對一道分式三角函數(shù)最值問題的解法的探究

梁馨

分式三角函數(shù)比較常見，函數(shù)式中往往含有一個、兩個，甚至多個不同名稱的三角函數(shù)式，因而分式三角函數(shù)最值問題通常較為復(fù)雜，無法直接利用三角函數(shù)的單調(diào)性和有界性求得最值.此時需運用一些技巧，如運用化一法、換元、借助幾何圖形的性質(zhì)等求解.下面結(jié)合實例進(jìn)行探討.

例題：求函數(shù)?f（x） = 的最小值.

解法一：利用化一法

若分式函數(shù)式中含有或可化為有關(guān)正弦、余弦函數(shù)的式子，則可采用化一法求函數(shù)的最值.首先令?y =f（x） ，并將其化為整式；然后根據(jù)輔助角公式將函數(shù)式化為只含有一種三角函數(shù)名稱的式子，如?y = sin（ωx+φ） 、y = cos（ωx+φ） ；再根據(jù)正余弦函數(shù)的有界性和單調(diào)性來確定三角函數(shù)的最值.

解：

運用化一法求分式三角函數(shù)的最值，需靈活運用輔 助角公式，以及正余弦函數(shù)的有界性和單調(diào)性.這就要求 我們熟記輔助角公式 a sin x + b cos x = a2 + b 2 sin（x + φ） = a2 + b 2 cos（x + θ） ，熟練掌握正余弦函數(shù)的有界性和 單調(diào)性.一般地，若x∈R，則|sinx|≤1，|cosx|≤1.

解法二：利用換元法

換元法是簡化復(fù)雜函數(shù)式的重要方法.對于分式三角函數(shù)式，我們可以將分子、分母或頻繁出現(xiàn)的式子用一個字母 t 替換，將分式三角函數(shù)式化為簡單的一元函數(shù)，根據(jù)一元函數(shù)的圖象、性質(zhì)進(jìn)行求解，即可得到分式三角函數(shù)的最值.

解：

令 t = cos x + 3 ，即可將分式函數(shù)式化為關(guān)于 t 的 一元函數(shù)式，根據(jù)一元二次函數(shù)和 y = x 的性質(zhì)，快 速求得分式函數(shù)的最值.

解法三：借助幾何圖形的性質(zhì)

形如 y = c（a）c（s）os x（in x） d（b）的分式三角函數(shù)式與直線的斜率公式的結(jié)構(gòu)類似，可將三角函數(shù)式看作單位圓上的點（cos x， sin x） 與點?， 連線的斜率.結(jié)合圓的性質(zhì)以及兩點的連線與單位圓的位置關(guān)系，尋找直線的斜率取得最值時的情形，即可解題.

解：

將函數(shù)式?f（x） =4?cos（si）x（n）x--03） 看作圓上的點（cos x， sin x） 與點（-3，0） 連線的斜率?k 的4倍，即可將問題轉(zhuǎn)化定點（-3，0） 的直線?y = k（x +3） 與單位圓的位置關(guān)系問題，利用圓的性質(zhì)和點到直線的距離公式進(jìn)行求解即可.

（作者單位：西華師范大學(xué)）