸零部件的尺寸圖見圖5所示,尺寸表見表1,特征需求為滑塊上表面相對于床身坐標(biāo)系的位姿變動。

表1 Z軸裝配體尺寸表

▲圖5 Z軸裝配零部件尺寸圖

根據(jù)機(jī)床Z軸拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),零部件裝配形式及公差,可得到機(jī)床Z軸相關(guān)功能元素的運(yùn)動雅可比矩陣和相關(guān)特征旋量的表達(dá)如表2所示。

表2 數(shù)控機(jī)床Z軸子裝配功能元素的雅可比矩陣及旋量

根據(jù)表2可知,滑塊上表面相對床身底面坐標(biāo)系的位姿變換的FR(功能需求)表達(dá)式為

(7)

此處εxz對應(yīng)旋量表達(dá)中的v分量,帶入雅可比矩陣與旋量數(shù)據(jù),得

v∈[0,0.014]

(8)

依據(jù)6σ原則,

εxz∈[0.004 7,0.009 3]

(9)

▲圖6 數(shù)控機(jī)床εxz幾何誤差的測量

為了對模型結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證,對某公司PT50五臺機(jī)床的εxz進(jìn)行測量,如圖6所示。在工作臺上置檢測板,主軸上置千分表,千分表指針頂住檢測板右側(cè)面,工作臺沿Z軸運(yùn)動,千分表的示數(shù)波動量即是Z軸的X向誤差,測量結(jié)果與模型結(jié)果的對比如圖7所示。

▲圖7 雅可比矩陣模型參數(shù)化εxz與實(shí)驗(yàn)測量的比對

由實(shí)驗(yàn)與模型對比可以看出,實(shí)驗(yàn)測量的機(jī)床幾何誤差均在通過雅可比旋量模型參數(shù)化獲得的幾何誤差的公差范圍內(nèi),證明了通過雅可比旋量模型對幾何誤差進(jìn)行參數(shù)化表達(dá)的有效性,為后續(xù)通過雅可比旋量模型對幾何誤差的傳遞建模打下了基礎(chǔ)。