遞進關(guān)系，恒等變形，等價轉(zhuǎn)化

樓雄鵬

摘要：涉及函數(shù)最值或取值范圍的問題是高考以及競賽中的熱點、難點題型之一.結(jié)合新高考中“雙空題”的創(chuàng)設(shè)，合理梯度化，有效遞進關(guān)系，為此類問題的創(chuàng)設(shè)提供更加肥沃的土壤.借助一道模擬題，從多視角、多層面、多方法加以剖析，挖掘問題本質(zhì)，合理變式拓展，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)解題研究.

關(guān)鍵詞：函數(shù)；最小值；方程；取值范圍；導(dǎo)數(shù)

1問題呈現(xiàn)

【問題】（2022屆山東省濟南市高三4月高考模擬考試（濟南二模）數(shù)學(xué)試卷·16）已知函數(shù)f（x）=|lnx|+ax+?a?x?（a>0），則函數(shù)f（x）的最小值為______；若關(guān)于x的方程ex+e－x－|?lna-lnx?a?|－?a?x?=0（x>0）有且僅有一個實根，則實數(shù)a的取值范圍是______.

此題以函數(shù)的解析式為問題背景，借助“雙空題”的創(chuàng)新設(shè)置，從函數(shù)的最值與參數(shù)的取值范圍這兩個不同層面來合理設(shè)置，綜合了函數(shù)的基本概念與基本性質(zhì)，以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、函數(shù)與方程等相關(guān)知識的應(yīng)用，交匯了函數(shù)的圖象、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、基本不等式等眾多知識，在充分考查基礎(chǔ)知識的情況下，全面考查思想方法和數(shù)學(xué)能力等.

2問題破解

解析：【第一小空】

方法1：（基本不等式法）

由于|lnx|≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立，

而a>0，x>0，利用基本不等式，可得ax+?a?x?≥2?ax×?a?x??=2a，當(dāng)且僅當(dāng)ax=?a?x?，即x=1時等號成立，

于是，f（x）=|lnx|+ax+?a?x?≥2a，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立，

所以函數(shù)f（x）的最小值為2a.

方法2：（導(dǎo)數(shù)法）

由于a>0，當(dāng)0

求導(dǎo)可得f′（x）=－?1?x?+a（1-?1?x2?）<0，則知函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；

當(dāng)x>1時，此時有f（x）=lnx+ax+?a?x?，

求導(dǎo)可得f′（x）=?1?x?+a（1-?1?x2?）>0，則知函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；

則知f（x）min=f（1）=2a，即函數(shù)f（x）的最小值為2a.

解后反思：根據(jù)函數(shù)的解析式，或利用基本不等式來直接確定最值；或借助分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)法來確定最值，都是解決此類問題中比較常用的技巧方法.而創(chuàng)新的“雙空題”的設(shè)置，第二小空往往是在第一小空的基礎(chǔ)上加以深入與推進，如何對方程進行恒等變形，利用等價轉(zhuǎn)化來處理，是解決第二小空的關(guān)鍵所在.

【第二小空】

對于函數(shù)f（x）=|lnx|+ax+?a?x?（a>0），

由于方程ex+e－x－|?lna-lnx?a?|－?a?x?=0（x>0）ex+e－x=?1?a?|ln?a?x?|+?a?x?（x>0）aex+ae－x=|ln?a?x?|+?a2?x?aex+ae－x+x=|ln?a?x?|+?a2?x?+x（x>0）|lnex|+aex+ae－x=|ln?a?x?|+a（ a?x?+?x?a?）（x>0）f（ex）=f（ a?x?）或f（ex）=f（ x?a?）（x>0）（特別注意，這里有兩種情形，不能遺漏）.

而關(guān)于x的方程ex+e－x－|?lna-lnx?a?|－?a?x?=0（x>0）有且僅有一個實根，

那么方程f（ex）=f（ a?x?）和f（ex）=f（ x?a?）（x>0），其中一個方程有且僅有一個實根，另一個方程沒有實根，

結(jié)合x>0，可得ex>1，由以上第一小空中分析可知函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，

則有ex=?a?x?或ex=?x?a?（x>0），

由于y=ex和y=?a?x?（x>0）的圖象有且僅有一個交點，則知方程ex=?a?x?（x>0）有且僅有一個實根，另一個方程ex=?x?a?（x>0）沒有實根，

下面只要考慮方程ex=?x?a?（x>0）沒有實根的情況，

方法1：（公切線法）

考慮方程ex=?x?a?（x>0）沒有實根，設(shè)函數(shù)g（x）=ex，h（x）=?x?a?（x>0），

當(dāng)直線h（x）=?x?a?與曲線g（x）=ex相切時，設(shè)切點的橫坐標(biāo)為x0，

則有g(shù)（x0）=h（x0）

g′（x0）=h′（x0），即ex0=?x0?a

ex0=?1?a?，解得x0=1

1?a?=e，

結(jié)合函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可知?1?a??1?e?時，直線h（x）=?x?a?與曲線g（x）=ex沒有公共點，此時方程ex=?x?a?（x>0）沒有實根.

所以實數(shù)a的取值范圍是（ 1?e?，+∞.

方法2：（分離參數(shù)法）

考慮方程ex=?x?a?（x>0）沒有實根，等價于方程a=?x?ex?沒有實根，

設(shè)函數(shù)g（x）=?x?ex?（x>0），求導(dǎo)可得g′（x）=?1-x?ex?，

當(dāng)00，函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時，g′（x）<0，函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，

又g（0）=0，當(dāng)x→+∞時，g（x）→0，則知g（x）max=g（1）=?1?e?，

要使得方程a=?x?ex?沒有實根，即直線y=a（a>0）與曲線g（x）=?x?ex?的圖象沒有交點，

則知a>?1?e?，即實數(shù)a的取值范圍是（ 1?e?，+∞.

方法3：（導(dǎo)數(shù)法）

考慮方程ex=?x?a?（x>0）沒有實根，設(shè)函數(shù)g（x）=ex－?x?a?（x>0），

求導(dǎo)可得g′（x）=ex－?1?a?，令g′（x）=0，解得x=－lna，

當(dāng)a≥1時，g′（x）≥0，函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，g（x）>g（0）=1，方程ex=?x?a?（x>0）沒有實根，滿足條件；

當(dāng)0

那么只要滿足g（x）min=?1+lna?a?>0，即1>a>?1?e?，此時也滿足條件；

綜上分析，實數(shù)a的取值范圍是（ 1?e?，+∞.

解后反思：根據(jù)條件中的方程，借助前面第一小空中的函數(shù)結(jié)構(gòu)特征加以同化與恒等變形，合理變形與轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，也是解決第二小空中最重要的一道關(guān)卡.而在確定兩個抽象函數(shù)相等的情形下，合理利用函數(shù)的單調(diào)性來構(gòu)建關(guān)系并判斷，是解決問題的第二道關(guān)卡.多個知識點、多個難度系數(shù)重疊，合理構(gòu)建出創(chuàng)新應(yīng)用問題.

3變式拓展

探究1：保留原問題背景與條件，結(jié)合以上問題的解析過程，對于參數(shù)a的不同取值情況下，對應(yīng)相關(guān)方程的實根個數(shù)情況，進而從不同視角加以設(shè)置，得到以下兩個對應(yīng)的變式問題.

變式1已知函數(shù)f（x）=|lnx|+ax+?a?x?（a>0），則函數(shù)f（x）的最小值為______；若關(guān)于x的方程ex+e－x－|?lna-lnx?a?|－?a?x?=0（x>0）恰有兩個不同的實根，則實數(shù)a的值是______.

答案：（1）2a；（2）?1?e?.

變式2已知函數(shù)f（x）=|lnx|+ax+?a?x?（a>0），則函數(shù)f（x）的最小值為______；若關(guān)于x的方程ex+e－x－|?lna-lnx?a?|－?a?x?=0（x>0）恰有三個不同的實根，則實數(shù)a的取值范圍是______.

答案：（1）2a；（2）（0，?1?e?）.

具體以上兩個變式的解析過程，可以參考原問題中的不同方法的解析過程，可以很好加以確定相應(yīng)的答案，這里不多加以敘述.

4教學(xué)啟示

4.1函數(shù)結(jié)構(gòu)特征，最值技巧策略

涉及函數(shù)最值或取值范圍問題，解決的基本技巧策略與思維方法就是抓住函數(shù)自身的結(jié)構(gòu)特征，利用導(dǎo)數(shù)法這個最常規(guī)的“暴力”思維方法，基本無往不利；通過函數(shù)關(guān)系式的系數(shù)配湊或恒等變形后，利用均值不等式（或基本不等式等）或重要不等式（柯西不等式、權(quán)方和不等式等）思維方法，可以巧妙破解；而借助消元法或換元法特殊處理后，通過變形后的函數(shù)結(jié)構(gòu)特征，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等思維方法，也可以合理轉(zhuǎn)化.這些都是解決函數(shù)最值中比較常見的思維方法，具體到特殊的函數(shù)最值問題的求解，有時還有一些其他特殊的思維方法.

4.2“含參”等價轉(zhuǎn)化，“分參”巧妙處理

涉及含參的方程問題，解決的基本策略就是“含參”等價轉(zhuǎn)化與“分參”巧妙處理這兩個基本思維角度，可以在“含參”情境下，通過函數(shù)、不等式知識，利用主元法、方程、導(dǎo)數(shù)法等思維來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用；可以在“分參”條件下，轉(zhuǎn)化為相關(guān)的關(guān)系式問題，利用不等式的性質(zhì)、函數(shù)的基本性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)法等來構(gòu)建與應(yīng)用.