支點摩擦對半圓彎曲試樣應力強度因子影響研究

唐曉宇　呂川　黃詩淵

摘要：為探討支點摩擦對直槽半圓盤三點彎曲（NSCB）試樣應力強度因子的影響，采用有限元方法研究了無量綱裂縫長度a/R 、支點跨距S/2R及支點摩擦系數(shù)f 對無量綱應力強度因子YI的影響規(guī)律。結(jié)果表明：當a/R或S/2R一定時，隨著f 的增大，YI逐漸減小并趨于穩(wěn)定；當f一定時，YI隨a/R或S/2R的增大而增大，且a/R或S/2R越大，YI受支點摩擦的影響越顯著；考慮摩擦作用后，YI與S/2R 、a/R 、f的關系為多個不規(guī)則空間曲面，故根據(jù)圖中曲線進行插值計算較為方便。最后根據(jù)研究成果對兩種類巖石材料的I型斷裂測試結(jié)果進行了誤差修正。在室內(nèi)三點彎曲I型斷裂試驗中，若將支點取為固定約束，需在應力強度因子標定中考慮支點的摩擦影響。

關 鍵 詞：摩擦系數(shù)； 應力強度因子； 斷裂韌度； 半圓彎曲試驗

中圖法分類號： TU45 文獻標志碼： ADOI：10.16232/j.cnki.1001-4179.2023.06.027

0 引 言

斷裂韌度是評價含裂縫結(jié)構(gòu)的重要力學指標［1］。I型斷裂韌度定義為材料在靜荷載作用下抵抗裂紋擴展的能力，是預測實際工程巖體性質(zhì)的主要參數(shù)。在巖石斷裂力學領域，相關的斷裂測試方法很多，國際巖石力學與巖石工程學會（ISRM）先后提出了采用人字形切槽三點彎曲圓棒試樣（CB）［2］、人字形切槽短圓棒試樣（SR）［3］、人字形切槽巴西圓盤試樣（CCNBD）［4］以及直槽半圓盤三點彎曲試樣（NSCB）［5］來測試巖石的靜態(tài)Ⅰ型斷裂韌度。

其中，CB與SR均為“V”形切口試樣，具有基于巖芯的特色［6］，優(yōu)點在于不需要預裂也不需要測定裂紋長度。但它的不足之處是試樣在某一指定方向需要數(shù)量較大的整塊巖芯，斷裂時需要的載荷較小，加載系統(tǒng)較為復雜，短棒試件的制備較為繁瑣且僅能進行Ⅰ型斷裂測試。ISRM在1995年提出的CCNBD試樣體積小，卻具有較高的臨界荷載、試樣加載方便［7］以及對設備要求不高等優(yōu)點，在很多方面都優(yōu)于SR和CB試樣。但同時CCNBD也有其缺點，比如它為一種復雜的三維構(gòu)型，增加了研究者標定其無量綱應力強度因子值的困難［8］。

相比之下，ISRM于2014年提出的NSCB試樣［9］具有如下顯著優(yōu)勢：① 易于準備，采用以核心為基礎的標本幾何形式，要求僅為簡單的夾具；② 破壞以拉伸為主；③ 可以同時測試斷裂韌度和抗拉強度。

在三點彎曲加載時，試樣底部兩個支點通常是固定約束的，在支點完全固定時，試樣與支點間的摩擦無法忽略。近年來，NSCB試樣被廣泛運用于巖石材料的I型斷裂測試，但在I型應力強度因子KI標定時往往忽略了試樣與支點間摩擦對計算結(jié)果的影響。為了準確評估材料的斷裂韌度，有必要開展對支點摩擦作用的研究。

鑒于此，為查明支點摩擦對KI的影響，采用有限元方法建立了不同無量綱裂縫長度a/R、不同支撐跨度比S/2R的NSCB試樣數(shù)值模型，研究了支點摩擦系數(shù)對KI的影響規(guī)律，并查明了支點摩擦對斷裂韌度計算結(jié)果帶來的誤差。

1 NSCB試樣數(shù)值模型

1.1 NSCB試樣加載原理

NSCB試樣的結(jié)構(gòu)及加載示意圖如圖1所示。圖中，R為試件半徑，a是裂紋長度，B是試件厚度，S是底部支撐之間的距離（跨度），r是支座的半徑，F(xiàn)是施加于試樣的集中力。

根據(jù)線彈性斷裂力學的K判據(jù)，當載荷F達到峰值Fmax時，NSCB試樣的斷裂韌度KIC值由式（1）確定。

式中：Fmax為加載點峰值荷載；YI是與試樣幾何形狀相對應的無量綱應力強度因子。

1.2 NSCB試樣有限元模型建立

采用ABAQUS軟件中的圍線積分法對NSCB試樣的斷裂力學參數(shù)KI進行計算分析。首先，在裂縫尖端處設置奇異單元（16節(jié)點），圍繞奇異單元劃分了4圈二次積分八節(jié)點四邊形單元CPE8R，其余區(qū)域采用自由劃分產(chǎn)生八節(jié)點四邊形單元CPE8。

為了模擬NSCB試件的邊界條件，將底部的兩個支座完全固定（ux=uy=0），并限定頂部支座僅在垂直方向移動（ux=0），通過給頂部支撐施加豎直向下的集中力來給整個試件加載。將3個支座分別以離散剛體進行建模，并考慮支座與試樣之間的接觸摩擦。與以往直接施加荷載的方式相比，采用離散剛體建立支座模型能夠反映實際支點與材料之間的摩擦系數(shù)。

圖2給出了a/R=0.5，S/2R=0.5時NSCB試樣網(wǎng)格劃分模型，單元數(shù)為10 937，節(jié)點數(shù)為11 031。

1.3 應力強度因子計算方法

根據(jù)線彈性斷裂力學理論，在笛卡爾坐標系中的裂縫端部附近應力場可表示為

按照本文對裂縫端部附近網(wǎng)格的劃分方式，從第一個圍線到第5個圍線的應力強度因子的變化范圍均在0.1%以內(nèi)，說明模型計算結(jié)果具有較好的收斂性，本文直接使用第五個圍線的模擬結(jié)果來計算NSCB試樣的應力強度因子KI。

1.4 模型計算參數(shù)

計算分析之前，已經(jīng)考慮過不同彈性模量、泊松比對無量綱應力強度因子的影響。結(jié)果表明，無論彈性模量（0.1 GPa～100 GPa）、泊松比（0.1～0.4）如何改變，僅影響位移場，并不會對無量綱應力強度因子帶來任何影響。另外，Aliha等［10］和羅毅等［11］也對泊松比、彈性模量的影響進行了分析，所得到的結(jié)論與本文一致。

值得指出的是，在數(shù)值模擬中，采用的荷載F不同，試樣的受力狀態(tài)（應力強度因子）必然發(fā)生改變，但無量綱應力強度因子是不變的。而且，在具體試驗中，相同試樣結(jié)構(gòu)（S/R、a/R、R）具有相同的無量綱應力強度因子YI，但由于導致其臨界荷載Fmax受材料種類影響，所獲取的KIC是不同的。

鑒于此，本文模型彈性模量E與泊松比ν分別取20 GPa和0.25（應力強度因子標定中采用的材料本構(gòu)通常為線彈性），同時，控制B、R與F為常數(shù)，分別為：B=10 mm，R=50 mm，F(xiàn)=1 000 N。

1.5 模型合理性驗證

Kuruppu［5］和Lim［12］均給出了NSCB試樣的無量綱應力強度因子公式：

值得指出的是，裂縫過長和過短時，無量綱應力強度因子受試樣幾何特征及網(wǎng)格劃分的影響顯著，計算結(jié)果差異容易被放大。因此，應力強度因子公式通常存在一定適用范圍：a/R=0.4～0.6、S/2R=0.5～0.8，材料越硬，支點間距S/2R建議取大值，反之則相反［9］。

為驗證本文結(jié)果的合理性，將本文計算結(jié)果與前人結(jié)果進行了對比。從圖3（a）可知，在建議范圍內(nèi)本文結(jié)果與前人結(jié)果趨勢和數(shù)值均十分接近，當支點間距取小值時，本文結(jié)果稍低于Kuruppu和Lim的計算值，當支點間距取大值時，本文結(jié)果位于兩者之間。

為驗證本文結(jié)果的合理性，圖3（b）和（c）中給出了本文結(jié)果與前人計算結(jié)果的誤差值，誤差值由式（7）計算：

本文計算結(jié)果與Lim的計算結(jié)果誤差為0.78%～11.03%，與Kuruppu的計算結(jié)果誤差為0.51%～5.81%。

可知，本文數(shù)值模型計算得到的趨勢與前人基本一致，說明計算模型可用于進一步分析支點摩擦的影響分析。

1.6 計算方案

為探究支點摩擦對無量綱應力強度因子的影響，本文計算方案如下：考慮8種無量綱裂縫長度（a/R=0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8）、4種支點間距（S/2R=0.5，0.6，0.7，0.8）及11種支點摩擦系數(shù)（f=0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1.0），共計352個模型。

2 數(shù)值試驗結(jié)果分析

2.1 不同S/2R時支點摩擦對YI的影響

圖4給出了不同S/2R時支點摩擦對無量綱應力強度因子YI的影響關系曲線。

從圖4可知，隨著f增大，YI逐漸減小，最后在一定f值時趨于恒定。產(chǎn)生該現(xiàn)象原因是由于支點與NSCB試樣間存在摩擦作用，產(chǎn)生的摩擦力一定程度阻礙了裂縫的開裂，使得其起裂荷載更大，根據(jù)公式（8），起裂荷載越大，YI越小。

YI=2RBFπaKI（8）

此外還可發(fā)現(xiàn)，當無量綱裂縫長度a/R一定時，支點間距S/2R越大，試樣YI越大，受支點摩擦的影響也越明顯。以圖4（d）為例，當S/2R=0.5時，摩擦系數(shù)f增加至0.5時YI就趨于恒定，而當S/2R=0.8時，摩擦系數(shù)f增加至0.8時YI才趨于定值。

不考慮支點摩擦前，S/2R=0.8對應的YI=21.02大于S/2R=0.5對應的YI=12.63，而考慮支點摩擦后，S/2R=0.8對應的YI將趨于0.33，反而小于S/2R=0.5對應的YI最終趨于的0.49。

綜上可知，考慮支點摩擦后，無量綱應力強度因子YI逐漸減小，支點間距越大，YI受支點摩擦的影響更為顯著。

2.2 不同a/R時支點摩擦對YI的影響

圖5給出了不同a/R時支點摩擦對無量綱應力強度因子YI的影響關系曲線。

從圖5可發(fā)現(xiàn)，當支點間距固定時，不同裂縫長度情況下的YI隨f增大而減小，a/R越大，YI受支點摩擦的影響越大。以圖5（d）為例，當a/R=0.2時，摩擦系數(shù)f增加至0.3時YI就趨于恒定，而當a/R=0.8時，摩擦系數(shù)f增加至0.8時YI才趨于定值。

不考慮支點摩擦前，a/R=0.2對應的YI=4.56小于a/R=0.8對應的YI=21.02，考慮支點摩擦后，a/R=0.2對應的YI最終趨于3.00，而a/R=0.8對應的YI趨于0.33，遠小于前者。

綜上可說明，考慮支點摩擦后，無量綱應力強度因子YI逐漸減小，裂縫長度越長，YI受支點摩擦的影響更為顯著。

2.3 考慮支點摩擦的應力強度因子標定結(jié)果

通常地，傳統(tǒng)的應力強度因子標定時不考慮支點摩擦作用，給出的標定結(jié)果曲線一般如圖6（a）所示，YI～ a/R關系曲線通常是單調(diào)遞增形式。

從圖6（b）和（c）可知，考慮支點摩擦后，YI～a/R關系曲線形態(tài)會發(fā)生改變，隨著f增加，曲線從單調(diào)遞增形態(tài)變?yōu)橄葴p小后增大形態(tài)，當f增大至一定值時，曲線變?yōu)閱握{(diào)遞減形態(tài)。由此說明，支點摩擦對YI影響明顯，在摩擦系數(shù)f較大時尤為明顯。

傳統(tǒng)應力強度因子標定公式中未考慮支點摩擦，其無量綱應力強度因子YI僅受兩個變量控制，即S/2R和a/R，根據(jù)量綱分析，NSCB試樣的應力強度因子具有以下形式［13］：

KI=Fπa2RBYI=Fπa2RBf（aR，S2R）（9）

從圖7（a）中可明顯看出，當固定a/R時，YI與S/2R呈良好線性關系，因此，式（9）可改變成以下形式：

利用以上方法即可較好擬合YI與S/2R、a/R的關系曲線，得到相對較為簡潔的標定公式。

然而，考慮支點摩擦后，無量綱應力強度因子YI則由3個變量（S/2R、a/R、f）所控制。從圖7（b）可發(fā)現(xiàn)，當固定a/R時，考慮摩擦的YI與S/2R并未呈現(xiàn)明顯規(guī)律。

由圖6可知，YI與S/2R、a/R、f的關系實際上是多個空間曲面，若按照每個空間曲面導出相應的曲面方程，所得到的擬合方程擬合系數(shù)受曲面規(guī)則程度和擬合方程參數(shù)決定?？紤]支點摩擦后，形成的空間曲面并不規(guī)則，且不同摩擦系數(shù)f所對應的曲面方程形式存在差異。相對而言，直接給出不同情況下的標定結(jié)果曲線更為簡便，在Ⅰ-Ⅱ復合型斷裂試樣的標定中通常也是采用此類做法［14］。

由圖5的規(guī)律可知，支點間距S/2R越大，YI～a/R曲線趨于定值所需要的摩擦系數(shù)f就越大。鑒于此，本文給出了常用支點間距范圍S/2R=0.5～0.8時的無量綱應力強度因子標定結(jié)果（見圖8）。其中，以圖8（a）為例，當摩擦系數(shù)f超過0.5之后，曲線基本保持不變，即若實際試驗中支點摩擦系數(shù)f大于0.5，其仍可采用f=0.5對應的應力強度因子標定結(jié)果進行計算，若支點摩擦系數(shù)f小于0.5，則可根據(jù)圖中曲線進行插值計算。

3 材料I型斷裂試驗結(jié)果誤差分析

3.1 考慮支點摩擦的應力強度因子誤差分析

在室內(nèi)三點彎曲加載試驗中，底部支撐模具通常采用鋼性材料制作，且通常對其進行固定約束。由于被測材料與鋼之間存在摩擦系數(shù)，采用傳統(tǒng)應力強度因子標定結(jié)果可能會過大估計材料的斷裂韌度KIC?？紤]支點摩擦后，誤差可采用式（12）計算：

δ=YI考慮摩擦-YI不考慮摩擦YI不考慮摩擦（12）

以S/2R=0.8為例，考慮支點摩擦后應力強度因子的誤差如圖9所示。

當f=0.1時，不同a/R時對應的誤差δ基本在12%左右，當f=0.2時，誤差δ基本在23%左右。隨著f 超過0.3后，誤差δ則存在一定跨度，例如，當f=0.3時，誤差δ為21%～37%，而當f=0.8時，誤差δ則為34%～98%。根據(jù)前文結(jié)果可知，若支點跨徑比S/2R取小值，計算所得到的誤差則更大。

3.2 考慮支點摩擦的類巖石材料斷裂韌度修正

筆者課題組前期針對類巖石材料壓實黏土開展過一系列試驗研究［15］。相對于巖石而言，壓實黏土與鋼之間的摩擦系數(shù)更大些。鑒于此，采用NSCB試樣對壓實黏土開展了I型斷裂試驗。

試驗前，首先采用圖10中所示方法測試了壓實黏土與鋼之間的摩擦系數(shù)，測試了12個試樣（最大干密度、最優(yōu)含水率狀態(tài)）的摩擦系數(shù)，平均值為0.48。

根據(jù)前文可知，摩擦系數(shù)f相同時，無量綱裂縫長度a/R、跨徑比S/2R均對無量綱應力強度因子產(chǎn)生影響。因此，選用了不同a/R和S/2R的壓實黏土試樣開展了試驗，標準試樣結(jié)構(gòu)尺寸為：半徑R=50 mm、厚度B=65 mm。圖11為典型NSCB試樣的斷裂破壞過程，隨著荷載的增加，裂縫端部宏觀出現(xiàn)于預制裂縫端部，且發(fā)生自相似擴展，說明斷裂破壞屬于I型斷裂模式。

從表1測試結(jié)果可發(fā)現(xiàn)，當跨徑比S/2R相同時，隨著a/R逐漸增加，不考慮支點摩擦計算得到的KIC逐漸減小，測試值在18.02～18.34 kPa·m0.5之間，而考慮支點摩擦計算得到的KIC在7.26～9.24 kPa·m0.5之間。當a/R相同時，隨著跨徑比S/2R逐漸增大，不考慮支點摩擦得到的KIC逐漸減小，測試值在18.02～26.05 kPa·m0.5之間，而考慮支點摩擦得到的KIC在6.21～7.26 kPa·m0.5之間。

同時，筆者收集了Bahrami對兩種花崗巖I型斷裂韌度測試的結(jié)果（支點固定約束）［16］。根據(jù)其文獻描述，較硬花崗巖與鋼的摩擦系數(shù)為0.14左右，而較軟花崗巖與鋼的摩擦系數(shù)為0.22左右。試驗中選用的R=75 mm，a/R=0.53，S/2R=0.80。

如表2所列，若不考慮支點摩擦，則兩種巖石的斷裂韌度值分別為82.98，55.47 MPa·m0.5，考慮支點摩擦后，兩者分別降至55.36，30.69 MPa·m0.5。

相對于壓實黏土而言，巖石材料的斷裂韌度量級大得多，忽略支點摩擦引起的誤差比雖然差別不大，但實際差值則達到了數(shù)十MPa·m0.5。

由此可見，在室內(nèi)三點彎曲I型斷裂試驗中，若底部兩支點采用固定約束，在加載過程中由于試樣與支點接觸存在摩擦，所測得的峰值荷載中存在部分是為抵抗摩擦而產(chǎn)生，導致試驗測得的KIC相對于真實值更大。

4 結(jié) 論

本文通過數(shù)值模擬研究了支點摩擦對NSCB試樣應力強度因子的影響，并結(jié)合類巖石材料進行I型斷裂實驗誤差分析，主要結(jié)論如下：

（1） 由于支點與NSCB試樣間存在摩擦作用，當a/R一定時，隨著f增大，YI逐漸減小，最后在一定f值時趨于恒定，且支點間距S/2R越大，試樣的YI越大，受支點摩擦的影響也越明顯。

（2） 考慮支點摩擦后，當S/2R固定時，隨著f增大，YI逐漸減小，最后在一定f值時趨于恒定，且a/R越大，受支點摩擦的影響也越顯著。

（3） 傳統(tǒng)的應力強度因子標定時不考慮支點摩擦的作用，其YI～a/R關系曲線呈現(xiàn)較強規(guī)律性，可得出較簡潔的標定公式，然而考慮摩擦后，YI與S/2R、a/R、f的關系實際上是多個空間曲面，此時直接根據(jù)標定曲線進行插值計算更為方便。

（4） 室內(nèi)三點彎曲I型斷裂試驗中，若將支點固定約束，則測得的KIC實測值需要考慮支點摩擦的影響，否則將導致所測得的KIC實測值存在一定誤差。

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（編輯：鄭 毅）

Study on effect of supporting point friction on stress intensity factor of notched semi-circular bending specimen

TANG Xiaoyu1，LYU Chuan1，HUANG Shiyuan1，2

（1.Engineering Research Center of Diagnosis Technology and Instruments of Hydro-Construction，Chongqing Jiaotong University，Chongqing 400074，China； 2.State Key Laboratory of Mountain Bridge and Tunnel Engineering，Chongqing Jiaotong University，Chongqing 400074，China）

Abstract： In order to investigate the influence of supporting point friction on the stress intensity factor of Notched Semi-Circular Bending （NSCB） specimen samples，the finite element method was used to study the effects of supporting point friction coefficient （f） on the dimensionless stress intensity factor （YI） of NSCB specimens with different dimensionless crack lengths （a/R） and different supporting spans （S/2R）.The results show that when a/R or S/2R is constant，YI will gradually decrease and tend to be stable with the increase of f. When f is constant，YI will increase with the increase of a/R or S/2R，and the larger a/R or S/2R is，the more significantly YI is affected by the supporting point friction.The relationship between YI and S/2R，a/R and f after considering friction were actually multiple irregular spatial surfaces，so it was more convenient to carry out interpolation calculation according to the curves in the figure.Finally，the error correction of the mode I fracture test results for two kinds of rock-like materials was carried out based on the calculated results.According to the results，in the mode I fracture of three-point bending test，if the supporting point was fixed，the supporting point friction should be considered in the stress intensity factor calibration.

Key words： friction coefficient；stress intensity factor；fracture toughness；semicircle bending test

收稿日期：2022-03-24

基金項目：國家自然科學基金項目（52109113）；重慶市自然科學基金面上項目（cstc2021jcyj-msxmX1114）；水利部堤防安全與病害防治工程技術(shù)研究中心開放課題基金資助項目（LSDP202101）

作者簡介：唐曉宇，女，碩士研究生，主要從事巖土工程方面的研究工作。E-mail：1048531671@qq.com

通信作者：黃詩淵，男，講師，博士，主要從事巖土體工程斷裂相關研究工作。E-mail：cqjtdxhsy@163.com