數(shù)學(xué)思想在解答圓錐曲線問題中的應(yīng)用

施建華

圓錐曲線問題具有較強(qiáng)的綜合性，通常會綜合考查圓錐曲線的定義、性質(zhì)，平面幾何圖形的性質(zhì)、定理，向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則，方程的判別式、韋達(dá)定理，函數(shù)的圖象、性質(zhì).在解答圓錐曲線問題時，可靈活運(yùn)用一些數(shù)學(xué)思想，如數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想、方程思想等來輔助解題，這樣有利于提升解題的效率.

一、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是指根據(jù)數(shù)與形之間的等價關(guān)系來進(jìn)行互化，從而使問題獲解.數(shù)形結(jié)合思想是解答圓錐曲線問題的重要思想.我們知道，每一種圓錐曲線都有與其對應(yīng)的方程和圖形，因此在解答圓錐曲線問題時，可以根據(jù)解題需求，由圓錐曲線的方程畫出圖形，化數(shù)為形；由圓錐曲線列出方程，以形助數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為方程問題或者圖形的位置關(guān)系、性質(zhì)問題來求解.

例1.

解：

設(shè)出?P 點(diǎn)的坐標(biāo)后，便可根據(jù)已知條件快速求得關(guān)于?P 的坐標(biāo)的方程，可將該方程視為圓心為?E（-2， 1） 、半徑為2的圓.P 點(diǎn)是圓?E 上的動點(diǎn)，而?E、D 的距離是固定的，通過研究圖形可知，d4的最大值為| ED| +r ，d4的最小值為|ED| -r .這樣，通過方程與對應(yīng)曲線之間的互化，把數(shù)形結(jié)合起來，即可將問題轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最大（小）距離問題，利用圓的幾何性質(zhì)以及定義就能快速求得問題的答案.

例2.

解：

解答本題，需運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合圖形中點(diǎn)、曲線、矩形的位置關(guān)系，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則、直線的斜率公式，建立關(guān)于 a、b、c 的方程，即可通過解方程組，求得雙曲線的離心率.

二、函數(shù)思想

函數(shù)思想主要用于求圓錐曲線的最值、參數(shù)的取值范圍.在運(yùn)用函數(shù)思想解題時，往往要先利用圓錐曲線的性質(zhì)、定義、方程，求得目標(biāo)式；然后選取合適的變量，將目標(biāo)式視為關(guān)于該變量的函數(shù)式，利用函數(shù)的圖象、性質(zhì)來求得問題的答案.

例3.已知?P（a，b） 是直線?x+y =2k 和圓?x2+y2=k2

解：

由于 P 點(diǎn)是直線與圓的公共點(diǎn)，所以 P 點(diǎn)的坐標(biāo)同時滿足直線與圓的方程，于是將其分別代入直線與圓的方程中，建立關(guān)于 a、b、k 的關(guān)系式，并通過恒等變換，用 k 表示出 ab，再將其看作關(guān)于 k 的一元二次函數(shù)式，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)求得 ab 的最大值.在運(yùn)用函數(shù)思想解題時，要注意選取合適的對象作為變量，并求出變量的取值范圍.在本題中，我們將直線的方程與圓的方程聯(lián)立，通過消元y 得到一元二次方程，從而求得變量 k 的取值范圍.

三、轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想是指采用一些手段，如換元、引入待定系數(shù)、構(gòu)造數(shù)學(xué)模型等，通過變換，使問題得以轉(zhuǎn)化.運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解答圓錐曲線問題，需將已知條件和所求目標(biāo)關(guān)聯(lián)起來，通過添加輔助線，構(gòu)造圓、雙曲線、拋物線、橢圓，將復(fù)雜的、陌生的問題轉(zhuǎn)化為簡單的、熟悉的問題，以根據(jù)圓錐曲線的性質(zhì)、定義、方程解題.

例4.如圖3，已知拋物線?C：y2=8x 的準(zhǔn)線為?l ，圓?E：（x +1）2+（y -4）2=1，點(diǎn)?P、Q 分別是拋物線?C 和圓?E 上的動點(diǎn)，點(diǎn)?P 到準(zhǔn)線?l 的距離為?d ，則|PQ| +d 的最小值為????.

解：

我們先根據(jù)拋物線的定義、圓的性質(zhì)，將|PQ| +d 的最小值問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)?E、F 之間的最小距離問?題；然后結(jié)合圖形確定兩點(diǎn)距離最小時的情形：E、P、?F 三點(diǎn)共線，據(jù)此建立關(guān)系式，求得問題的答案.

可見，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，能高效解答圓錐曲線問題.在解題時，同學(xué)們需根據(jù)解題需求，將問題與所學(xué)的函數(shù)、方程、平面圖形等知識關(guān)聯(lián)起來，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想來輔助分析、解答問題，以提升解題的效率.

（作者單位：江蘇省啟東市匯龍中學(xué)）