社交網(wǎng)絡(luò)突發(fā)謠言傳播動(dòng)力學(xué)建模與分析

王鵬翔 葉鷗 黃山閣 馬志強(qiáng)

摘 要：為研究突發(fā)謠言事件的傳播機(jī)制，降低突發(fā)謠言事件對(duì)城市安全的危害，以社交網(wǎng)絡(luò)突發(fā)謠言現(xiàn)象為對(duì)象，考慮頑固傳謠者、時(shí)滯機(jī)制和用戶流動(dòng)因素，建立改進(jìn)的突發(fā)謠言傳播模型。利用再生矩陣法得到該模型的基本再生數(shù)，采用穩(wěn)定性理論分析模型平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性，通過Hopf分岔理論確定Hopf分岔發(fā)生的條件和時(shí)滯分岔閾值；通過仿真試驗(yàn)研究謠言接觸率、謠言關(guān)注率、關(guān)注者感染率、用戶流動(dòng)率等參數(shù)和時(shí)滯機(jī)制對(duì)謠言傳播的影響；采用最小二乘法估計(jì)真實(shí)謠言事件下模型的參數(shù)。結(jié)果表明：改進(jìn)的突發(fā)謠言傳播模型可以描述謠言的傳播過程；遏制社交網(wǎng)絡(luò)謠言傳播的重點(diǎn)在于降低謠言接觸率、謠言關(guān)注率和關(guān)注者感染率，提高用戶流動(dòng)率；避免時(shí)滯超過分岔時(shí)滯閾值，可以有效限制謠言在社交網(wǎng)絡(luò)上的周期性傳播現(xiàn)象；該模型能夠擬合真實(shí)謠言傳播事件。研究成果有助于評(píng)估謠言傳播態(tài)勢(shì)，為政府針對(duì)性制定謠言管控措施提供一定理論支撐。

關(guān)鍵詞：城市安全；謠言傳播；非線性動(dòng)力學(xué)；穩(wěn)定性

中圖分類號(hào)：TP 391文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1672-9315（2023）03-0637-10

DOI：10.13800/j.cnki.xakjdxxb.2023.0322開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：

Dynamic modeling and analysis of sudden rumor propagation in social networks

WANG Pengxiang1，YE Ou1，HUANG Shange1，MA Zhiqiang2

（1.College of Computer Science and Engineering，Xian University of Science and Technology，Xian 710054，China；2.Institute of Information and Navigation，Air Force Engineering University，Xian 710077，China）

Abstract：To explore the propagation trend of outbreak rumor，and reduce the harm of outbreak rumor events to urban safety，an improved outbreak rumor propagation model was established targeting social network in view of? persistent rumor spreaders，time delay mechanism and user mobility factors.The basic regeneration number was obtained by using the regeneration matrix method，the conditions for the local stability of model equilibrium points was analyzed by the stability theory，the Hopf bifurcation occurrence and the time delay threshold were determined by Hopf bifurcation theory，and the influence of parameters，or， rumor exposure rate，rumor concern rate，follower infection rate，user mobility rate and time delay mechanism，on rumor propagation was examined.And the parameters of the outbreak rumor propagation model was estimated by the least squares method on real rumor data.The experimental results show that：the improved outbreak rumor spreading model can describe the rumor spreading process；the focus of controling rumor spreading in social networks is to reduce rumor exposure rate，rumor concern rate and follower infection rate，with the user mobility rate increased；the periodic spreading? of rumors is restrained by preventing time delay exceeding the bifurcation threshold.Thus the model can simulate the real rumor spreading events.The results can help evaluate the rumor spreading situation and provide a theoretical guidance for the government to formulate targeted rumor control measures.

Key words：urban security；rumor propagation；non-linear dynamics；stability

0 引 言

信息技術(shù)成為社會(huì)發(fā)展的新引擎，但在信息高速傳播、城市公共安全事件不斷涌現(xiàn)的背景下，城市安全面臨越來越多的挑戰(zhàn)^[1]，其中社交網(wǎng)絡(luò)謠言管控與公共信息安全和社會(huì)秩序密切相關(guān)。在新型冠狀病毒疫情期間，社交網(wǎng)絡(luò)上爆發(fā)了大量相關(guān)謠言，嚴(yán)重影響了城市公共安全。研究社交網(wǎng)絡(luò)上的謠言傳播機(jī)制，有助于針對(duì)性開展謠言管控措施，對(duì)城市安全具有重要意義。

在社交網(wǎng)絡(luò)謠言傳播領(lǐng)域，謠言傳播動(dòng)力學(xué)建模得到了廣泛的研究。DALEY等基于經(jīng)典SIR傳染病模型提出了ISR模型，研究了該模型的數(shù)學(xué)性質(zhì)，揭示了謠言傳播模型和傳染病傳播模型之間的差異^[2-3]。大量學(xué)者針對(duì)謠言傳播的特點(diǎn)，在用戶狀態(tài)的多樣性、用戶行為的差異性、外界環(huán)境的擾動(dòng)性、傳播機(jī)制的特殊性等方面展開研究^[4]。LI等改進(jìn)傳統(tǒng)的單一無知者和移除者的SIR模型，建立了一種有多個(gè)謠言傳播渠道的2IS2R模型，提出了多謠言傳播渠道下控制謠言傳播的措施^[5]。CHEN將科學(xué)知識(shí)水平和社會(huì)強(qiáng)化效應(yīng)引入經(jīng)典SIR模型^[6]，該研究表明科學(xué)知識(shí)水平提高了謠言傳播閾值，而社會(huì)強(qiáng)化效應(yīng)降低了謠言傳播閾值。DING等基于經(jīng)典SIR流行病模型，提出考慮遺忘機(jī)制和反駁策略的謠言傳播模型，研究了遺忘機(jī)制和反駁策略對(duì)謠言傳播過程的影響^[7]。為了更深入地研究謠言傳播過程中的滯后效應(yīng)，許多學(xué)者將時(shí)滯因素引入謠言傳播模型。王衛(wèi)蘋等考慮了包含信謠者和鐵桿信謠者的SEIRD時(shí)滯謠言傳播模型，該研究表明教育普及率對(duì)降低謠言峰值具有重要作用^[8]。謠言傳播模型可能存在會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)穩(wěn)定性發(fā)生變化的分岔現(xiàn)象。研究謠言傳播模型的分岔現(xiàn)象有利于把握謠言傳播規(guī)律，對(duì)謠言進(jìn)行有效管控。分岔包括跨臨界分岔^[9]、后向分岔^[10]、Hopf分岔^[11-14]等。基于ISR謠言傳播模型，考慮頑固傳謠者、時(shí)滯效應(yīng)及用戶流動(dòng)因素的影響，建立一類社交網(wǎng)絡(luò)突發(fā)謠言傳播模型，對(duì)該模型的平衡點(diǎn)、基本再生數(shù)和分岔等動(dòng)力學(xué)性質(zhì)進(jìn)行理論分析和數(shù)值仿真，研究重要參數(shù)對(duì)謠言傳播過程的影響。通過真實(shí)數(shù)據(jù)擬合該模型的參數(shù)，模擬謠言的傳播過程，為社交網(wǎng)絡(luò)謠言管控和城市公共信息安全管理提供參考。

1 突發(fā)謠言傳播模型構(gòu)建

經(jīng)典ISR模型將整個(gè)群體劃分為無知者、傳播者和移除者，并依據(jù)狀態(tài)間的遷移方程描述謠言傳播過程，在謠言傳播建模上具有廣泛應(yīng)用，因此突發(fā)謠言傳播模型將基于經(jīng)典ISR模型建模。

ISR模型將整個(gè)群體視為不存在人口流動(dòng)的孤立群體，然而真實(shí)社交網(wǎng)絡(luò)的用戶群體具有流動(dòng)性?？紤]社交網(wǎng)絡(luò)中新增和流失的用戶，令μ₁為用戶新增率，μ₂為用戶流失率。假設(shè)謠言傳播期間社交網(wǎng)絡(luò)中的總用戶數(shù)量保持為一個(gè)常數(shù)，則用戶新增率μ₁等于用戶流失率μ₂，并以用戶流動(dòng)率μ統(tǒng)一表示，即μ=μ₁=μ₂。

ISR模型將任何參與謠言傳播的個(gè)體均視為傳播者，在突發(fā)謠言傳播事件中，參與謠言傳播的個(gè)體不僅包括關(guān)注并參與謠言話題的關(guān)注者，也包括蓄意制造轟動(dòng)且有意宣揚(yáng)不實(shí)信息的頑固傳謠者。將ISR模型中的傳播者細(xì)分為關(guān)注者和頑固傳謠者，提出突發(fā)謠言傳播場(chǎng)景下的群體劃分方法，在社交網(wǎng)絡(luò)突發(fā)謠言傳播過程中，關(guān)注者的行為可能由于個(gè)人心理、社會(huì)環(huán)境、信息呈現(xiàn)方式等因素引起遲疑或耽擱，導(dǎo)致用戶行為在時(shí)間上的滯后性^[15-18]。

無知者U以謠言接觸率α接觸頑固傳謠者S，并產(chǎn)生3種概率行為以無知者關(guān)注率θ₁成為關(guān)注者I，以無知者感染率θ₂成為頑固傳謠者S，以無知者移除率（1-θ₁-θ₂）成為移除者R。關(guān)注者I根據(jù)行為是否具有滯后性可分為2類：不受時(shí)滯因素影響的關(guān)注者I以概率γ立刻停止關(guān)注行為，并以ф的概率相信謠言成為頑固傳謠者S或以（1-ф）的概率不相信謠言成為移除者R；受到時(shí)滯因素影響的關(guān)注者I會(huì)關(guān)注謠言并在經(jīng)過滯后時(shí)間τ后以謠言關(guān)注率β成為頑固傳謠者S。頑固傳謠者S拒絕接受辟謠信息，不會(huì)以任何方式轉(zhuǎn)變?yōu)橐瞥逺。因此，得到突發(fā)謠言傳播模型的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖（圖1）。

按照?qǐng)D1所示各狀態(tài)的遷移過程，建立突發(fā)謠言傳播模型動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)如下。

式中 U（t），I（t），S（t），R（t）為時(shí)刻t時(shí)各群體的占比；U（t）為無知者群體；I（t）為關(guān)注者群體；S（t）為頑固傳謠者群體；R（t）為移除者群體。μ為用戶流動(dòng)率；α為謠言接觸率；θ₁為無知者關(guān)注率；θ₂為無知者感染率；γ為關(guān)注者接觸率；ф為關(guān)注者立即感染率；β為關(guān)注者延遲感染率；τ為時(shí)滯參數(shù)。滿足U（t）+I（t）+S（t）+R（t）=1，且前3個(gè)方程的演化與移除者R無關(guān)^[19]。

2 模型平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性

謠言傳播模型各個(gè)狀態(tài)隨著時(shí)間推移會(huì)進(jìn)入無謠言平衡點(diǎn)和謠言傳播平衡點(diǎn)。依據(jù)傳播動(dòng)力學(xué)理論，存在表征傳播閾值的基本再生數(shù)R₀（表示傳播謠言的個(gè)體在謠言傳播過程中平均感染無知者的數(shù)量），當(dāng)R₀<1時(shí)，系統(tǒng)隨時(shí)間趨于無謠言平衡點(diǎn)，謠言保持消亡態(tài)勢(shì)；當(dāng)R₀>1時(shí)，系統(tǒng)隨時(shí)間趨于謠言傳播平衡點(diǎn)，謠言保持傳播態(tài)勢(shì)。為了研究時(shí)滯效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，對(duì)Hopf分岔現(xiàn)象進(jìn)行研究。

2.1 平衡點(diǎn)及基本再生數(shù)

系統(tǒng)到達(dá)平衡點(diǎn)后所有狀態(tài)的變化量為零。令系統(tǒng)（1）中微分方程組各子項(xiàng)右端為零，計(jì)算得出系統(tǒng)的無謠言平衡點(diǎn)E₀=（1，0，0）和謠言傳播平衡點(diǎn)E_e=（U^*，I^*，S^*）。

其中，

基本再生數(shù)R₀是決定社交網(wǎng)絡(luò)謠言傳播能力的重要參數(shù)，對(duì)謠言傳播動(dòng)力學(xué)分析具有重要作用。使用再生矩陣法^[20]計(jì)算基本再生數(shù)，得到系統(tǒng)（1）中的再生矩陣X=（I（t），S（t））^T，用F和V分別表示X的新感染項(xiàng)和其他項(xiàng)，系統(tǒng)的基本再生數(shù)R₀即為矩陣J_FJ^-1_V的譜半徑，其中J_F，J^-1_V分別為F和V的Jacobian行列式。得到R₀的表達(dá)式為

可知R₀受謠言接觸率α、無知者關(guān)注率θ₁、無知者感染率θ₂、關(guān)注者延遲感染率β和用戶流動(dòng)率μ的影響。在系統(tǒng)（1）中，R₀表示一個(gè)頑固傳謠者在謠言傳播過程中平均感染無知者的數(shù)量，R₀的值越大，表示謠言感染無知者的能力越強(qiáng)。當(dāng)R₀<1時(shí)，系統(tǒng)趨于無謠言平衡點(diǎn)，謠言自行消亡，當(dāng)R₀>1時(shí)，系統(tǒng)趨于謠言傳播平衡點(diǎn)，謠言持續(xù)存在。

2.2 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

系統(tǒng)收斂于無謠言平衡點(diǎn)或謠言傳播平衡點(diǎn)，并達(dá)到局部穩(wěn)定。以下對(duì)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。

系統(tǒng)在無謠言平衡點(diǎn)處的Jacobian矩陣為

其特征多項(xiàng)式為（λ+μ）（λ+κ₁）（λ+κ₂）。

在謠言傳播平衡點(diǎn)E_e的Jacobian矩陣為

其特征方程為λ³+l₁λ²+l₂λ+l₃=0。其中，l₁=a₁+a₄+a₅+a₈，l₂=a₁（a₄+a₅+a₉）+a₉（a₄+a₅）+a₅a₆-a₂a₇-a₆a₈，l₃=a₁a₄a₉+a₂a₃a₈+a₅（a₁（a₆+a₉）-a₂（a₃+a₇））-a₂a₄a₇-a₁a₆a₈。

記a₁=αS^*+μ，a₂=αU^*，a₃=-αθ₁S^*，a₄=γS^*+μ，a₅=β，a₆=γI^*-αθ₁U^*，a₇=-αθ₂S^*，a₈=-фγS^*，a₉=μ-αθ₂U^*-фγI^*。

為了求得特征根的符號(hào)，根據(jù)Routh-Hurwitz判定準(zhǔn)則^[21]，定義Δ₁=l₁，Δ₂=l₁l₂-l₃，Δ₃=l₃Δ₂。當(dāng)R₀>1時(shí)，求得l₁，l₂，l₃>0，則Δ₁，Δ₂，Δ₃>0。當(dāng)Δ₁，Δ₂，Δ₃均大于零時(shí)，特征方程的根都具有負(fù)實(shí)部。根據(jù)穩(wěn)定性理論，當(dāng)τ=0，R₀>1時(shí)，謠言傳播平衡點(diǎn)E_e是局部漸近穩(wěn)定的。

謠言傳播模型受時(shí)滯機(jī)制影響會(huì)產(chǎn)生Hopf分岔現(xiàn)象。Hopf分岔會(huì)引起謠言在社交網(wǎng)絡(luò)中周期性爆發(fā)，加大謠言控制難度。

當(dāng)時(shí)滯大于零時(shí)，系統(tǒng)特征方程為λ³+b₁λ²+b₂λ+b₃+a₅e^-λt（λ²+b₄λ+b₅）=0。

記b₁=a₁+a₄+a₈，b₂=a₁a₉+a₁a₄+a₄a₉-a₂a₇-a₆a₈，b₃=a₁a₄a₉+a₂a₃a₈-a₂a₄a₇-a₁a₆a₈，b₄=a₁+a₆+a₉，b₅=a₁（a₆+a₉）-a₂（a₃+a₇）。

假設(shè)特征方程有純虛根λ = iω，其中i為虛數(shù)單位，將其代入特征方程后使用歐拉公式展開并分離實(shí)虛部，可得特征方程展開式。

（-a₅ω²+a₅b₅）cosωτ+a₅b₄ωsinωτ=b₁ω²-b₃

a₅b₄ωcosωτ+（a₅ω²-a₅b₅）sinωτ=ω³-b₂ω

通過該方程可以求得時(shí)滯項(xiàng)的值，為方便計(jì)算，將上式化簡(jiǎn)為

為了求解特征根ω的值，將特征方程的展開式的2個(gè)子式平方相加，得到關(guān)于ω的方程

f（ω）=ω¹⁰+d₁ω⁸+d₂ω⁶+d₃ω⁴+d₄ω²+d₅=0

其中，d₅=（c²₃-c²₆）/c²₇。f（ω）在區(qū)間[0，+∞）上連續(xù)，易得f（+∞）=+∞，且當(dāng)d₅<0時(shí)f（0）= d₅<0。根據(jù)零點(diǎn)定理，f（ω）至少有一個(gè)正實(shí)根。由于f（ω）是一個(gè)正10階偶多項(xiàng)式函數(shù)，正實(shí)根的個(gè)數(shù)不會(huì)大于5。則f（ω）有n（n≤ 5）個(gè)正實(shí)根ω_k，k = 1，…，n。為了得到時(shí)滯參數(shù)τ的解，計(jì)算? cosωτ的反函數(shù)。

當(dāng)時(shí)滯τ =τ₀時(shí)，f（ω）對(duì)應(yīng)的實(shí)根為ω₀，存在一對(duì)共軛復(fù)根±iω₀，即系統(tǒng)在謠言傳播平衡點(diǎn)E_e處的Jacobian矩陣有一對(duì)±iω₀的共軛特征根，滿足Hopf分岔存在的條件。

由Butleri引理^[22]，若系統(tǒng)在τ = 0時(shí)謠言傳播平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的，則當(dāng)0<τ<τ₀時(shí)，系統(tǒng)在謠言傳播平衡點(diǎn)仍局部漸近穩(wěn)定。

3數(shù)值仿真

3.1 無謠言平衡點(diǎn)穩(wěn)定性仿真

令μ=0.2，α=0.1，θ₁=0.2，θ₂=0.6，β=0.4，ф=0.3，γ=0.2，則系統(tǒng)（1）的基本再生數(shù)R₀=0.367<1。根據(jù)上述參數(shù)進(jìn)行仿真試驗(yàn)，得到系統(tǒng)（1）中各狀態(tài)趨于無謠言平衡點(diǎn)的演化趨勢(shì)（圖2）。頑固傳謠者的數(shù)量初始時(shí)逐漸增加，在t=2.4時(shí)刻達(dá)到峰值后逐漸減少并在t=45.7時(shí)刻趨于零。無知者占比逐漸趨于1，關(guān)注者占比逐漸趨于零。謠言一開始在社交網(wǎng)絡(luò)中呈蔓延形式。由于R₀<1，謠言無法維持傳播而消亡。試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了無謠言平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。令系統(tǒng)（1）關(guān)注者初值分別為0.20，0.25，0.30，0.35，0.40，保持R₀=0.367<1，得到無知者—關(guān)注者—頑固傳謠者演化趨勢(shì)的相軌圖均趨于無謠言平衡點(diǎn)（圖3）。

3.2 謠言傳播平衡點(diǎn)穩(wěn)定性仿真

令μ=0.2，α=0.4，θ₁=0.2，θ₂=0.6，β=0.4，ф=0.3，γ=0.2，則系統(tǒng)（1）的基本再生數(shù)R₀=1.467>1，通過仿真試驗(yàn)得到系統(tǒng)（1）中各個(gè)狀態(tài)的演化曲線（圖4）。頑固傳謠者占比隨時(shí)間遞增并在t=4.9時(shí)刻達(dá)到峰值，之后逐漸減少并在時(shí)間為17.5時(shí)刻穩(wěn)定于一個(gè)正值。無知者占比逐漸增加，在時(shí)間為43.7時(shí)刻趨于穩(wěn)定。關(guān)注者占比逐漸減少，在時(shí)間為17.5時(shí)刻趨于穩(wěn)定。由于謠言接觸率α增加，導(dǎo)致R₀>1，頑固傳謠者占比最終穩(wěn)定在正值，表明謠言將在社交網(wǎng)絡(luò)中持續(xù)傳播而不會(huì)消亡。令系統(tǒng)（1）關(guān)注者初值分別為0.20，0.25，0.30，0.35，0.40，保持R₀= 1.467>1，得到無知者—關(guān)注者—頑固傳謠者演化趨勢(shì)的相軌圖均趨于謠言傳播平衡點(diǎn)（圖5）。

3.3 Hopf分岔存在性仿真

令系統(tǒng)（2）中參數(shù)μ=0.04，α=0.08，θ₁=0.4，θ₂=0.5，β=0.9，ф=0.8，γ=0.09。在該組參數(shù)下，求得R₀=1.766，ω₀=0.985，τ₀=1.870。由定理3可得，系統(tǒng)（1）的謠言傳播平衡點(diǎn)E_e=（0.569 9，0.007 1，0.377 3）在τ∈[0，τ₀）時(shí)局部漸近穩(wěn)定，在τ=τ₀處發(fā)生Hopf分岔。

試驗(yàn)給出系統(tǒng)是否發(fā)生Hopf分岔現(xiàn)象的仿真結(jié)果（圖6～圖7），令τ=1.815<τ₀，隨著時(shí)間推移，頑固傳謠者占比穩(wěn)定于0.377 3，謠言傳播平衡點(diǎn)E_e局部漸進(jìn)穩(wěn)定。令τ=1.870=τ₀，系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔，頑固傳謠者的占比處于持續(xù)的波動(dòng)狀態(tài)，表示謠言在系統(tǒng)中呈周期性傳播。如果放任關(guān)注者群體對(duì)謠言的持續(xù)關(guān)注，將導(dǎo)致謠言在網(wǎng)絡(luò)中周期性爆發(fā)。通過研究Hopf分岔現(xiàn)象，有利于指導(dǎo)平臺(tái)和政府制定合理的管控措施。

3.4 時(shí)滯參數(shù)對(duì)謠言傳播過程的影響

為了分析時(shí)滯對(duì)謠言傳播的影響，令τ分別取τ=0，0.4，0.8，1.2，1.6，其他參數(shù)取值與3.3節(jié)一致。由Butleri引理和謠言傳播平衡點(diǎn)穩(wěn)定性可得，系統(tǒng)（1）在謠言傳播平衡點(diǎn)E_e趨于穩(wěn)定。仿真試驗(yàn)給出時(shí)滯參數(shù)對(duì)謠言傳播過程的影響（圖8）。

關(guān)注者通過關(guān)注行為轉(zhuǎn)化為頑固傳謠者，時(shí)滯參數(shù)τ表示關(guān)注行為的持續(xù)時(shí)間。時(shí)滯參數(shù)τ的增大會(huì)引起頑固傳謠者演化過程更加復(fù)雜，并使頑固傳謠者趨于穩(wěn)定的時(shí)間延后，表示用戶關(guān)注謠言信息的時(shí)間越久，用戶受謠言的影響越深，用戶行為越不穩(wěn)定。社交媒體平臺(tái)應(yīng)當(dāng)及時(shí)清除謠言信息，遏制謠言在社交媒體上的滯留時(shí)間，縮短用戶對(duì)謠言信息的關(guān)注時(shí)長(zhǎng)，抑制時(shí)滯效應(yīng)對(duì)關(guān)注者的影響，降低謠言傳播對(duì)平臺(tái)造成的損失，以維護(hù)良好的用戶體驗(yàn)和平臺(tái)公信力。

3.5 重要參數(shù)對(duì)謠言傳播過程的影響

為研究謠言接觸率α，關(guān)注者延遲感染率β，無知者關(guān)注率θ₁，用戶流動(dòng)率μ對(duì)謠言傳播過程的影響，令ф=0.6，γ=0.6，θ₂=0.5，給出各組α，β，θ₁，μ的取值區(qū)間（表1），通過仿真試驗(yàn)得到各參數(shù)對(duì)頑固傳謠者占比的影響（圖9～圖12）。

隨著α，β，θ₁的增加，頑固傳謠者的峰值和最終占比隨之升高，謠言趨于穩(wěn)定狀態(tài)的時(shí)間延后（圖9～圖11）。隨著μ的增加，頑固傳謠者的峰值和最終占比隨之降低，謠言趨于穩(wěn)定的時(shí)間縮短（圖12）。因此，若α，β，θ₁越大，μ越小，那么社交網(wǎng)絡(luò)中謠言傳播的范圍越小，穩(wěn)定時(shí)間越短。通過適當(dāng)手段減少α，β，θ₁的值，增大μ的值，可以抑制謠言的傳播能力。

3.6 基本再生數(shù)靈敏性

為研究基本再生數(shù)R₀中各個(gè)參數(shù)的敏感性，令謠言接觸率α，關(guān)注者延遲感染率β，無知者感染率θ₁，用戶流動(dòng)率μ取值見表2，進(jìn)行相關(guān)仿真（圖13～16）。

每組參數(shù)使得R₀=1的值分別為α=0.432，β=0.15，θ₁=0.15，μ=0.215。R₀的值與α、β和θ₁正相關(guān)（圖13～15），隨著R₀>1，謠言將變?yōu)閭鞑顟B(tài)。R₀的值與μ負(fù)相關(guān)（圖16）。隨著R₀<1，謠言最終趨于消亡。無知者感染率θ₂與θ₁具有相同的性質(zhì)。因此，為了控制傳播閾值R₀，可以通過減少謠言接觸率α，關(guān)注者延遲感染率β，無知者關(guān)注率θ₁和無知者感染率θ₂，增加用戶流動(dòng)率μ。通過考慮各因素的綜合影響，可以提供有效的謠言控制策略。

3.7 真實(shí)數(shù)據(jù)集擬合

為從動(dòng)力學(xué)建模的角度分析真實(shí)謠言事件的傳播機(jī)制，采用真實(shí)數(shù)據(jù)擬合突發(fā)謠言傳播模型的參數(shù)。使用Twitter謠言數(shù)據(jù)集中最大的數(shù)據(jù)集Dataset_R12^[19]，每隔10 min記錄1次謠言推文在所有推文中的占比，對(duì)應(yīng)謠言傳播模型中頑固傳謠者在用戶群體中的占比。通過最小二乘法^[24-25]分別對(duì)前17 h數(shù)據(jù)和整體數(shù)據(jù)擬合模型參數(shù)。對(duì)前17 h的謠言累計(jì)曲線進(jìn)行參數(shù)擬合（圖17），得到對(duì)應(yīng)系統(tǒng)參數(shù)值為μ=0.048 3，α=0.391 1，θ₁=0.100 0，θ₂=0.253 3，β=0.989 9，γ=0.002 0，ф=0.868 4，τ=0.156 0。

對(duì)整體謠言累計(jì)曲線進(jìn)行擬合（圖18），系統(tǒng)參數(shù)為μ=0.049 4，α=0.239 0，θ₁=0.107 3，θ₂=0.387 5，β=0.961 2，γ=0.080 2，ф=0.778 3，τ=0.166 0。

通過不同時(shí)期的參數(shù)變化可以看出，前17 h的謠言傳播過程中與傳謠者S占比呈正相關(guān)的傳謠者接觸率α，關(guān)注者延遲感染率β相對(duì)更高，說明用戶在謠言傳播的早期對(duì)謠言具有更大的興趣。而隨著頑固傳謠者占比隨時(shí)間升高，無知者傳染率θ₂，關(guān)注者接觸率γ增加，說明頑固傳謠者的影響作用不斷上升。以上試驗(yàn)結(jié)果表明，對(duì)突發(fā)謠言傳播模型的研究能夠揭示謠言傳播的內(nèi)在規(guī)律，為制定社交平臺(tái)上的謠言傳播控制策略提供參考。

4 結(jié) 論

1）在傳統(tǒng)謠言傳播模型的基礎(chǔ)上增加頑固傳謠者狀態(tài)、時(shí)滯機(jī)制和用戶流動(dòng)因素，建立了改進(jìn)的突發(fā)謠言傳播模型，應(yīng)用于社交網(wǎng)絡(luò)突發(fā)謠言傳播研究。

2）通過對(duì)模型性質(zhì)的分析得到基本再生數(shù)R₀和時(shí)滯閾值?；驹偕鷶?shù)R₀對(duì)預(yù)測(cè)謠言最終是否消亡起關(guān)鍵作用。若R₀<1，系統(tǒng)隨時(shí)間穩(wěn)定于表示謠言消亡的無謠言平衡點(diǎn)，；若R₀≥1，系統(tǒng)隨時(shí)間穩(wěn)定于表示謠言存在的謠言傳播平衡點(diǎn)。時(shí)滯閾值是決定系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔現(xiàn)象的關(guān)鍵因素。若時(shí)滯參數(shù)的值超過時(shí)滯閾值，系統(tǒng)在謠言傳播平衡點(diǎn)不再穩(wěn)定，謠言呈周期性爆發(fā)。

3）降低謠言接觸率、無知者關(guān)注率和關(guān)注者延遲感染率，提高用戶流動(dòng)率，可遏制基本再生數(shù)R₀，避免突發(fā)謠言事件的發(fā)生。控制時(shí)滯參數(shù)不超過時(shí)滯閾值可避免謠言呈周期性傳播。通過提高無知者和關(guān)注者對(duì)謠言的辨別能力，限制頑固傳謠者的活動(dòng)能力，提高相關(guān)機(jī)構(gòu)對(duì)網(wǎng)絡(luò)謠言事件的響應(yīng)速度，能夠抑制突發(fā)謠言事件的傳播，并降低謠言事件對(duì)城市安全的影響。

4）真實(shí)數(shù)據(jù)集上的模型參數(shù)擬合方法能夠借助動(dòng)力學(xué)理論闡述現(xiàn)實(shí)謠言傳播事件的傳播機(jī)理，并對(duì)謠言傳播趨勢(shì)的預(yù)測(cè)研究具有較大的意義。

參考文獻(xiàn)（References）：

[1] 常丹，桂昊宇，樊睿.超大城市社會(huì)安全類突發(fā)事件情景演化及仿真研究——以北京市為例[J].北京交通大學(xué)學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版），2020，19（1）：86-97.

CHANG Dan，GUI Haoyu，F(xiàn)AN Rui.Situation evolution and simulation research of social security emergency in megacities：Taking Beijing as an example[J].Journal of Beijing Jiaotong University（Social Sciences Edition），2020，19（1）：86-97.

[2]DALEY D J，KENDALL D G.Epidemics and rumours[J].Nature，1964，204：1118-1118.

[3]DALEY D J，KENDALL D G.Stochastic rumours[J].IMA Journal of Applied Mathematics，1965，1（1）：42-55.

[4]裴蕾，高彥平，劉新亮，等.考慮時(shí)延和辟謠效應(yīng)的謠言傳播模型[J].小型微型計(jì)算機(jī)系統(tǒng)，2022，43（1）：144-151.

PEI Lei，GAO Yanping，LIU Xinliang，et al.Rumor propagation model considering time delay and rumor re-futation effect[J].Journal of Chinese Computer Systems，2022，43（1）：144-151.

[5]LI J，JIANG H，YU Z，et al.Dynamical analysis of rumor spreading model in homogeneous complex networks[J].Applied Mathematics and Computation，2019，359：374-385.

[6]CHEN S.Rumor propagation model with consideration of scientific knowledge level and social reinforcement in heterogeneous network[J].Physica A：Statistical Mechanics and Its Applications，2020，559：125063.

[7]DING H，XIE L.Simulating rumor spreading and rebu-ttal strategy with rebuttal forgetting：An agent-based mo-deling approach[J].Physica A：Statistical Mechanics and its Applications，2023，612：128488.

[8]唐梁鴻緒，王衛(wèi)蘋，王昊，等.新冠疫情下的SEIRD時(shí)滯性謠言傳播模型及辟謠策略[J].工程科學(xué)學(xué)報(bào)，2022，44（6）：1080-1089.

TANG Lianghongxu，WANG Weiping，WANG Hao，et al.Time-lag rumor propagation model and rumor-refuting strategy of SEIRD under COVID-19[J].Chinese Journal of Engineering，2022，44（6）：1080-1089.

[9]JIA P，WANG C，ZHANG G，et al.A rumor spreading model based on two propagation channels in social networks[J].Physica A：Statistical Mechanics and its Applications，2019，524：342-353.

[10]朱霖河，李玲.基于辟謠機(jī)制的時(shí)滯謠言傳播模型的動(dòng)力學(xué)分析[J].物理學(xué)報(bào)，2020，69（2）：67-77.

ZHU Linhe，LI Ling.Dynamic analysis of rumor-spread-delaying model based on rumor-refuting mechanism[J].Acta Physica Sinica，2020，69（2）：67-77.

[11]WANG J，JIANG H，HU C，et al.Stability and Hopf bifurcation analysis of multi-lingual rumor spreading model with nonlinear inhibition mechanism[J].Chaos，Solitons & Fractals，2021，153：111464.

[12]KE Y，ZHU L，WU P，et al.Dynamics of a reaction-diffusion rumor propagation model with non-smooth control[J].Applied Mathematics and Computation，2022，435：127478.

[13]王楠，肖敏，蔣海軍，等.時(shí)滯和擴(kuò)散影響下社交網(wǎng)絡(luò)謠言傳播動(dòng)力學(xué)[J].物理學(xué)報(bào)，2022，71（18）：7-17.

WANG Nan，XIAO Min，JIANG Haijun，et al.Rumor propagation dynamics in social networks under the influence of time delay and diffusion[J].Acta Physica Sinica，2022，71（18）：7-17.

[14]YANG B，YU Z，CAI Y.Malicious software spread mo-deling and control in cyber physical systems[J].Know-ledge-Based Systems，2022，248：108913.

[15]LI C，MA Z，WANG Y.Dynamics of a delayed rumor spreading model with discontinuous threshold control[J].Heliyon，2022，8（10）：11231.

[16]李延暉，姚琪，魏雅婷，等.基于藥物擴(kuò)散原理的網(wǎng)絡(luò)謠言CFDR傳播模型研究[J].情報(bào)科學(xué)，2022，40（10）：33-42.

LI Yanhui，YAO Qi，WEI Yating，et al.CFDR propagation model of network rumor based on pharmacokinetics[J].Information Science，2022，40（10）：33-42.

[17]WANG J，LI M，WANG Y，et al.The influence of oblivion-recall mechanism and loss-interest mechanism on the spread of rumors in complex networks[J].International Journal of Modern Physics C，2019，30（9）：1950075.

[18]CHEN S，JIANG H，LI L，et al.Dynamical behaviors and optimal control of rumor propagation model with saturation incidence on heterogeneous networks[J].Chaos，Solitons & Fractals，2020，140：110206.

[19]YU Z，LU S，WANG D，et al.Modeling and analysis of rumor propagation in social networks[J].Information Sciences，2021，580：857-873.

[20]VAN D P，WATMOUGH J.Reproduction numbers and sub-threshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission[J].Mathematical Biosciences，2002，180（1-2）：29-48.

[21]DEJESUS E X，KAUFMAN C.Routh-Hurwitz criterion in the examination of eigenvalues of a system of nonlinear ordinary differential equations[J].Physical Review A，1987，35（12）：5288.

[22]FREEDMAN H I，RAO V S H.The trade-off between mutual interference and time lags in predator-prey systems[J].Bulletin of Mathematical Biology，1983，45（6）：991-1004.

[23]YANG B，YU Z，CAI Y.Malicious software spread mo-deling and control in cyber physical systems[J].Knowledge-Based Systems，2022，248：108913.

[24]JIANG M，GAO Q，ZHUANG J.Reciprocal spreading and debunking processes of online misinformation：A new rumor spreading debunking model with a case study[J].Physica A：Statistical Mechanics and its Applications，2021，565：125572.

[25]于振華，黃山閣，楊波，等.新型冠狀病毒肺炎傳播動(dòng)力學(xué)模型構(gòu)建與預(yù)測(cè)[J].西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2022，56（5）：43-53.

YU Zhenhua，HUANG Shange，YANG Bo，et al.Dyna-mic Modeling and Analysis of COVID-19[J].Journal of Xian Jiaotong University，2022，56（5）：43-53.

（責(zé)任編輯：李克永）