條件是否多余，值得研究商榷

許琳

摘要：數(shù)學(xué)問題中的題設(shè)條件或信息在實(shí)際解題過程中是否得以應(yīng)用是常規(guī)命題的一個(gè)基本框架與預(yù)設(shè).本文結(jié)合一道模擬題，借助題目中的信息，從不同思維視角與技巧方法出發(fā)，分析與求解，剖析題設(shè)條件是否全部應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：雙曲線；直線；離心率；平面幾何

在求解一些高考模擬題或高考真題時(shí)，有時(shí)會(huì)碰到解析過程中沒有用到題設(shè)條件中的若干條件或信息，而題目就得以解決，這是否說明解析出錯(cuò)？按常規(guī)情況，題設(shè)條件中的所有信息都有一定的用處，若有條件或信息沒有用到，往往感覺離錯(cuò)誤已經(jīng)不遠(yuǎn)了．那么現(xiàn)實(shí)是否是這樣的？本文結(jié)合一道模擬題，談?wù)剬?duì)以上問題的想法.

1原題呈現(xiàn)

0題目（2023屆福建省泉州市高三畢業(yè)班質(zhì)量監(jiān)測(cè)（一）數(shù)學(xué)試題·16）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2a2－y2b2=1的左、右焦點(diǎn)，A1，A2為C的左、右頂點(diǎn)，P為C左支上一點(diǎn)，若PO平分∠A1PF2，直線PF1與PA1的斜率分別為k1，k2，且k1=－k2=15，則C的離心率等于．

本題是一道圓錐曲線中有關(guān)雙曲線的離心率的求值問題，以平面解析幾何的背景創(chuàng)設(shè)，合理融入平面幾何圖形的相關(guān)知識(shí)，結(jié)合了平面幾何中的三角形內(nèi)角平分線定理，平面解析幾何中的直線的斜率等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，很好交匯了平面幾何與平面解析幾何、以及三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí)，是一道新穎創(chuàng)新的好題．

2問題破解

2．1思維視角1：平面幾何思維

0方法1：平面幾何法1

0解析：如圖所示，OA1=a，OF2=c，

易知S△POA1：S△POF2=a∶c，

而

S△POA1=12×PA1×PO×sin∠OPA1，

S△POF2=12×PF2×PO×sin∠OPF2，

結(jié)合PO平分∠A1PF2，知∠OPA1=∠OPF2，則有PA1∶PF2=a∶c.

過點(diǎn)P作PB⊥x軸，垂足為B，

由于k1=－k2=15，知PF1和PA1關(guān)于PB對(duì)稱，即有PF1=PA1，所以PF1∶PF2=a∶c.

結(jié)合雙曲線的定義，知PF2－PF1=2a，解得PF1=2a2c-a，而A1F1=c－a，可得BF1=c-a2.

設(shè)直線PF1的傾斜角為α，則k1=tanα=15，可得cosα=14，

所以在Rt△PBF1中，cosα=BF1PF1=14，

即c-a2×c-a2a2=14，整理可得c=2a，

所以雙曲線C的離心率e=ca=2，故填答案：2．

0解后反思：根據(jù)平面幾何圖形的特征轉(zhuǎn)化，通過三角形的面積及其性質(zhì)來確定線段的比例關(guān)系，利用幾何作圖以及雙曲線的定義轉(zhuǎn)化，結(jié)合三角函數(shù)的定義以及解直角三角形來構(gòu)建雙曲線中的基本量a，b，c之間的關(guān)系式，得以求解相應(yīng)的離心率．平面幾何法處理過程中，直觀形象和數(shù)形結(jié)合是解決此類問題中比較常用的一種技巧方法．

0方法2：平面幾何法2

0解析：過點(diǎn)P作PB⊥x軸，垂足為B，而k1=－k2=15，則知PF1和PA1關(guān)于PB對(duì)稱，即有PF1=PA1，因?yàn)锳1F1=c－a，則BF1=c-a2.

設(shè)直線PF1的傾斜角為α，則k1=tanα=15，可得cosα=14，

在Rt△PBF1中，cosα=BF1PF1=14，

可得PF1=4BF1=2c－2a，

結(jié)合雙曲線的定義，可得PF2=PF1+2a=2c.

又PO平分∠A1PF2，結(jié)合三角形內(nèi)角平分線定理，有PA1PF2=OA1OF2=ac，即PF1PF2=ac，

則有2c-2a2c=ac，即c=2a，所以雙曲線C的離心率e=ca=2，故填答案：2．

0解后反思：根據(jù)平面幾何圖形的特征轉(zhuǎn)化，從另一個(gè)視角來分析與求解，與方法1的思維方式大體雷同，只是求解起來更加緊湊、更加流暢、更加簡(jiǎn)捷．這里回歸初中階段直角三角形中的三角函數(shù)的定義，并結(jié)合雙曲線的定義，是破解問題的關(guān)鍵所在．平面幾何圖形的直觀形象以及數(shù)形結(jié)合應(yīng)用，也是解決問題中的重點(diǎn)之一．

2．2思維視角2：解三角形思維

0方法3：解三角形法

0解析：過點(diǎn)P作PB⊥x軸，垂足為B，而k1=－k2，則知PF1和PA1關(guān)于PB對(duì)稱，即有PF1=PA1，

且PO平分∠A1PF2，結(jié)合三角形內(nèi)角平分線定理，有PA1PF2=OA1OF2=ac，即PF1PF2=ac.

結(jié)合雙曲線的定義，可得PF1PF1+2a=ac，解得PF1=2a2c-a，則PF2=PF1+2a=2acc-a.

設(shè)直線PF1的傾斜角為α，則k1=tanα=15，可得cosα=14，

在△PF1F2中，利用余弦定理，可得

cosα=PF21+F1F22-PF222PF1×F1F2=14，

則有2a2c-a2+4c2-2acc-a22×2a2c-a×2c=14，整理可得2c4－4ac3－a2c2+a3c+2a4=0，即2e4－4e3－e2+e+2=0，亦即（e－2）（e－1）（2e2+2e+1）=0，解得e=2或e=1（舍去），

所以雙曲線C的離心率e=2，故填答案：2．

0解后反思：根據(jù)平面幾何圖形的特征轉(zhuǎn)化以及應(yīng)用三角形內(nèi)角平分線定理，確定各對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度，結(jié)合解三角形中的余弦定理來構(gòu)建雙曲線中的基本量a，b，c之間的關(guān)系式，利用四次方程的轉(zhuǎn)化與求解來達(dá)到目的．這里在構(gòu)建含基本量的關(guān)系式時(shí)，數(shù)學(xué)運(yùn)算量比較大，導(dǎo)致部分學(xué)生不易上手或無法解決．

2．3思維視角3：解析幾何思維

0方法4：解析幾何法

0解析：過點(diǎn)P作PB⊥x軸，垂足為B，而k1=－k2=15，則知PF1和PA1關(guān)于PB對(duì)稱，

由于A1F1=c－a，可得BF1=c-a2，PB=15（c-a）2，則知P－a+c2，15（c-a）2，

且P為C左支上一點(diǎn)，則有

（a+c）24a2－15（c-a）24b2=1，

結(jié)合b2=c2－a2，整理可得c2+4ac－12a2=0，即e2+4e－12=0，解得e=2或e=－16（舍去），

所以雙曲線C的離心率e=2，故填答案：2．

0解后反思：根據(jù)平面幾何圖形的幾何特征，直接確定點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而代入雙曲線方程，整理得到雙曲線中的基本量a，b，c之間的關(guān)系，從而得以求解相應(yīng)的離心率．利用解析幾何法處理問題時(shí)，題目條件“PO平分∠A1PF2”在實(shí)際求解過程中并沒有涉及與應(yīng)用，是本題的一個(gè)多余條件．

0方法5：焦半徑公式法

0解析：過點(diǎn)P作PB⊥x軸，垂足為B，而k1=－k2，則知PF1和PA1關(guān)于PB對(duì)稱，即有PF1=PA1，

又A1F1=c－a，可得BF1=c-a2，則有OB=c－c-a2=a+c2，即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)xP=－a+c2.

由于P為C左支上一點(diǎn)，

根據(jù)雙曲線的焦半徑公式，可知

PF1=－（exP+a）=ac+c2-2a22a，

PF2=－（exP－a）=ac+c2+2a22a，

而PO平分∠A1PF2，結(jié)合三角形內(nèi)角平分線定理，有PA1PF2=OA1OF2=ac，

則有ac+c2-2a22aac+c2+2a22a=ac，

整理可得c3－3a2c－2a3=0，

即e3－3e－2=0，亦即（e－2）（e+1）2=0，

解得e=2或e=－1（舍去），所以雙曲線C的離心率e=2，故填答案：2．

0解后反思：根據(jù)圓錐曲線中的二級(jí)結(jié)論——雙曲線的焦半徑公式，結(jié)合點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的確定得以求解對(duì)應(yīng)的焦半徑，利用三角形內(nèi)角平分線定理來構(gòu)建雙曲線中的基本量a，b，c之間的關(guān)系式，最近通過對(duì)三次方程的求解來解決本題．利用焦半徑公式法處理問題時(shí)，題目條件“k1=－k2=15”中的具體數(shù)據(jù)在實(shí)際求解過程中并沒有涉及與應(yīng)用，是本題的一個(gè)多余條件．

3問題商榷

當(dāng)然本題也有一點(diǎn)小爭(zhēng)議值得大家商榷，大多數(shù)解題者都認(rèn)為平面幾何中的“三角形內(nèi)角平分線”這個(gè)條件和“直線的斜率互為相反數(shù)”這個(gè)數(shù)據(jù)，這兩者之間，其中有一個(gè)條件是多余的，可見具體解決過程．

上述爭(zhēng)議，是否代表著一種特殊命題方式與命題方向呢？在此類創(chuàng)新問題中，若題設(shè)中的條件如果少了，題目無法解決；但題設(shè)中的條件多了，對(duì)解題沒有什么影響，而在于同學(xué)們選取其中哪一個(gè)條件進(jìn)行解題，或解答過程中是否全面考慮題設(shè)中的所有信息條件等．

開放性條件或開放性結(jié)論，都是新高考創(chuàng)新性題型之一，而以上多余條件的開放命題方式有時(shí)也是一種不錯(cuò)的嘗試，利用一些相關(guān)的方法解決時(shí)可以用到所有條件，而利用其他一些相關(guān)的方法解決時(shí)可以缺少其中個(gè)別條件，也給創(chuàng)新命題提供一個(gè)更加特殊的平臺(tái)．