交互效應(yīng)面板分位數(shù)回歸模型的迭代估計(jì)

常金華，童之瑤，葉小青，姚 樂

（1.中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，武漢 430073；2.中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，武漢 430074）

0 引言

分位數(shù)回歸可以刻畫因變量τ分位數(shù)與自變量的關(guān)系，對(duì)因變量在整體分布上的回歸關(guān)系有了更為清晰的解釋；在參數(shù)求解中，分位數(shù)回歸的損失函數(shù)為誤差項(xiàng)的絕對(duì)值加權(quán)之和，對(duì)異常值的敏感程度大大降低，回歸結(jié)果更為穩(wěn)健。自從Koenker 和Bassett（1978）[1]提出這一思想后，有關(guān)分位數(shù)回歸的理論與實(shí)證研究迅速發(fā)展。

傳統(tǒng)的分位數(shù)回歸模型主要基于截面數(shù)據(jù)進(jìn)行研究，研究主要集中于估計(jì)量的漸近分布、參數(shù)檢驗(yàn)、置信區(qū)間的理論框架等[2]。具體來看，一是研究估計(jì)理論[3—5]；二是研究非線性分位數(shù)回歸模型[6—8]；三是研究分位數(shù)回歸模型的不同算法[9,10]。近年來，隨著面板數(shù)據(jù)集的廣泛使用，關(guān)于面板數(shù)據(jù)回歸模型的文獻(xiàn)大量涌現(xiàn)，面板模型最大的優(yōu)點(diǎn)是可以控制不可觀測(cè)的異質(zhì)性。一般情況下，異質(zhì)性被假定以加法形式引入面板分位數(shù)回歸模型[11]。對(duì)于這類模型，王娜和任燕燕（2017）[12]針對(duì)具有隨機(jī)效應(yīng)的面板分位數(shù)模型提出了帶有Copula 相關(guān)結(jié)構(gòu)的極大似然估計(jì)法。Li 等（2019）[13]則在通過引入工具變量進(jìn)行分位數(shù)回歸來估計(jì)自變量的基礎(chǔ)上，將該方法擴(kuò)展到具有固定效應(yīng)的動(dòng)態(tài)面板分位數(shù)模型。羅幼喜和田茂再（2010）[14]通過蒙特卡洛模擬比較討論了固定效應(yīng)面板數(shù)據(jù)模型一階差分、固定效應(yīng)變換和懲罰分位數(shù)三種分位數(shù)回歸方法，結(jié)果表明分位數(shù)回歸方法是處理面板數(shù)據(jù)的一種有效手段。而兩階段（Two-Steps）面板數(shù)據(jù)分位數(shù)回歸法對(duì)用數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換方法來剔除面板分位數(shù)模型中的固定效應(yīng)這一問題進(jìn)行了補(bǔ)充。張?jiān)芎吞锩伲?015）[15]基于之前的研究提出了兩階段K步差分分位數(shù)回歸方法，并推導(dǎo)了該固定效應(yīng)面板數(shù)據(jù)模型分位數(shù)估計(jì)量的大樣本性質(zhì)。針對(duì)含有內(nèi)生變量的面板模型，也有部分研究先消除個(gè)體效應(yīng)項(xiàng)再引入工具變量。

但當(dāng)存在截面相依性時(shí)，將異質(zhì)性以加法形式引入可能會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論，甚至是不一致的估計(jì)。如果自變量與導(dǎo)致截面相依性的未觀測(cè)到的共同因素相關(guān)，那么傳統(tǒng)的面板估計(jì)量可能是不一致的。帶交互效應(yīng)的面板數(shù)據(jù)模型能解決這一問題，因?yàn)榕c傳統(tǒng)的面板數(shù)據(jù)模型相比，它可以更靈活地對(duì)不同個(gè)體和不同時(shí)間的異質(zhì)性進(jìn)行建模，并為截面相依性建模提供了一種有效的方法，而且這種模型設(shè)置也消除了偏差的來源。事實(shí)上，交互效應(yīng)的因子結(jié)構(gòu)具有足夠的通用性，并使傳統(tǒng)的個(gè)體和時(shí)間效應(yīng)成為一種特例，例如，當(dāng)Λi=(αi，1)′，F(xiàn)t=(1，θt)′時(shí)，可得到Λi′Ft=αi+θt。交互效應(yīng)的設(shè)定對(duì)現(xiàn)實(shí)擁有更強(qiáng)的解釋能力，例如，在宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中，單個(gè)國(guó)家的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率可能取決于世界范圍內(nèi)的供給沖擊Ft（如石油沖擊、技術(shù)沖擊等），而共同的沖擊通過不同的因子載荷Λi在各國(guó)之間產(chǎn)生異質(zhì)性影響。在勞動(dòng)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的明瑟方程中，Λi是不可觀測(cè)的個(gè)人特質(zhì)向量，如天賦、技能，而Ft反映了個(gè)人特質(zhì)的時(shí)間變化的回報(bào)。在教育經(jīng)濟(jì)學(xué)中，當(dāng)考慮班級(jí)規(guī)模和社會(huì)經(jīng)濟(jì)階層構(gòu)成對(duì)教育程度的影響時(shí)，Λi可能與學(xué)生聽課或閱讀時(shí)的動(dòng)機(jī)和吸收知識(shí)的能力有關(guān)，而Ft可以解釋為教師質(zhì)量[16]。

基于此，本文構(gòu)建了帶交互效應(yīng)的面板分位數(shù)回歸模型，并構(gòu)建參數(shù)估計(jì)量。與本文最為相似的是Harding 和Lamarche（2014）[16]的研究，在Harding 和Lamarche（2014）[16]的估計(jì)方法的基礎(chǔ)上，Kaplan（2022）[17]將工具變量分位數(shù)回歸估計(jì)應(yīng)用于帶有個(gè)體和交互效應(yīng)的面板數(shù)據(jù)模型中。相比其他方法，該方法的估計(jì)量具有偏差和RMSE小的優(yōu)點(diǎn)，但是其估計(jì)量方差較大，一定程度上破壞了模型的適用性。此外，當(dāng)處于個(gè)體效應(yīng)與回歸自變量相關(guān)的特定條件下時(shí)，該估計(jì)方法就會(huì)失效。

為了解決這一問題，本文提出了一種迭代方法來估計(jì)具有個(gè)體效應(yīng)和交互效應(yīng)的面板分位數(shù)回歸模型，并且允許個(gè)體效應(yīng)存在強(qiáng)內(nèi)生性，即當(dāng)Harding 和Lamarche（2014）[16]所提出的方法失效時(shí)，本文的估計(jì)方法依然可行。并用蒙特卡洛模擬檢驗(yàn)本文提出的估計(jì)方法在有限樣本中的表現(xiàn)，然后與其他估計(jì)方法進(jìn)行比較。此外，利用該估計(jì)方法實(shí)證研究我國(guó)的房地產(chǎn)市場(chǎng)，進(jìn)一步揭示高房?jī)r(jià)地區(qū)與低房?jī)r(jià)地區(qū)不同的規(guī)律特征[18,19]。

1 交互效應(yīng)面板分位數(shù)模型及估計(jì)方法

1.1 模型介紹

考慮以下模型：

其中，Yit是因變量；Dit是K1×1 可觀測(cè)內(nèi)生獨(dú)立自變量，其回歸系數(shù)α（K1×1）未知；Xit是K2×1 可觀測(cè)外生獨(dú)立自變量，其回歸系數(shù)β（K2×1）未知；εit具有誤差因子結(jié)構(gòu)；Ft（r×1）為r個(gè)共同因子，其載荷系數(shù)Λi（r×1）未知；uit是不可觀測(cè)的異質(zhì)性殘差。該模型可以推廣到更一般的具有異質(zhì)性效應(yīng)的面板數(shù)據(jù)模型。

可觀測(cè)內(nèi)生變量Dit可以被表示為：

其中，ηit為獨(dú)立同分布隨機(jī)序列，且與uit相互獨(dú)立。該生成方式表明，Dit與外生變量Xit和交互效應(yīng)相關(guān)。

先考慮最簡(jiǎn)單的隨機(jī)系數(shù)模型，其表示形式為：

其中，τ為分位數(shù)，位于(0，1)區(qū)間內(nèi)；QYit(τ|Dit，Xit，F(xiàn)t)為給定Dit、Xit和Ft條件下的Yit的第τ分位數(shù)。

再考慮當(dāng)Ft=(ft′，1)′和Λi=(λi′(τ)，ui(τ))時(shí)，上述模型可以退化為具有個(gè)體效應(yīng)和交互效應(yīng)的分位數(shù)回歸模型?？傻茫?/p>

其中，ui為個(gè)體效應(yīng)。

1.2 模型估計(jì)方法

當(dāng)N較大時(shí)，包含大量未知參數(shù)的優(yōu)化問題，往往計(jì)算十分麻煩，甚至難以解決。對(duì)此，Galvao和Wang（2017）[21]提出對(duì)每個(gè)個(gè)體進(jìn)行分位數(shù)回歸，并針對(duì)固定效應(yīng)面板數(shù)據(jù)模型建立了一個(gè)最小距離分位數(shù)回歸估計(jì)量。在帶個(gè)體效應(yīng)和交互效應(yīng)的分位數(shù)回歸模型中，由于每個(gè)個(gè)體的λi和μi不同，導(dǎo)致需要估計(jì)的參數(shù)更多，因此，對(duì)該模型的估計(jì)本文借鑒序列分位數(shù)回歸的方法。同時(shí)，將面板數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為N個(gè)時(shí)間序列的估計(jì)方法也簡(jiǎn)化了個(gè)體效應(yīng)和迭代效應(yīng)的識(shí)別，本文借鑒Chen 等（2021）[20]提出的PC方法來估計(jì)共同因子。

給定對(duì)(τ)和Ft的估計(jì)量，對(duì)每個(gè)i的α和β的個(gè)體估計(jì)量為：

其中，ρτ(u)=u(τ-I(u≤0))是標(biāo)準(zhǔn)分位數(shù)損失函數(shù)，為使用個(gè)體i時(shí)間序列數(shù)據(jù)的序列分位數(shù)回歸估計(jì)值。

給定ft，F(xiàn)t的估計(jì)為=(，1)′，其因子載荷Λi=(λi′(τ)，ui(τ))的估計(jì)量為最小化標(biāo)準(zhǔn)分位數(shù)損失函數(shù)的解：

給 定(τ) 和，通 過 更 新 矩 陣W來 更 新{(τ)，(τ)} 和。給定更新后的，進(jìn)一步通過式（8）更新(τ)。重復(fù)上述步驟，對(duì)式（6）和式（8）進(jìn)行迭代，直到(τ)收斂。

注意到式（6）進(jìn)行迭代的第一步需要對(duì)個(gè)體效應(yīng)和交互效應(yīng)進(jìn)行初始賦值，本文采用了Bai（2009）[22]的研究中的迭代方法，將均值回歸的個(gè)體效應(yīng)和交互效應(yīng)估計(jì)值作為初始值。

迭代結(jié)束后，可獲得對(duì)Λ(τ)Ft的一致估計(jì)。最后，α(τ)和β(τ)可通過最小化標(biāo)準(zhǔn)分位數(shù)損失函數(shù)來估計(jì)：

在給定條件分位數(shù)QYit(τ|Dit，Xit，F(xiàn)t)時(shí)，參數(shù)α(τ)和β(τ)可識(shí)別，并且當(dāng)N，T→∞時(shí)，估計(jì)量為一致估計(jì)量。

為了進(jìn)一步通過迭代最小化式（9）的目標(biāo)函數(shù)，通過W更新，基于更新(τ)：

重復(fù)上面的步驟，在式（9）和式（10）的基礎(chǔ)上進(jìn)行迭代，直到收斂。最后一步迭代是為了提高效率，減少該估計(jì)量的方差。

如果能通過PC 方法一致估計(jì)ft，最小化式（6）和式（8）可以被看作是沒有時(shí)間效應(yīng)的時(shí)間序列的標(biāo)準(zhǔn)分位數(shù)回歸。在這種情況下，加上條件分位數(shù)Quit(τ|Dit，Xit，λi，F(xiàn)t)=0 的假設(shè)可以識(shí)別每個(gè)時(shí)間序列的參數(shù)。而且當(dāng)T →∞時(shí)，每個(gè)個(gè)體i 的分位數(shù)因子載荷(τ)都可以被一致地估計(jì)。此外，估計(jì)量也是一致的。因此，進(jìn)行式（9）的最后一步，在給定Λ(τ)Ft的一致估計(jì)時(shí)，根據(jù)條件分位數(shù)Quit(τ|Dit，Xit，λi，F(xiàn)t)的限制，識(shí)別參數(shù){α ，β} ，并且當(dāng)N，T →∞時(shí)，該估計(jì)量是一致的。

需要注意的是，本文對(duì)于交互效應(yīng)的估計(jì)參考了Chen 等（2021）[20]的設(shè)計(jì)，需要遵循一個(gè)重要假設(shè)，即所有的共同因子都可以通過PC 方法提取出來。但由于PC 方法只能估計(jì)為均值漂移的共同因子，所以該估計(jì)方法要求使Y 的分位數(shù)變化的共同因子也是Y 的均值漂移，因此必須為漸近滿秩的。例如，如果Λri(wit)為零，或者服從零均值的t分布，本文的迭代估計(jì)方法會(huì)因?yàn)镻C方法不能估計(jì)第r 個(gè)因子而失敗。

總體而言，本文方法的創(chuàng)新點(diǎn)有：（1）本文與Harding和Lamarche（2014）[16]的研究的本質(zhì)區(qū)別在于，估計(jì)交互效應(yīng)的方法不同。對(duì)于因子ft，Harding 和Lamarche（2014）[16]選擇了CCE估計(jì)方法，而本文使用了PC估計(jì)方法；對(duì)于因子載荷，Harding 和Lamarche（2014）[16]一次估計(jì)了包含所有個(gè)體的(τ)矩陣，而本文依次估計(jì)了各個(gè)體的Λ^i(τ)，因此本文不需要假設(shè)Λi獨(dú)立同分布，所以本文方法的適用性更強(qiáng)。（2）由于(τ)包括了個(gè)體效應(yīng)，與Harding 和Lamarche（2014）[16]的研究相比，本文的迭代算法能允許多種形式的個(gè)體效應(yīng)，并且允許個(gè)體效應(yīng)具有內(nèi)生性，方法的適用范圍更為廣泛。（3）在傳統(tǒng)的交互效應(yīng)假設(shè)中，當(dāng)Λi的元素為常數(shù)時(shí)，(τ)就等于Λi。此時(shí)，估計(jì)量(τ)實(shí)際上是Λi的估計(jì)。而Harding 和Lamarche（2014）[16]在利用(τ)對(duì)Λ 的第τ 個(gè)分位數(shù)進(jìn)行估計(jì)時(shí)，實(shí)際上忽略了個(gè)體之間的異質(zhì)性。因此，本文方法更適用于交互效應(yīng)面板分位數(shù)回歸模型，在有限樣本中的表現(xiàn)也更好。

2 蒙特卡洛模擬

通過對(duì)本文的迭代估計(jì)量與Harding 和Lamarche（2014）[16]的估計(jì)量進(jìn)行對(duì)比，進(jìn)一步明晰迭代估計(jì)量的創(chuàng)新之處與優(yōu)勢(shì)所在。

Harding 和Lamarche（2014）[16]提出的估計(jì)量簡(jiǎn)稱為QRIIE 估計(jì)量，且已通過蒙特卡洛模擬說明了QRIIE 估計(jì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于其他現(xiàn)有方法，所以本文旨在對(duì)迭代估計(jì)量（Iterative Estimator for Quantile Regression，簡(jiǎn)稱為IEQR）與QRIIE進(jìn)行比較。數(shù)據(jù)生成過程與Harding和Lamarche（2014）[16]的研究類似。

其中，β1=β2=1 ，ρf=0.90，ρη=0.25，h 表示內(nèi)生變量dit系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，xit是外生變量。誤差項(xiàng)uit，vit，ηit和ejt均為相互獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量，?it～N(1，1)且與其他所有變量均參考Harding 和Lamarche（2014）[16]的設(shè)定，因子載荷λ1i和λ2i服從N(1，0.2)。在所有模擬設(shè)計(jì)中，設(shè)定π1=0.3；內(nèi)生變量dit與外生變量xit、因子載荷λi、共同因子ft和交互效應(yīng)λift均相關(guān)，且設(shè)定π2=π3=π4=0.1。

模擬過程中，個(gè)體固定效應(yīng)和個(gè)體隨機(jī)效應(yīng)兩類應(yīng)均有涉及。設(shè)計(jì)1至設(shè)計(jì)3為包含個(gè)體隨機(jī)效應(yīng)和交互效應(yīng)的分位數(shù)回歸模型，而設(shè)計(jì)4至設(shè)計(jì)6則為包含個(gè)體固定效應(yīng)和交互效應(yīng)的分位數(shù)回歸模型。個(gè)體隨機(jī)效應(yīng)μi服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。蒙特卡洛模擬重復(fù)次數(shù)設(shè)定為1000次。

設(shè)計(jì)1：類似于Harding 和Lamarche（2014）[16]的設(shè)定，令h=0.1，因此β1表示一個(gè)位移尺度漂移。

設(shè)計(jì)2：令h=0.5，此時(shí)，與設(shè)計(jì)1 相比，內(nèi)生變量dit系數(shù)的方差更大。

設(shè)計(jì)3：令uit～exp(1)，即內(nèi)生變量dit系數(shù)服從指數(shù)分布而不是高斯分布。

除了個(gè)體效應(yīng)被設(shè)定為固定效應(yīng)外，設(shè)計(jì)4 至設(shè)計(jì)6與設(shè)計(jì)1 至設(shè)計(jì)3 一致。個(gè)體固定效應(yīng)μi的數(shù)據(jù)生成過程為：

其中，令γ=2，且個(gè)體效應(yīng)與內(nèi)生變量dit相關(guān)。

下頁(yè)表1 展示了在個(gè)體隨機(jī)效應(yīng)下，設(shè)計(jì)1 至設(shè)計(jì)3中斜率系數(shù)β1估計(jì)量的偏差和均方根誤差（RMSE）。設(shè)定τ={0.25，0.90}，N={200， 500}和T={10，30，50} ，IEQR為本文的估計(jì)結(jié)果，而QRIIE 為基于Harding 和Lamarche（2014）[16]的方法的估計(jì)結(jié)果。

表1 具有個(gè)體隨機(jī)效應(yīng)和交互效應(yīng)的分位數(shù)回歸模型

從表1中可以看出，這兩個(gè)估計(jì)量在有限樣本中均表現(xiàn)良好，而且隨著N 和T 變大，偏差和RMSE 均顯著降低，這意味著在大樣本下這兩種方法均適用。然而，通過比較QRIIE 與IEQR 的偏差和RMSE 可以看出，本文提出的估計(jì)量的偏差要小得多，這可能是因?yàn)镮EQR 估計(jì)的是Λi(τ)，而不是Λ(τ)。

根據(jù)下頁(yè)表2，當(dāng)個(gè)體效應(yīng)與回歸自變量相關(guān)時(shí)，本文估計(jì)量IEQR 的RMSE 依然隨著N 和T 的增加而顯著減小。然而此時(shí)QRIIE估計(jì)失效，隨著N 和T 的增加，估計(jì)偏差只略微減小。除此之外，設(shè)計(jì)5和設(shè)計(jì)6的模擬結(jié)果表明，IEQR 估計(jì)并不依賴于其系數(shù)的分布，說明IEQR估計(jì)方法不需要滿足系數(shù)對(duì)稱分布的假設(shè)。從模擬結(jié)果可以看出，在極端分位數(shù)下，相對(duì)于QRIIE，IEQR 的偏差和RMSE均更小，進(jìn)一步體現(xiàn)了本文迭代算法有更好的有限樣本性質(zhì)，適用性更強(qiáng)。

表2 具有個(gè)體固定效應(yīng)和交互效應(yīng)的分位數(shù)回歸模型

本文進(jìn)一步驗(yàn)證設(shè)計(jì)1中IEQR系數(shù)的估計(jì)量是否具有與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布一致的偏度和峰度，為此進(jìn)行Jarque-Bera檢驗(yàn)，結(jié)果如表3所示。

表3 Jarque-Bera檢驗(yàn)結(jié)果

從統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以看出，對(duì)比情景1和2、3和4可得，當(dāng)N增大的時(shí)候，JB 統(tǒng)計(jì)量的值減小了；對(duì)比情景1 和3、2和4 可得，當(dāng)T增大的時(shí)候，JB 統(tǒng)計(jì)量的值減小了。綜合來看，可以發(fā)現(xiàn)JB 統(tǒng)計(jì)量的值隨著N和T的增大而減小。這表明：隨著樣本量的增加，估計(jì)量服從正態(tài)分布的原假設(shè)越來越不能被拒絕。JB統(tǒng)計(jì)量的值隨著樣本量的增加而減小，說明了估計(jì)量分布的漸近正態(tài)性。

3 實(shí)證分析：房?jī)r(jià)的影響因素

3.1 模型構(gòu)建

本文以房?jī)r(jià)問題為例，實(shí)證檢驗(yàn)各影響因素對(duì)不同城市房?jī)r(jià)的影響程度，以便為不同發(fā)展階段的城市的房?jī)r(jià)調(diào)整政策提供依據(jù)。

本文選取了我國(guó)的264個(gè)城市，利用其2008—2019年的房?jī)r(jià)（pri）數(shù)據(jù)對(duì)影響中國(guó)房?jī)r(jià)的因素進(jìn)行實(shí)證分析。參考洪勇（2020）[23]的研究，本文考慮從房地產(chǎn)市場(chǎng)的供給和需求兩個(gè)方面來選擇房?jī)r(jià)決定因素。在需求方面，考慮陳艷如等（2021）[24]提出的三個(gè)主要因素：經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平（gdp）、人民生活水平（inc）和人口數(shù)量（pop）。在供給方面，考慮洪勇（2020）[23]選擇的兩個(gè)主要因素：房地產(chǎn)投資（inv）和貨幣條件（loa）。針對(duì)以上指標(biāo)，本文中采用GDP 來衡量經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平，用人均可支配收入來衡量人民生活水平，用人口密度來衡量人口數(shù)量。此外，用住房建設(shè)投資來衡量房地產(chǎn)投資，貨幣條件則用貸款余額來衡量。

據(jù)此建立的房?jī)r(jià)決定模型如下：

其中，μi是個(gè)體效應(yīng)，Yit表示房?jī)r(jià)，Xit為各影響因素，β衡量的是Xit中各變量發(fā)生變動(dòng)時(shí)對(duì)房?jī)r(jià)Yit產(chǎn)生的影響，uit表示除了自變量之外的其他影響房?jī)r(jià)且無(wú)法觀測(cè)的因素。

3.2 樣本數(shù)據(jù)

由于大多數(shù)城市在2008 年之前的房?jī)r(jià)數(shù)據(jù)無(wú)法獲得，因此本文的樣本起始年份為2008 年。為減少異方差的影響，對(duì)原始數(shù)據(jù)取自然對(duì)數(shù)。房?jī)r(jià)數(shù)據(jù)來自城市住宅數(shù)據(jù)庫(kù)，而其余指標(biāo)數(shù)據(jù)均來源于國(guó)泰安數(shù)據(jù)庫(kù)。gdp、inc、inv、loa指標(biāo)均已按2008年的價(jià)格進(jìn)行了平減。

表4 展示了各變量的描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果。房?jī)r(jià)的差異十分顯著，房?jī)r(jià)最低為每平方米1700元，而最高為每平方米63500 元。此外，房?jī)r(jià)的0.90 分位數(shù)為10000 元/平方米，表明只有少數(shù)城市的房?jī)r(jià)偏離了平均水平6100 元/平方米，說明房地產(chǎn)市場(chǎng)上可能存在非理性行為。盡管如此，由于分位數(shù)回歸對(duì)非正態(tài)分布與高偏度具有穩(wěn)健性，因此這些性質(zhì)并不影響模型設(shè)定。

表4 主要變量的描述性統(tǒng)計(jì)

3.3 實(shí)證分析

在進(jìn)行回歸前，先進(jìn)行面板單位根檢驗(yàn)，結(jié)果如表5所示。

表5 Levin-Lin-Chu面板單位根檢驗(yàn)結(jié)果

根據(jù)表5 可知，所有的變量均是平穩(wěn)的，因此可進(jìn)行分位數(shù)回歸?；貧w結(jié)果如表6所示。

表6 房?jī)r(jià)的決定因素

表6 展示了在0.10、0.25、0.50、0.75、0.90 分位數(shù)的回歸估計(jì)值。其中，0.10分位數(shù)與0.25分位數(shù)代表的是房?jī)r(jià)相對(duì)較低的情況；0.50分位數(shù)的房?jī)r(jià)代表了所有城市房?jī)r(jià)的平均水平；0.75 與0.90 分位數(shù)則代表了房?jī)r(jià)較高的情況，分位數(shù)回歸結(jié)果反映了不同位置各因素對(duì)房?jī)r(jià)的邊際影響。例如，當(dāng)房?jī)r(jià)處于低水平時(shí)，GDP、人均可支配收入、人口密度、住房建設(shè)投資的增加均會(huì)導(dǎo)致房?jī)r(jià)上升，其中人均可支配收入的增加對(duì)房?jī)r(jià)上漲的促進(jìn)作用最為顯著。在0.50分位數(shù)上，GDP與住房建設(shè)投資的影響明顯下降。而在高房?jī)r(jià)地區(qū)，住房建設(shè)投資會(huì)推高房?jī)r(jià)。

表6的結(jié)果顯示，經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平越高，房?jī)r(jià)就越高，但隨著分位數(shù)的增加，經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平對(duì)房?jī)r(jià)的影響先增強(qiáng)后減弱，其原因是在經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平較低的地區(qū)，房地產(chǎn)行業(yè)也未得到充分的發(fā)展，居民對(duì)住房的需求沒有得到滿足，因此隨著經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平的提高，GDP對(duì)房?jī)r(jià)的影響逐漸增大，而當(dāng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展達(dá)到一定水平之后，居民對(duì)住房的需求已經(jīng)得到保障，此時(shí)，經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平雖然對(duì)住房?jī)r(jià)格仍然有促進(jìn)作用，但影響力明顯降低。人均可支配收入的提高也會(huì)促進(jìn)人們對(duì)住房的需求，從而導(dǎo)致房?jī)r(jià)上漲，與經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平類似，隨著分位數(shù)的增加，人均可支配收入對(duì)房?jī)r(jià)的影響先上升后下降。

與預(yù)期的系數(shù)方向一致，人口密度的增加會(huì)導(dǎo)致房?jī)r(jià)上漲，且隨著分位數(shù)的增加，人口密度對(duì)房?jī)r(jià)的影響逐漸增強(qiáng)。這表明，房?jī)r(jià)從低到中高水平，人口密度都對(duì)房?jī)r(jià)起著促進(jìn)作用，這一結(jié)果也符合供需規(guī)律，即人口數(shù)量的增多會(huì)導(dǎo)致住房需求增加，而需求的增加會(huì)拉動(dòng)房?jī)r(jià)上漲。對(duì)于住房建設(shè)投資，其數(shù)值的增加也會(huì)導(dǎo)致房?jī)r(jià)上漲，且從低房?jī)r(jià)到中高水平房?jī)r(jià)的地區(qū)，住房建設(shè)投資對(duì)房?jī)r(jià)上漲的促進(jìn)作用逐漸下降。然而在房?jī)r(jià)較高的情況下，投資對(duì)房?jī)r(jià)的影響系數(shù)又上升到0.152。這與在我國(guó)房地產(chǎn)市場(chǎng)上觀察到的市場(chǎng)追逐現(xiàn)象一致——在房?jī)r(jià)較高的地區(qū)，投機(jī)需求相對(duì)較高。

貸款余額對(duì)房?jī)r(jià)存在負(fù)向效應(yīng)，即貸款余額的增加會(huì)導(dǎo)致房?jī)r(jià)下跌。一種解釋為：一般貸款余額的增加說明此時(shí)為寬松的貨幣政策，融資成本相對(duì)較低，因此房?jī)r(jià)也會(huì)相對(duì)下降。此外，隨著房?jī)r(jià)分位數(shù)的上升，這種影響會(huì)逐漸減弱。

綜上所述，高房?jī)r(jià)地區(qū)的房地產(chǎn)市場(chǎng)表現(xiàn)出與其他地區(qū)不同的特點(diǎn)。在房?jī)r(jià)高的地區(qū)，經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平和人均可支配收入對(duì)房?jī)r(jià)的影響下降，而住房建設(shè)投資對(duì)房?jī)r(jià)的影響卻相對(duì)上升。為保持房地產(chǎn)市場(chǎng)的健康發(fā)展，應(yīng)采取一定的政策，抑制投機(jī)因素，防止房?jī)r(jià)飆升。

4 結(jié)論

本文提出了一種迭代方法對(duì)具有個(gè)體效應(yīng)和交互效應(yīng)的面板數(shù)據(jù)模型進(jìn)行分位數(shù)回歸估計(jì)，創(chuàng)新點(diǎn)在于，本文考慮的是帶交互效應(yīng)的面板分位數(shù)回歸，能反映不同個(gè)體對(duì)共同因子的敏感度差異，而且本文提出的方法允許個(gè)體效應(yīng)和交互效應(yīng)與自變量相關(guān)，更好地解決了個(gè)體效應(yīng)的內(nèi)生性問題。蒙特卡洛模擬結(jié)果表明，相對(duì)于目前最優(yōu)的Harding 和Lamarche（2014）[16]所提出的交互效應(yīng)的分位數(shù)回歸估計(jì)量QRIIE，本文的迭代估計(jì)量（IEQR）表現(xiàn)更好。值得注意的是，QRIIE在個(gè)體固定效應(yīng)具有內(nèi)生性時(shí)會(huì)失效，而本文的迭代估計(jì)量能解決這一難題，在個(gè)體固定效應(yīng)具有強(qiáng)內(nèi)生性時(shí)，IEQR 依然可以進(jìn)行準(zhǔn)確地估計(jì)。最后，用IEQR估計(jì)了房?jī)r(jià)決定因素的影響效應(yīng)，發(fā)現(xiàn)房?jī)r(jià)決定因素的影響效應(yīng)存在異質(zhì)性。