新高考卷“概率與統(tǒng)計(jì)”試題分析及其教學(xué)啟示

劉春芳

［摘 要］“概率與統(tǒng)計(jì)”模塊蘊(yùn)含的思想方法比較豐富，題型分布也比較廣，認(rèn)真研究其高考真題對(duì)教師的教學(xué)優(yōu)化和學(xué)生的思維拓展有較大的幫助。文章基于《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》，結(jié)合2020—2022年新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷的6份試卷，從試題特點(diǎn)、典型題等方面對(duì)“概率與統(tǒng)計(jì)”試題進(jìn)行研究，并給出一些教學(xué)啟示。

［關(guān)鍵詞］新高考卷；概率與統(tǒng)計(jì)；試題特點(diǎn)；教學(xué)啟示

［中圖分類號(hào)］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號(hào)］? ? 1674-6058（2023）08-0035-03

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中指出：“概率的研究對(duì)象是隨機(jī)現(xiàn)象，為人們從不確定性的角度認(rèn)識(shí)客觀世界提供重要的思維模式和解決問(wèn)題的方法。統(tǒng)計(jì)的研究對(duì)象是數(shù)據(jù)，核心是數(shù)據(jù)分析。概率為統(tǒng)計(jì)的發(fā)展提供理論基礎(chǔ)?！痹谛赂呖急尘跋拢瑪?shù)學(xué)一線教師不斷地探索、深入研究概率與統(tǒng)計(jì)的教學(xué)。但一些教師對(duì)這個(gè)主題模塊不是很重視，認(rèn)為學(xué)生能夠看得懂、會(huì)做題即可。實(shí)際上，該主題模塊蘊(yùn)含的思想方法比較豐富，題型分布也比較廣，認(rèn)真研究其高考真題對(duì)教師的教學(xué)優(yōu)化和學(xué)生的思維拓展有較大的幫助。本文以2020 — 2022年新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷的“概率與統(tǒng)計(jì)”試題為例，探討如下問(wèn)題：2020 — 2022年新高考卷“概率與統(tǒng)計(jì)”試題具有什么樣的特點(diǎn)，考查的知識(shí)點(diǎn)和蘊(yùn)含的思想有哪些？2020 — 2022年新高考卷“概率與統(tǒng)計(jì)”試題分析會(huì)給一線教師帶來(lái)哪些教學(xué)啟示？

一、“概率與統(tǒng)計(jì)”試題特點(diǎn)與典型題分析

（一）總體特點(diǎn)

1.從考查總分來(lái)看，總體比較穩(wěn)定

總分基本穩(wěn)定在17分或22分。如2021年新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷單選題1題，多選題1題，解答題1題，共計(jì)22分；2022年新高考Ⅰ卷選擇題1題，解答題1題，共計(jì)17分；2022年新高考Ⅱ卷填空題1題，解答題1題，共計(jì)17分。

2.從考查知識(shí)來(lái)看，分布比較均勻

在近年的新高考卷中概率和統(tǒng)計(jì)均有涉及，重要內(nèi)容年年考，次要內(nèi)容輪流考?！案怕省笨疾楣诺涓判?、相互獨(dú)立事件、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、條件概率、概率乘法公式、全概率公式及貝葉斯公式、正態(tài)分布?！敖y(tǒng)計(jì)”考查平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差、[2×2]列聯(lián)表、獨(dú)立性檢驗(yàn)等。

3.從考查核心素養(yǎng)來(lái)看， 重點(diǎn)比較明顯

2020 — 2022年新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷共6份試卷中“概率與統(tǒng)計(jì)”試題考查的核心素養(yǎng)比較明顯，主要是數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析。

（二）考查特點(diǎn)及典型題

2020—2022年新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷的試題關(guān)注生活實(shí)際，旨在檢測(cè)學(xué)生對(duì)高中階段應(yīng)知、應(yīng)會(huì)知識(shí)的掌握情況；重視“四基”，考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、基本思想；注重滲透核心素養(yǎng)。

1.注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念的考查

對(duì)2020 — 2022年新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷的選擇題與填空題進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)考查平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差、古典概型、積事件、相互獨(dú)立事件等概率與統(tǒng)計(jì)的常見(jiàn)概念的試題，雖然屬于中低檔題，但從得分率來(lái)看，依然有不少學(xué)生對(duì)基本概念不清晰，進(jìn)而失分。具體典型題如下：

［題1］（2021年新高考Ⅰ卷第8題）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球。甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（）。

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

命題意圖：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是相互獨(dú)立事件，要求考生能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個(gè)數(shù)，屬中檔題。

［題2］（2021年新高考Ⅰ卷第9題）有一組樣本數(shù)據(jù)[x1]，[x2]，[…]，[xn]，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)[y1]，[y2]，[…]，[yn]，其中[yi=xi+c]（[i=1]，2，[…]，[n]），[c]為非零常數(shù)，則（）。

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

命題意圖：本題考查命題真假的判斷，以及平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差等基礎(chǔ)知識(shí)，主要考查學(xué)生的“四基”及數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng)。

分析2020 — 2022年新高考卷“概率與統(tǒng)計(jì)”試題的客觀題可發(fā)現(xiàn)，試題考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念，屬于容易題，但個(gè)別題屬于易錯(cuò)題，比如2021年新高考Ⅰ卷第8題考查考生對(duì)相互獨(dú)立事件的概念和公式的理解程度。

2.題型綜合，考查學(xué)生的核心素養(yǎng)

“概率與統(tǒng)計(jì)”解答題設(shè)置了應(yīng)用題，與現(xiàn)實(shí)生活有緊密的聯(lián)系，具有鮮明的時(shí)代特征。試題在通性通法的基礎(chǔ)上進(jìn)行了綜合和創(chuàng)新，不僅計(jì)算煩瑣，而且閱讀量大，內(nèi)容又比較抽象，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)都有不同程度的考查。

［題3］（2022年新高考Ⅰ卷第20題）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：

[ 不夠良好 良好 病例組 40 60 對(duì)照組 10 90 ]

（1）能否有[99%]的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

（2）從該地的人群中任選一人，[A]表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”， [B]表示事件“選到的人患有該疾病”，[P（B|A）P（B|A）]與[P（B|A）P（B|A）]的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為[R]。

（?。┳C明：[R=P（B|A）P（A|B）·P（A|B）P（A|B）]；

（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出[P（A|B）]、[P（A|B）]的估計(jì)值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出[R]的估計(jì)值。

分析2020 — 2022年新高考卷“概率與統(tǒng)計(jì)”試題的主觀題可發(fā)現(xiàn)，每年都是考查一道大題，共計(jì)12分。其中，有兩次是考查分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)，一次是考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望。2020 — 2022年新高考卷不回避原題、陳題，許多題來(lái)自教材的例題、練習(xí)題及復(fù)習(xí)參考題。

二、由“概率與統(tǒng)計(jì)”試題分析得到的教學(xué)啟示

新高考背景下，教師除研究新課標(biāo)、新教材外，還要關(guān)注《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》，關(guān)注高考真題。通過(guò)研究2020 — 2022年新高卷“概率與統(tǒng)計(jì)”試題，筆者得到了一些教學(xué)啟示。

（一）“見(jiàn)微知著”，重視高考卷“概率與統(tǒng)計(jì)”試題的解答

1.讀懂條件，提升閱讀能力

“概率與統(tǒng)計(jì)”試題尤其是解答題，不僅文字篇幅長(zhǎng)，而且經(jīng)常結(jié)合圖表和公式一起考查，對(duì)學(xué)生的閱讀審題能力有較高的要求。在平時(shí)的教學(xué)中，教師應(yīng)教會(huì)學(xué)生對(duì)文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言進(jìn)行轉(zhuǎn)化；讀懂試題中的條件和要求；整合題目中的各種信息；掌握泛讀、復(fù)讀、精讀等閱讀的技巧。教師不僅要關(guān)注教材，還要加強(qiáng)學(xué)生的閱讀訓(xùn)練，比如讓學(xué)生閱讀教材中的“閱讀與思考”欄目，提高學(xué)生的閱讀速度和閱讀能力。

2.寫清過(guò)程，注意規(guī)范答題

教師應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范書寫表達(dá)，注意表達(dá)的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性。比如，在解答有關(guān)[2×2]列聯(lián)表和獨(dú)立性檢驗(yàn)的題目時(shí)要使用零假設(shè)（原假設(shè)），若無(wú)零假設(shè)，則推斷缺少證據(jù)，而沒(méi)有假設(shè)則會(huì)導(dǎo)致沒(méi)有檢驗(yàn)，因此在解答獨(dú)立性檢驗(yàn)類題目時(shí)表達(dá)應(yīng)力求準(zhǔn)確，在表述檢驗(yàn)結(jié)果時(shí)要確保符合新教材中的規(guī)定。

3.及時(shí)檢查，注重培養(yǎng)糾錯(cuò)意識(shí)

在運(yùn)用隨機(jī)變量的分布列計(jì)算概率、成對(duì)數(shù)據(jù)分類變量計(jì)算卡方時(shí)容易出錯(cuò)，教師要引導(dǎo)學(xué)生在平時(shí)訓(xùn)練中每一步都要檢查是否出錯(cuò)，否則等整道題做完再檢查，往往很難查出錯(cuò)誤。

（二）“借助外力”，運(yùn)用信息技術(shù)資源輔助教學(xué)

數(shù)學(xué)教師要按照新課標(biāo)的要求，結(jié)合信息技術(shù)直觀方便、素材豐富的優(yōu)點(diǎn)，有效運(yùn)用信息技術(shù)資源輔助教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。比如，在“概率與統(tǒng)計(jì)”教學(xué)中，可運(yùn)用Excel軟件計(jì)算數(shù)據(jù)的樣本均值、樣本方差，畫散點(diǎn)圖或利用R軟件來(lái)擬合線性回歸模型，讓學(xué)生更好地體會(huì)概率的意義和統(tǒng)計(jì)的思想。

（三）“目標(biāo)多元”，充分體現(xiàn)學(xué)科育人

1.重視“四基”，回歸教材的“原點(diǎn)”

在高一、高二的新課教學(xué)中，部分教師會(huì)忽略概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)的教學(xué)。這是因?yàn)閷?duì)于必修模塊，教師認(rèn)為學(xué)生在小學(xué)、初中有過(guò)接觸，相對(duì)于其他知識(shí)，得分比較高，且題型比較固定；對(duì)選擇性必修模塊，教師認(rèn)為學(xué)生通過(guò)自主閱讀便可掌握相關(guān)知識(shí)，因此只注重習(xí)題講解，不關(guān)注概念和基本公式的來(lái)龍去脈。教師要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)基本概念的理解和基本性質(zhì)的掌握，重視方法的總結(jié)歸納。高考具有“源于教材，高于教材”的特點(diǎn)，因此關(guān)注教材，回歸教材，理解教材，講清概念，以教材的習(xí)題為出發(fā)點(diǎn)，充分挖掘題根，回到原點(diǎn)進(jìn)行改編，都是高三復(fù)習(xí)備考不能缺少的環(huán)節(jié)。

2.發(fā)展“四能”，追求數(shù)學(xué)的“本質(zhì)”

新教材之所以比舊教材要厚實(shí)很多，其中一個(gè)原因就是新教材的探究欄目加大了篇幅?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》強(qiáng)調(diào)提高學(xué)生的“四能”，那么教師必須反思：在概率與統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，如何真正落實(shí)“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題”？數(shù)學(xué)的“本質(zhì)”是什么？教師必須要提升自身的研究能力，用“高觀點(diǎn)”去理解概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)，進(jìn)而把握高中數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。

比如，在“[2×2]列聯(lián)表及獨(dú)立性檢驗(yàn)”的教學(xué)中，可實(shí)施“四環(huán)”教學(xué)：第一環(huán)節(jié)，案導(dǎo)先學(xué)。讓學(xué)生提前自主預(yù)習(xí)，思考：為什么要進(jìn)行零假設(shè)？第二環(huán)節(jié)，合作研學(xué)。讓學(xué)生小組討論研究或師生合作探究：如何進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)？第三環(huán)節(jié)，展示互學(xué)。讓學(xué)生分析、解決問(wèn)題：卡方大于臨界值，小概率事件發(fā)生，假設(shè)不成立，所以兩變量有關(guān)系，那么假設(shè)犯錯(cuò)的概率如何體現(xiàn)？第四環(huán)節(jié)，鞏固拓學(xué)。讓學(xué)生自主解決問(wèn)題：借助網(wǎng)絡(luò)資料，是否能解決問(wèn)題？

發(fā)展學(xué)生的“四能”不是僅靠刷題就可以實(shí)現(xiàn)的，而是要通過(guò)對(duì)問(wèn)題的深度思考與解決。

3.滲透素養(yǎng)，突出數(shù)學(xué)的“思想”

隨機(jī)思想、統(tǒng)計(jì)推斷思想等一直貫穿“概率與統(tǒng)計(jì)”的教學(xué)。概率中有頻率估計(jì)概率的思想，而統(tǒng)計(jì)推斷思想分為兩個(gè)方面，即根據(jù)樣本估計(jì)總體，由數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)未來(lái)。數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)以數(shù)據(jù)分析和邏輯推理為主，部分題目還突出了數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等。

綜上所述，新高考卷“概率與統(tǒng)計(jì)”試題背景豐富、特征明顯、分類清晰、形式多樣。在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，教師首先要透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，重視對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)和基本思想的鞏固和培養(yǎng)；其次要聚焦數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力和必備品格；再次要引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流，把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)；最后要充分借助信息技術(shù)資源有效輔助教學(xué)。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

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［8］? 蔣鳳君，金克勤.指向核心素養(yǎng)的高考概率與統(tǒng)計(jì)試題新變化：2022年高考“概率與統(tǒng)計(jì)”專題解題分析［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2022（Z4）：86-96.

（責(zé)任編輯 黃春香）