神禾原戰(zhàn)國(guó)秦陵墓出土涂色算籌初識(shí)

郭妍利 李振飛

（1.陜西師范大學(xué)歷史文化學(xué)院；2.西北大學(xué)文化遺產(chǎn)學(xué)院）

神禾原戰(zhàn)國(guó)秦陵園位于陜西省西安市長(zhǎng)安區(qū)南郊，2004～2008年間，陜西省考古研究院在此進(jìn)行了四年的發(fā)掘工作，揭露了一座由亞字形大墓、兆溝、垣墻、從葬坑、建筑基址等構(gòu)成的大型戰(zhàn)國(guó)秦陵園遺址。陵墓雖遭嚴(yán)重的盜掘，但仍出土了較多重要文物，其中在直通大墓槨室的早期盜洞內(nèi)發(fā)現(xiàn)一批制作精良的象牙算籌[1]，籌身涂飾以紅、黑色彩，此類形制未見(jiàn)于以往的考古發(fā)現(xiàn)及文獻(xiàn)記載。

成書于兩漢之交[2]的《九章算術(shù)·方程》章中關(guān)于“正負(fù)術(shù)”的記載，被認(rèn)為是中國(guó)最早對(duì)“負(fù)數(shù)”概念進(jìn)行說(shuō)明和使用的珍貴文獻(xiàn)。魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽對(duì)此注釋有：“正算赤，負(fù)算黑，否則以邪正為異?！盵3]一般解釋為在進(jìn)行正負(fù)數(shù)的計(jì)算時(shí)，用紅色算籌代表正數(shù)，黑色算籌代表負(fù)數(shù)。也有說(shuō)法認(rèn)為這里指的是用不同擺放方式的算籌代表正負(fù)數(shù)，或者“邪、正”指的是截面呈三角、方形的不同形狀算籌[4]。而神禾原秦陵墓發(fā)現(xiàn)的紅、黑彩算籌是否與劉徽提到的赤黑算及古代正負(fù)數(shù)概念的運(yùn)用有關(guān)值得引起關(guān)注。

一、神禾原出土涂色算籌概況

神禾原戰(zhàn)國(guó)秦陵墓發(fā)現(xiàn)的象牙算籌均集中散落在早期盜洞D5的偏東側(cè)，近豎井狀出口處，該盜洞西端即延伸入槨室內(nèi)部。牙籌附近分布有金柄鐵削、玉圭、銅匜及金花、金扣、珍珠等遺物。從出土位置及遺物種類來(lái)看，這些物品原應(yīng)是放置在槨室內(nèi)部，屬于墓主貼身日用以及較珍貴的器物，是被盜賊移至盜洞下部但未拿走或散落的一部分。

這批算籌均為象牙質(zhì)地，長(zhǎng)短、粗細(xì)幾乎完全一致。多數(shù)完整，少數(shù)有不同程度的殘斷。牙籌整體呈細(xì)圓棒狀，部分籌身兩端微收窄，表面光滑，磨制精細(xì)，兩端截面齊整。完整籌身通長(zhǎng)為18.3～18.5、直徑0.49～0.54厘米，單體重5.7～7.7克。以完整的算籌（含粘接復(fù)原的個(gè)體）以及殘余籌身長(zhǎng)度大于完整器一半的斷籌計(jì)數(shù)，該批算籌總數(shù)至少為61根。

根據(jù)籌身彩繪及加工方式的不同，這批算籌可分為素白色、紅白色、紅黑色三種類型。另有兩根殘籌受沁嚴(yán)重，無(wú)法辨識(shí)。

素白籌，僅1根。通體光素，無(wú)另外的色彩涂飾。長(zhǎng)18.4、直徑0.52厘米，重7.2克。

紅白籌，30根。兩端有各長(zhǎng)3.4厘米的紅褐色彩繪，彩繪保存狀況一般，易成片狀脫落，且脫落面十分光滑，應(yīng)是以紅色顏料混合生漆涂抹形成的漆皮。中段無(wú)彩繪，呈牙白色。兩端漆皮段與籌身中段間有一圈極細(xì)的刻槽作為分界線（圖一）。

圖一 神禾原秦陵出土紅白籌

紅黑籌，28根。兩端亦有各長(zhǎng)3.4厘米的紅褐色漆皮，脫落嚴(yán)重?；I身中段為黑色，顏色因保存狀況不同深淺不一，且未觀察到刷漆導(dǎo)致的片狀脫落現(xiàn)象。另從斷籌截面可以觀察到該層黑色與象牙籌身結(jié)合緊密，部分還滲入籌身內(nèi)部一圈，滲透深度約為0.1～0.2毫米，故推測(cè)黑色部分應(yīng)為顏料浸染而成。此類籌身兩端紅褐色漆皮段與中間染黑段之間也發(fā)現(xiàn)有一圈極細(xì)的刻槽分界線，兩部分的界限十分整齊（圖二）。

圖二 神禾原秦陵出土紅黑籌

據(jù)上述三個(gè)類型的算籌形制可以推測(cè)出這批算籌的加工程序：

第一步，將象牙原料切割、打磨成圓棒狀。不加其余裝飾即成素白籌；

第二步，在象牙圓棒距離兩端3.4厘米的位置刻劃一圈，標(biāo)記范圍；

第三步，在兩端刻線范圍以外刷涂混合了紅色顏料的生漆，干燥后即成紅白籌；

第四步，使用布料、皮革或者黏土等將刻劃好的象牙圓棒兩端包裹住，然后整體放進(jìn)黑色顏料溶液中浸泡。晾干后去除兩端的包裹物，然后在兩端刷涂混合了紅色顏料的生漆，干燥后即成紅黑籌。

另一件單獨(dú)出現(xiàn)的素色算籌兩端沒(méi)有刻劃的痕跡，可以排除是保存不善導(dǎo)致的掉色。該籌表面十分光滑，拋光較好，可能是作為使用者手中的工具，用于撥動(dòng)、調(diào)整其余算籌以形成算式。

二、神禾原出土算籌性質(zhì)的認(rèn)定

算籌作為古代生產(chǎn)生活的常用工具，應(yīng)用廣泛而持久，早在《論語(yǔ)》[5]中即有記載，也被稱為“籌”“算”“策”“筭”等。材質(zhì)并無(wú)嚴(yán)格的規(guī)定，有竹、木、骨、牙乃至金屬籌，多在戰(zhàn)國(guó)晚期至東漢的墓葬中有所發(fā)現(xiàn)（表一）。

表一 考古發(fā)現(xiàn)中可確認(rèn)的計(jì)算用籌不完全統(tǒng)計(jì)表

算籌的大小在早期多隨原材料的大小而定，后代隨著經(jīng)濟(jì)和數(shù)學(xué)的發(fā)展、各類算書的出現(xiàn)而漸有制度。由于算籌的材料、尺寸、形制均變化較大，在考古發(fā)掘中較難辨識(shí)，以往多稱呼為“骨條”“竹棍”，甚至“竹筷”“箸”等。已知考古工作中最早發(fā)現(xiàn)的算籌實(shí)物是1954年湖南長(zhǎng)沙左家山戰(zhàn)國(guó)楚墓中出土的“竹簽”[18]，1956年數(shù)學(xué)家嚴(yán)敦杰在《中國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就》一書中首先說(shuō)明了此類算籌的用法，即在計(jì)算中表示復(fù)位數(shù)的“橫直互換”[19]。從統(tǒng)計(jì)表格中可以看出，目前考古發(fā)現(xiàn)的算籌實(shí)物主要集中在戰(zhàn)國(guó)晚期到東漢時(shí)期，其他時(shí)代少有發(fā)現(xiàn)。漢代的算籌長(zhǎng)度一般為六寸[20]，約合13.8厘米[21]，實(shí)際考古發(fā)現(xiàn)中長(zhǎng)度從6厘米[22]到23厘米[23]不等，其他時(shí)代各不相同。神禾原出土算籌長(zhǎng)約18.4厘米，約合秦漢時(shí)期的八寸，與1986年甘肅天水放馬灘秦墓中發(fā)現(xiàn)的長(zhǎng)20、直徑0.3厘米竹制圓棒狀算籌相近[24]，可能說(shuō)明秦制算籌的尺寸相對(duì)較大。

從算籌的數(shù)量來(lái)看，文獻(xiàn)記載漢代使用的算籌一握為271根[25]，但是實(shí)際考古工作中發(fā)現(xiàn)的秦漢墓葬中算籌數(shù)量多為20～30枚[26]。張沛在《出土算籌考略》中使用具體的計(jì)算案例說(shuō)明了一般日常生產(chǎn)、生活中常見(jiàn)的四則運(yùn)算用二、三十枚算籌基本夠用[27]；王青建同樣認(rèn)為，復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算可能需要一百甚至數(shù)百根算籌，但是對(duì)于非數(shù)學(xué)家的一般人的計(jì)算需求來(lái)說(shuō)，二、三十根足以應(yīng)付[28]。這種說(shuō)法是比較合理的，也說(shuō)明神禾原出土的29根紅白籌、28根紅黑籌具有計(jì)算意義上的實(shí)用性。

在討論神禾原出土牙籌的性質(zhì)時(shí)，應(yīng)當(dāng)考慮到戰(zhàn)漢時(shí)期十分流行的六博游戲中也有類似的棍狀物品，包括在游戲中投擲所使用的“箸”以及作為籌碼的“筭”。這兩類物品在形態(tài)上與作為算具的算籌十分相似，因此有必要確認(rèn)神禾原出土的象牙籌是否為算具。

根據(jù)前人研究及出土實(shí)物證據(jù)，博戲中“箸”的材質(zhì)主要為竹，也有銀、鉛等材質(zhì)的，截面為半圓形或方形[29]。這種形狀和材料有利于投擲，而較脆的象牙圓棒顯然不能如此使用。并據(jù)《說(shuō)文》“博，局戲也，六箸十二棋也”[30]、《西京雜記》“（陸博）法用六箸”[31]等說(shuō)法，而知博戲用“箸”以6枚為度，數(shù)量一般較小。作為籌碼的“筭”，因?yàn)槠渲饕δ芤彩怯?jì)數(shù)，和算具并無(wú)本質(zhì)差別，因此沒(méi)有特定的形制或者使用方法，在實(shí)際工作中一般將與其他博具同出的、有別于“箸”的籌狀物品認(rèn)定為“筭”。目前尚未發(fā)現(xiàn)博戲用的“筭”有一種以上的顏色，長(zhǎng)沙馬王堆M3出土的“筭”雖然有長(zhǎng)短之分[32]，可能代表著不同數(shù)目的換算，但長(zhǎng)“筭”的數(shù)量在短“筭”的2倍以上，有別于神禾原兩類算籌的同等比例。

另外，作為算具的算籌一般與筆、硯、墨、削一類的文具和與計(jì)算相關(guān)的度量衡器等同出，西漢《急就篇》有語(yǔ)：“筆硯籌算膏火燭”[33]，可見(jiàn)算籌在生活中常與文具組合使用，這種組合關(guān)系理論上也會(huì)反映在墓葬中。而雖然經(jīng)歷過(guò)嚴(yán)重的盜掘和焚毀，神禾原秦陵園內(nèi)出土的數(shù)千余件（組）器物中并未發(fā)現(xiàn)與六博棋相關(guān)的遺物、文字等信息。另外60余枚象牙算籌多出土于盜洞之中，原始位置及器物組合信息已經(jīng)無(wú)從確認(rèn)，但算籌附近散落有多柄金、銀柄鐵削，或可作為牙籌與文具同出的證據(jù)。前人研究也進(jìn)一步指出現(xiàn)今出土的博戲用算籌多出自楚地，而計(jì)算用籌多出自黃河流域，尤其是秦隴地區(qū)[34]，進(jìn)一步佐證了神禾原牙籌的算籌屬性要大于博籌。

綜合考慮以上信息，可以判斷神禾原戰(zhàn)國(guó)秦陵墓的象牙籌應(yīng)為算籌，而非六博戲所使用的“箸”或者“筭”。

在基本認(rèn)定神禾原牙籌的算籌屬性后，通過(guò)形態(tài)觀察可以認(rèn)識(shí)到，這批牙籌最大的特征為其上的彩繪，籌身現(xiàn)存的涂色在視覺(jué)上表現(xiàn)為“紅白”與“紅黑”色。此種白黑籌并不見(jiàn)于同時(shí)期的文獻(xiàn)記載。但是劉徽記錄的赤黑算[35]，從使用方式來(lái)說(shuō)，與神禾原牙籌十分相符。注文中赤黑算的應(yīng)用環(huán)境是“今兩算得失相反”[36]，說(shuō)明魏晉時(shí)期使用紅黑算籌來(lái)表示正負(fù)數(shù)、輔助正負(fù)數(shù)運(yùn)算已成定式。

負(fù)數(shù)概念的出現(xiàn)要早于抽象化的運(yùn)算法則的確立。一般認(rèn)為，實(shí)際生產(chǎn)生活中存在的得失、盈虧等不同性質(zhì)的情況提供了負(fù)數(shù)產(chǎn)生的思想基礎(chǔ)[37]。李儼認(rèn)為負(fù)數(shù)的產(chǎn)生不晚于秦代[38]，相應(yīng)的用以表示正負(fù)數(shù)運(yùn)算的算籌也應(yīng)當(dāng)出現(xiàn)在先秦時(shí)期。這時(shí)的負(fù)數(shù)記錄與使用方式與漢代算書中體系化的總結(jié)可能存在一定差異，最早的赤黑算應(yīng)當(dāng)就是兩類形態(tài)有差別的算籌，用于指代不同的概念。

因此，神禾原秦陵墓發(fā)現(xiàn)的這種白黑籌的組合可能是赤黑算的早期形態(tài)，是先秦時(shí)期正負(fù)數(shù)概念形成以及運(yùn)算規(guī)則探索階段的成果。

三、涂色算籌的使用方式管窺

神禾原戰(zhàn)國(guó)秦陵墓墓主身份十分尊貴，算籌用來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算的可能性不大，更可能是作為統(tǒng)治、管理者記錄其下屬的功過(guò)或者對(duì)下屬的賞罰等行為的計(jì)數(shù)工具。類似的發(fā)現(xiàn)雖然不見(jiàn)于其他戰(zhàn)漢時(shí)期的高等級(jí)墓葬，但可以通過(guò)出土文獻(xiàn)得到一些線索。

1983～1984年湖北江陵張家山西漢早期墓葬出土的竹簡(jiǎn)《算數(shù)書》中，第29“醫(yī)”條說(shuō)：“程曰：醫(yī)治病者得六十筭（算）□□廿筭（算）□□程□弗……得六十而負(fù)幾何？曰：負(fù)十七筭（算）二百六十九分筭（算）十一。其術(shù)曰：以今得筭（算）為法，令六十乘負(fù)筭（算）為實(shí)?！盵39]方家對(duì)這條文獻(xiàn)里的“得算”“負(fù)算”有著不同的認(rèn)識(shí)，但多認(rèn)為這里面使用了負(fù)數(shù)的概念。鄒大海認(rèn)為這是對(duì)醫(yī)生治病效果的一種考核，分別代表醫(yī)治效果的好壞，應(yīng)當(dāng)是比較合理的。甘肅出土的《居延漢簡(jiǎn)》中也有較多關(guān)于“負(fù)算（筭）”的記載：其中一例記載一位叫做“甲渠侯鄣”的官員因?yàn)椤啊咤笠?，衣不足，?fù)一筭；塢上望火頭三，不見(jiàn)所望，負(fù)三筭……”等原因，最終一共“負(fù)十一筭”[40]。這里的“負(fù)筭”很明顯是扣分性質(zhì)的記錄。

漢代文獻(xiàn)中對(duì)負(fù)數(shù)概念的運(yùn)用多與考核、功過(guò)有關(guān)，依然帶有相當(dāng)?shù)膽?yīng)用性質(zhì)。但是使用“筭（算）”這種計(jì)量單位，使得上述不同的病例、不同的錯(cuò)誤等事件抽象為數(shù)值上的“一（負(fù)）”，具有了代數(shù)的含義，使得用實(shí)體的赤黑籌來(lái)表示這種功過(guò)就顯得十分直觀。比如假設(shè)“甲渠侯鄣”在上半年的考核中“負(fù)十一筭”，但是在下半年的考核中“得十二筭”，那么在年末的總結(jié)中就可以先用黑籌擺出“十一”，再用紅籌擺出“十二”；然后如《九章算術(shù)》中總結(jié)的“同名相除，異名相益，正無(wú)入負(fù)之，負(fù)無(wú)入正之”的法則，用黑籌的“十一”抵消掉紅籌的“十一”，于是剩下紅籌的“一”，所以最終全年考核成果是正數(shù)，表示有功。

類似的記錄是對(duì)赤黑籌的早期形態(tài)使用場(chǎng)景的生動(dòng)表現(xiàn)，不同顏色的算籌即作為實(shí)際生產(chǎn)生活中的“功”與“過(guò)”、“賞”與“罰”、“收”與“支”等對(duì)立事件的載體?？梢酝贫ǖ氖牵祟悓?shí)際應(yīng)用增多后，因代數(shù)化后的正負(fù)值運(yùn)算具有直觀性和總結(jié)性，“正負(fù)術(shù)”這種簡(jiǎn)便運(yùn)算的法則也就應(yīng)時(shí)產(chǎn)生，其大體演變脈絡(luò)為從表示實(shí)際對(duì)立含義的雙色算籌抽象為具有一定數(shù)值意義的“赤黑算”，而后隨著數(shù)學(xué)理念的發(fā)展徹底的代數(shù)化。

四、中國(guó)古代正負(fù)數(shù)的表達(dá)及記錄方式

赤黑算的最早出現(xiàn)在《九章算術(shù)·方程》劉徽注中，是秦漢時(shí)期負(fù)數(shù)概念發(fā)展到較為成熟階段的產(chǎn)物，它的出現(xiàn)表明正負(fù)數(shù)運(yùn)算已經(jīng)代數(shù)化，有利于解決抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，在不同時(shí)代的算書、記錄中有著不同的表達(dá)方式。至遲在魏晉時(shí)期，實(shí)際的正負(fù)數(shù)相關(guān)運(yùn)算中已經(jīng)在使用制式的赤黑籌?？上КF(xiàn)存的劉徽注解不存圖形，魏晉時(shí)期的記錄方法無(wú)法證實(shí)。

流傳至今的南宋數(shù)學(xué)家秦九韶的《數(shù)書九章》中關(guān)于“正負(fù)開(kāi)方術(shù)”的部分可見(jiàn)在所畫籌式附近注明“負(fù)”字[41]，可知在南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)記錄中，是以標(biāo)注的方式來(lái)區(qū)別正負(fù)數(shù)，同時(shí)有可能使用赤、黑畫法。結(jié)合北宋沈括在《夢(mèng)溪筆談·卷八·象數(shù)二》中又提到“算法用赤籌、黑籌，以別正、負(fù)之?dāng)?shù)”[42]以及書中其他關(guān)于籌算的記載，如“運(yùn)籌如飛”等，可知宋代的實(shí)際數(shù)學(xué)運(yùn)算中也仍然使用赤黑籌。

金元之際的數(shù)學(xué)家李治改進(jìn)了正、負(fù)數(shù)的記錄方式。他在《測(cè)圓海鏡》中繼續(xù)使用“邪正”的方式來(lái)標(biāo)記正負(fù)數(shù)，但是區(qū)別于將負(fù)數(shù)全用斜線表達(dá)，他在籌式中畫一斜線來(lái)表示該數(shù)為負(fù)數(shù)[43]。在他的另一本著作《益古演段》中雖然未提及赤黑籌，但是在第五十四、五十七問(wèn)的條目中均提到被減者“以紅志之”[44]，可能是對(duì)赤黑籌使用方式的簡(jiǎn)化。其原因可能是色籌在記錄中要頻繁換筆，十分不便，制作也相對(duì)繁瑣[45]。

到了明代，珠算盛行，基本取代了籌算。珠算中用不靠梁、框的虛珠（或稱懸珠、負(fù)珠）來(lái)表示負(fù)數(shù)，這使得在記錄中用顏色、形狀來(lái)表示正負(fù)數(shù)十分困難且不直觀，因此多采用在數(shù)值旁標(biāo)注“負(fù)”字的方法。而在清代中晚期隨著西方傳教士的大量進(jìn)入與西方數(shù)學(xué)的傳播，算書中開(kāi)始在數(shù)值前用減號(hào)表達(dá)負(fù)值，這種表示方式隨著西學(xué)的流行被逐漸接受[46]。

五、神禾原涂色算籌的數(shù)學(xué)史意義

綜合前文觀點(diǎn)，可以推測(cè)神禾原出土涂色牙籌可能為劉徽所記述的用于表示正負(fù)數(shù)的赤黑算的前身。它是戰(zhàn)國(guó)秦漢時(shí)期應(yīng)用數(shù)學(xué)發(fā)展到了一定程度的產(chǎn)物，也在客觀上促進(jìn)了這一時(shí)期數(shù)學(xué)中關(guān)于正負(fù)數(shù)計(jì)算的理論化、規(guī)則化。神禾原秦陵墓出土的涂色算籌將中國(guó)古代使用正負(fù)數(shù)概念進(jìn)行運(yùn)算的時(shí)間提早至戰(zhàn)國(guó)晚期，相比于《九章算術(shù)》中記載的“正負(fù)術(shù)”早了兩百余年，與國(guó)外最早由古印度數(shù)學(xué)家在公元7世紀(jì)提出的正、負(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則相比早了八百余年[47]。

囿于材料的限制，本文提出的觀點(diǎn)多有疏漏，僅作為引玉磚石，以請(qǐng)于方家。期待在未來(lái)的考古工作中能發(fā)現(xiàn)更多的算書、算具等實(shí)物資料，為這一假設(shè)提供更多的證據(jù)支持，也為了解戰(zhàn)國(guó)秦漢時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)展?fàn)顩r提供更多的機(jī)會(huì)。

本文在相關(guān)資料梳理及寫作過(guò)程中得到劉鐵先生的大力幫助，特此致謝！

[1]陜西省考古研究院.陜西長(zhǎng)安神禾原戰(zhàn)國(guó)秦陵園大墓發(fā)掘簡(jiǎn)報(bào)[J].考古與文物,2021(5).

[2]《九章算術(shù)》的成書年代眾說(shuō)紛紜,有西漢中期、晚期、新莽時(shí)期以及東漢初期等說(shuō)法,本文綜合考量錢寶琮、李迪、吳文俊等學(xué)者的看法,認(rèn)為將年代定在兩漢之際是較為合理的。a.錢寶琮,中國(guó)數(shù)學(xué)史[M].北京:科學(xué)出版社,1981:55-158.b.李迪.《九章算術(shù)》研究史綱[C]//劉徽研究.西安:陜西人民教育出版社,1993.23-42.c.吳文俊.中國(guó)數(shù)學(xué)史大系(第2 卷)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社.2000:14-16.

[3]李繼閔.《九章算術(shù)》導(dǎo)讀與譯注[M].西安:陜西科學(xué)技術(shù)出版社.1998:635-636.

[4]魏徵,令狐德棻.隋書:律歷志上(第16 卷)[M].北京:中華書局,1973:387.

[5]何晏撰,高華平校釋.論語(yǔ)集解校釋:八佾第三[M].沈陽(yáng):遼海出版社.2007:38.

[6]湖南省文物管理委員會(huì).長(zhǎng)沙左家公山的戰(zhàn)國(guó)木槨墓[J].文物參考資料,1954(12).

[7]甘肅省文物考古研究所.甘肅省天水放馬灘戰(zhàn)國(guó)秦漢墓群的發(fā)掘[J].文物1989(2).

[8]湖南省博物館.湖南常德德山楚墓發(fā)掘簡(jiǎn)報(bào)[J].考古,1963(9).

[9]寶雞市博物館,千陽(yáng)縣文化館,中國(guó)科學(xué)院自然科學(xué)史研究所.千陽(yáng)縣西漢墓中出土算籌[J].考古,1976(2).

[10]紀(jì)南城鳳凰山一六八號(hào)漢墓發(fā)掘整理組.湖北江陵鳳凰山一六八號(hào)漢墓發(fā)掘簡(jiǎn)報(bào)[J].文物,1975(9).

[11]咸陽(yáng)秦都考古工作站.秦都咸陽(yáng)漢墓清理簡(jiǎn)報(bào)[J].1986(6).

[12]朱捷元,李域錚.西安東郊三店村西漢墓[J].考古與文物,1983(2).

[13]肖琦.隴縣西漢墓出土算籌[J].考古與文物,1988(3).

[14]山西省平朔考古隊(duì).山西省朔縣趙十八莊一號(hào)漢墓[J].考古,1988(5).

[15]張沛.陜西旬陽(yáng)漢墓出土的象牙算籌[N].中國(guó)文物報(bào),1988-5-8.

[16]李勝伍,郭書春.石家莊東漢墓及其出土的算籌[J].考古,1982(3).

[17]河北省文物管理委員會(huì).石家莊市北宋村清理了兩座漢墓[J].文物,1959(1).

[18]湖南省文物管理委員會(huì).長(zhǎng)沙左家公山的戰(zhàn)國(guó)木槨墓[J].文物參考資料,1954(12).

[19]嚴(yán)敦杰.中國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就[M].北京:中華全國(guó)科學(xué)技術(shù)普及協(xié)會(huì),1956:4.

[20]吳文俊.中國(guó)數(shù)學(xué)史大系(第1 卷)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2000:73.

[21]盧嘉錫.中國(guó)科學(xué)技術(shù)史:度量衡卷[M].北京:科學(xué)出版社,2001:199.漢代一尺約為23.1 厘米。

[22]山西省平朔考古隊(duì).山西省朔縣趙十八莊一號(hào)漢墓[J].考古,1988(5).

[23]長(zhǎng)江流域第二期文物考古訓(xùn)練班.湖北江陵鳳凰山西漢墓發(fā)掘簡(jiǎn)報(bào)[J].文物,1974(6).

[24]田建,何雙全.甘肅天水放馬灘戰(zhàn)國(guó)秦漢墓群的發(fā)掘[J].文物,1989(2).

[25]班固.漢書:律歷志第一上(第21 卷)[M].北京:中華書局,1962:956.

[26]同[10].

[27]同[16].

[28]王青建.算籌記數(shù)思想[J].大連教育學(xué)院學(xué)報(bào),1996(1):21-24,29.

[29]a.傅舉有.論秦漢時(shí)期的博具、博戲兼及博局紋鏡[J].考古學(xué)報(bào).1986(1).b.金銀.戰(zhàn)國(guó)至秦漢時(shí)期六博棋具研究[D].西安:西北大學(xué),2018.

[30]王平,李建廷.《説文解字》標(biāo)點(diǎn)整理本:附分類檢索[M].上海:上海書店出版社,2016:116.

[31]葛洪撰,周天游校注.西京雜記:博昌陸博術(shù)(第4 卷)[M].西安:三秦出版社,2006:204.

[32]熊傳新.談馬王堆三號(hào)西漢墓出土的陸博[J].文物,1979(4):35-39.

[33] 張 傳 官.急 就 篇 校 理( 第4 卷)[M].北 京: 中 華 書局,2017:458.

[34]張沛.出土算籌考略[J].文博,1996(4).

[35]同[3].

[36]同[3].

[37]鄒大海.從出土簡(jiǎn)牘文獻(xiàn)看中國(guó)早期的正負(fù)數(shù)概念[J].考古學(xué)報(bào),2010(4).

[38]李儼.中國(guó)古代數(shù)學(xué)史料[M].北京:科學(xué)技術(shù)出版社,1956:4.

[39]江陵張家山漢簡(jiǎn)整理小組.江陵張家山漢簡(jiǎn)《算數(shù)書》釋文[J].文物,2000(9).

[40]謝桂華,李均明,朱國(guó)照.居延漢簡(jiǎn)釋文合校[M].北京:文物出版社,1987:90.

[41]任繼愈主編.中國(guó)科學(xué)技術(shù)典籍通匯:數(shù)書九章[M].鄭州:河南教育出版社,1993:629.

[42]沈括撰,金良年點(diǎn)校.夢(mèng)溪筆談:象數(shù)二(第8 卷)[M].北京:中華書局,2015:83.

[43] 孔國(guó)平.測(cè)圓海鏡導(dǎo)讀[M].武漢: 湖北教育出版社,1996:80.

[44]任繼愈主編.中國(guó)科學(xué)技術(shù)典籍通匯:益古演段(數(shù)學(xué)卷一)[M].鄭州:河南教育出版社,1993:873.

[45]王青建.《古籌算考釋》研究[J].自然科學(xué)史研究,1998(2).

[46]王青建.古代的負(fù)數(shù)記法[J].遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1998(3).

[47]劉旻,齊曉東.東西方對(duì)負(fù)數(shù)認(rèn)知的歷史比較[J].西安:西安電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)(社會(huì)科學(xué)版),2006(4).